Secciones planas de la esfera y del cilindro; la elipse
Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 8 de 22Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 11 min de lectura
Al partir una naranja por la mitad aparece un círculo; al cortar en diagonal un tubo de PVC, el borde del corte es una curva ovalada que se llama elipse. Cada uno de esos cortes es una sección plana, y su forma y sus medidas dependen de cómo se ubique el plano respecto al sólido.
En esta lección vas a determinar qué figuras se obtienen al cortar una esfera o un cilindro circular recto con un plano, a calcular sus medidas con el teorema de Pitágoras y a reconocer la elipse en distintos contextos. En undécimo año, la misma idea se aplica al cono y sus secciones.
Definición
Una sección plana de un sólido es la figura que queda al cortarlo con un plano, es decir, la parte del plano que queda dentro del sólido. Una elipse es la curva cerrada formada por los puntos del plano cuyas distancias a dos puntos fijos, los focos, suman siempre lo mismo, una cantidad mayor que la distancia entre los focos. Tiene forma ovalada y dos ejes de simetría perpendiculares: el más largo es el eje mayor y el más corto, el eje menor. La circunferencia es el caso especial en que los dos ejes miden lo mismo.
Secciones planas de la esfera#
Cualquier plano que corte una esfera produce un círculo. Su tamaño depende de la distancia d entre el centro de la esfera y el plano:
| Distancia d del centro al plano | Sección |
|---|---|
| d = 0 (el plano pasa por el centro) | Círculo máximo, de radio r |
| 0 < d < r | Círculo de radio √(r² − d²), menor que r |
| d = r (plano tangente) | Un solo punto |
| d > r | No hay sección: el plano no toca la esfera |
La fórmula sale del teorema de Pitágoras. Sean O el centro de la esfera, C el centro de la sección y P un punto del borde de la sección. El segmento OC es perpendicular al plano, así que el triángulo OCP es rectángulo en C: su hipotenusa OP es un radio de la esfera, un cateto es la distancia OC = d y el otro es el radio de la sección, CP.
Fórmula
ρ = √(r² − d²)
Donde r es el radio de la esfera, d la distancia del centro al plano y ρ (la letra griega rho) el radio de la sección.
Por eso, cuanto más cerca del centro pasa el plano, más grande es la sección, y dos planos a la misma distancia del centro producen círculos congruentes.
Ejemplo. Una esfera de 10 cm de radio se corta con un plano a 6 cm de su centro. ¿Cuál es el radio de la sección y cuál es su área?
Solución. ρ = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm. La sección es un círculo de 8 cm de radio, y su área es π · 8² = 64π ≈ 201,1 cm².
Ejemplo. En una esfera de 13 cm de radio, un corte produjo un círculo de 5 cm de radio. ¿A qué distancia del centro pasó el plano?
Solución. De r² = d² + ρ² se despeja d = √(r² − ρ²) = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm.
Ejemplo. Una sandía, que se puede modelar como una esfera de 30 cm de diámetro, se parte con un corte recto a 12 cm del centro. ¿Qué diámetro tiene la cara del corte?
Solución. El radio es r = 15 cm, así que ρ = √(15² − 12²) = √(225 − 144) = √81 = 9 cm. La cara del corte es un círculo de 18 cm de diámetro.
Secciones planas del cilindro#
En un cilindro circular recto de radio r y altura h, la figura depende de cómo está el plano respecto a las bases y al eje:
| Cómo es el plano | Sección |
|---|---|
| Paralelo a las bases (perpendicular al eje) | Círculo congruente con las bases, de radio r |
| Contiene al eje | Rectángulo de 2r por h (sección axial) |
| Paralelo al eje, a una distancia d < r de él | Rectángulo de 2√(r² − d²) por h |
| Paralelo al eje, a la distancia d = r | Un segmento: el plano es tangente y toca al cilindro en una generatriz |
| Ni paralelo ni perpendicular a las bases, sin cortarlas | Región limitada por una elipse |
| Ni paralelo ni perpendicular a las bases, cortando una o las dos bases | Región limitada por arcos de elipse y por segmentos sobre las bases |
En el plano paralelo al eje, el ancho del rectángulo es una cuerda de la base, y se calcula con el mismo triángulo rectángulo que en la esfera.
Ejemplo. Un cilindro de 5 cm de radio y 20 cm de altura se corta con un plano paralelo al eje, a 3 cm de él. ¿Qué figura se obtiene y cuál es su área? ¿Y si el plano contiene al eje?
Solución. La sección es un rectángulo de 20 cm de alto. Su ancho es 2√(5² − 3²) = 2√16 = 8 cm, así que su área es 8 · 20 = 160 cm². Si el plano contiene al eje, el ancho es el diámetro, 10 cm, y el área es 10 · 20 = 200 cm²: la sección axial es la mayor de las secciones paralelas al eje.
Ejemplo. De una tuca cilíndrica de 15 cm de radio se quiere sacar una viga de base cuadrada con cuatro cortes planos paralelos al eje. ¿Cuál es el mayor lado posible del cuadrado?
Solución. El cuadrado más grande que cabe en un círculo tiene sus cuatro vértices sobre la circunferencia, así que su diagonal es un diámetro, de 30 cm. Si el lado mide l, por Pitágoras l² + l² = 30², de donde l = 30/√2 = 15√2 ≈ 21,2 cm. El cuadrado mide 450 cm² y el círculo, π · 15² ≈ 706,9 cm²: la viga aprovecha cerca del 64 % de la sección de la tuca. El programa del MEP propone problemas como este para reflexionar sobre el uso apropiado de los árboles como madera.
La elipse que aparece al cortar un cilindro#
Si el plano está inclinado y no toca las bases, el borde de la sección es una elipse con centro en el eje del cilindro; para abreviar, se dice que la sección es una elipse. Sus medidas se obtienen así:
- El eje menor mide lo mismo que el diámetro del cilindro, 2r.
- El eje mayor va en la dirección de la inclinación. Si entre el punto más bajo y el más alto del corte hay una diferencia de altura Δ, el eje mayor es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 2r y Δ, así que mide √((2r)² + Δ²).
- Si el plano forma un ángulo θ con las bases, el eje mayor mide 2r ÷ cos θ. Cuanto más inclinado está el plano, más alargada es la elipse; con θ = 0° la sección es un círculo.
Ejemplo. Un tubo de 10 cm de diámetro se corta en bisel, de modo que entre el punto más bajo y el más alto del corte hay 24 cm de diferencia de altura. ¿Cuánto miden los ejes de la elipse?
Solución. El eje menor es el diámetro del tubo, 10 cm. El eje mayor es √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26 cm.
Ejemplo. Un cilindro de 4 cm de radio y 20 cm de altura se corta, a media altura, con un plano que forma 60° con las bases. ¿Cuánto miden los ejes de la elipse?
Solución. El eje menor mide 2 · 4 = 8 cm y el eje mayor, 8 ÷ cos 60° = 8 ÷ 0,5 = 16 cm: la elipse es el doble de larga que de ancha. El corte sube 8 · tan 60° ≈ 13,9 cm de un lado al otro, menos que la altura del cilindro, así que no toca las bases.
Los focos y una forma de dibujar la elipse#
Los dos focos están sobre el eje mayor. Según la NASA, la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a sus focos es siempre la misma. Esa suma es igual a la longitud del eje mayor, como se ve al medir desde un extremo de ese eje. De ahí sale una forma sencilla de dibujarla: se clavan dos chinches en los focos, se amarran a ellas los extremos de un hilo más largo que la distancia entre ellas y se recorre el contorno con un lápiz que mantiene el hilo tenso.
En la elipse del tubo, con ejes de 26 cm y 10 cm, los semiejes miden 13 cm y 5 cm. Si un foco está a c cm del centro, desde un extremo del eje mayor las distancias a los focos son 13 − c y 13 + c, que suman 26 cm, el eje mayor. Desde un extremo del eje menor, los dos focos están a la misma distancia, la mitad de 26 cm, o sea 13 cm, así que por Pitágoras c = √(13² − 5²) = 12 cm. Con un hilo de 26 cm y las chinches a 24 cm una de otra se dibuja una elipse de ese tamaño.
Elipses en otros contextos#
- El agua en un vaso cilíndrico inclinado: la superficie del agua es plana y horizontal. Con el vaso derecho es un círculo; al inclinarlo, el plano del agua queda oblicuo respecto al eje del vaso y su borde es una elipse, mientras el agua cubra todo el fondo.
- Rodajas en diagonal: al cortar en diagonal un salchichón o un pepino, que tienen forma aproximadamente cilíndrica, las rodajas tienen forma aproximada de elipse.
- Círculos vistos de lado: la boca de un vaso o un plato redondo vistos de forma oblicua se ven como elipses, y así se dibujan en perspectiva.
- Las órbitas de los planetas: según la NASA, la órbita de cada planeta alrededor del Sol es una elipse, con el centro del Sol en uno de sus focos (primera ley de Kepler).
En cambio, ninguna sección plana de una esfera es una elipse alargada: todas son círculos. En el cono, el corte inclinado también da elipses, pero además puede dar parábolas e hipérbolas.
Ponte a prueba#
¿Qué radio tiene la sección de una esfera de 17 cm de radio cortada por un plano a 8 cm de su centro?#
El radio de la esfera, la distancia al plano y el radio de la sección forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el radio de la esfera. Entonces ρ = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 cm. La sección es un círculo de 15 cm de radio, con un área de 225π ≈ 706,9 cm².
¿A qué distancia del centro de una esfera de 10 cm de radio pasa un plano si la sección tiene un radio de √51 cm?#
Por el teorema de Pitágoras, r² = d² + ρ², donde ρ es el radio de la sección. Al despejar, d = √(r² − ρ²) = √(10² − 51) = √(100 − 51) = √49 = 7 cm. El plano pasa a 7 cm del centro de la esfera.
¿Qué figura se obtiene al cortar un cilindro con un plano paralelo a su eje que está a una distancia del eje igual al radio?#
Se obtiene un segmento. El plano es tangente a la superficie lateral y la toca solo a lo largo de una generatriz, que mide lo mismo que la altura del cilindro. Si el plano estuviera más cerca del eje, la sección sería un rectángulo; si estuviera más lejos, no habría sección.
¿Cuánto miden los ejes de la elipse que se forma al cortar un cilindro de 6 cm de radio con un plano que forma 60° con las bases sin tocarlas?#
El eje menor es igual al diámetro del cilindro: 2 · 6 = 12 cm. El eje mayor mide 2r ÷ cos θ = 12 ÷ cos 60° = 12 ÷ 0,5 = 24 cm. La elipse es el doble de larga que de ancha, igual que en cualquier corte a 60°.
¿Por qué la superficie del agua en un vaso cilíndrico inclinado tiene forma de elipse?#
Porque la superficie del agua es un plano horizontal que corta el vaso. Con el vaso derecho, ese plano es perpendicular al eje y la sección es un círculo. Al inclinar el vaso, el plano del agua deja de ser perpendicular al eje y, si no toca el fondo, el borde de la sección de un cilindro por un plano oblicuo es una elipse.
Fuentes#
También en matemáticas
