Medidas de posición: moda, media aritmética, máximo y mínimo

Cuando un grupo de datos es grande, nadie puede retenerlos todos. Las medidas de posición resumen en un solo valor una característica del grupo: cuál es el dato más común, alrededor de qué valor se concentran, dónde empiezan y dónde terminan. El programa del MEP insiste en que calcularlas no es un fin en sí mismo: es un paso para analizar e interpretar la información.

En esta lección vas a calcular e interpretar la moda, la media aritmética, el máximo y el mínimo, a reconocer cómo se ubican según la forma de los datos y a usar la calculadora o la hoja de cálculo para obtenerlas. Los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

El máximo y el mínimo: los extremos del grupo#

El máximo y el mínimo marcan los extremos: todos los datos están entre ellos. Dan una primera idea del grupo y ayudan a detectar datos raros, como un error al anotar. Su diferencia, máximo − mínimo, es el recorrido, que ya conoces de años anteriores; no es una medida de posición, sino de variabilidad, y en undécimo se estudia junto con otras medidas de variabilidad.

Ejemplo. En 15 hogares de un barrio se contó cuántas personas viven en cada uno: 4, 3, 5, 4, 2, 6, 4, 3, 5, 4, 7, 3, 4, 2 y 3. ¿Cuáles son el máximo y el mínimo?

Solución. Con muchos datos conviene ordenarlos primero: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7. El mínimo es 2 y el máximo, 7: todos los hogares tienen entre 2 y 7 personas, y el recorrido es 7 − 2 = 5 personas.

La moda: el dato más frecuente#

La moda es el valor, o la categoría, con mayor frecuencia. Es la única de estas medidas que sirve con cualquier dato cualitativo, incluso cuando las categorías no tienen orden: si en una encuesta la fruta preferida más mencionada es el mango, la moda es «mango», aunque no se pueda calcular un promedio de frutas.

Ejemplo. ¿Cuál es la moda del número de personas por hogar del ejemplo anterior?

Solución. En la lista ordenada, el 4 aparece 5 veces; el 3, 4 veces; el 2 y el 5, 2 veces cada uno, y el 6 y el 7, una vez. La moda es 4 personas por hogar.

Cuidado con la interpretación. El programa del MEP advierte que es común decir que la mayoría de los datos toma el valor de la moda, y que muchas veces eso es falso. Aquí, 5 de 15 hogares tienen 4 personas: es un tercio, no la mayoría. La moda dice cuál valor es el más común, no que sea el de la mayoría.

Más de una moda#

Un grupo puede tener más de una moda. En las notas 6, 8, 7, 8, 9, 6, 10 y 5, el 6 y el 8 aparecen dos veces cada uno y los demás, una sola vez: el grupo tiene dos modas, 6 y 8. Si todos los valores aparecen la misma cantidad de veces, ninguno destaca y la moda no aporta información.

La media aritmética: el promedio#

Ejemplo. Calcula la media del número de personas por hogar del barrio.

Solución. La suma de los 15 datos es 59, así que la media es 59 ÷ 15 ≈ 3,93 personas por hogar. Ningún hogar tiene 3,93 personas, pero el valor tiene sentido: si las 59 personas se repartieran por igual entre los 15 hogares, a cada uno le tocarían casi 4.

La media es el punto de equilibrio de los datos: las distancias de los datos que quedan por encima se compensan con las de los que quedan por debajo. Por ejemplo, la media de 3, 5 y 10 es 18 ÷ 3 = 6, y las diferencias con 6 son −3, −1 y 4, que suman 0. Además, la media siempre queda entre el mínimo y el máximo.

Ejemplo. La media de cinco notas de un estudiante es 78. Cuatro de ellas son 72, 88, 65 y 90. ¿Cuál es la quinta?

Solución. Si la media de 5 notas es 78, la suma de las cinco es 5 · 78 = 390. Las cuatro conocidas suman 72 + 88 + 65 + 90 = 315, así que la quinta nota es 390 − 315 = 75.

Los valores extremos y la forma de los datos#

La media usa todos los datos, y eso tiene un costo: es muy sensible a los valores extremos, es decir, a datos mucho más altos o mucho más bajos que los demás. La moda, en cambio, no cambia por un dato aislado.

Ejemplo. Una pequeña empresa tiene 10 personas empleadas. Ocho ganan ₡450 000 al mes, una gana ₡1 400 000 y la gerente gana ₡4 000 000. ¿Cuál es el salario promedio? ¿Describe bien lo que gana la mayoría?

Solución. La suma de los salarios es 8 · 450 000 + 1 400 000 + 4 000 000 = 9 000 000 colones, y la media es 9 000 000 ÷ 10 = ₡900 000. Sin embargo, el 80 % del personal gana ₡450 000, la mitad del promedio. La moda (₡450 000), que aquí coincide con el mínimo, describe mejor el salario común; la media sube por los dos salarios altos, y el máximo (₡4 000 000) muestra el valor extremo que la arrastra.

Es el tipo de situación que plantea el programa del MEP: un promedio alto puede convivir con una mayoría que gana mucho menos, cuando unos pocos datos son muy altos.

Dónde queda la media según la forma de la distribución#

• Distribución simétrica: los datos se reparten de forma parecida a ambos lados del centro y, si hay una sola moda, la media y la moda quedan cerca una de la otra.
• Asimetría positiva: hay una «cola» de pocos datos muy altos, como en los salarios. La media se desplaza hacia esa cola y queda por encima de la moda.
• Asimetría negativa: hay unos pocos datos muy bajos. La media se desplaza hacia abajo y queda por debajo de la moda.

Ejemplo. En un examen, diez estudiantes obtuvieron 95, 90, 95, 100, 95, 85, 90, 40, 95 y 35. Calcula la moda, la media, el máximo y el mínimo, e indica qué tipo de asimetría hay.

Solución. La moda es 95, que aparece cuatro veces; el máximo es 100 y el mínimo, 35. La suma de las notas es 820, así que la media es 820 ÷ 10 = 82. Ocho de las notas están entre 85 y 100, pero dos notas muy bajas (40 y 35) bajan la media hasta 82, por debajo de la moda: hay asimetría negativa. Para describir este grupo no basta con la media; conviene informarla junto con la moda, el máximo y el mínimo, o usar también la mediana, el valor que queda en el centro de los datos ordenados.

Con calculadora u hoja de cálculo#

Con muchos datos, el programa propone usar la calculadora con funciones estadísticas o la computadora, porque lo importante es interpretar los resultados. El procedimiento general es:

1. Escribe los datos en una columna de la hoja de cálculo, uno por celda, o introdúcelos en el modo de estadística de la calculadora; el manual indica cómo.
2. Busca en la lista de funciones estadísticas las del promedio, la moda, el máximo y el mínimo; sus nombres cambian según el programa y el idioma.
3. Revisa que los resultados sean razonables: la media tiene que quedar entre el mínimo y el máximo, y la moda tiene que ser uno de los datos.
4. Si la hoja muestra una sola moda, comprueba con un cuadro de frecuencias que no haya otro valor con la misma frecuencia.

Una calculadora científica común también sirve para la media: se suman los datos y luego se divide entre la cantidad. Hay que usar paréntesis o la tecla de igual antes de dividir, para respetar la prioridad de las operaciones: 4 + 6 ÷ 2 da 7, mientras que (4 + 6) ÷ 2 da 5.

Las cuatro medidas juntas: un problema para decidir#

Ejemplo. Marta puede ir al trabajo por dos rutas. Durante siete días anotó cuántos minutos tardó en cada una. Ruta A: 25, 30, 28, 30, 27, 30 y 29. Ruta B: 20, 22, 45, 21, 22, 50 y 22. ¿Cuál le conviene?

Solución. Ruta A: la suma es 199, la media es 199 ÷ 7 ≈ 28,4 minutos, la moda es 30, el mínimo 25 y el máximo 30. Ruta B: la suma es 202, la media es 202 ÷ 7 ≈ 28,9 minutos, la moda es 22, el mínimo 20 y el máximo 50. Las medias son casi iguales, pero las otras medidas cuentan historias distintas: por la ruta B, lo más común es tardar 22 minutos, aunque algunos días tardó hasta 50; por la ruta A, en esos siete días, nunca tardó más de 30.

Si Marta tiene que llegar a una hora fija, le conviene la ruta A: su máximo muestra que, en los días observados, nunca tardó más de media hora, aunque siete días no garantizan que nunca vaya a pasar. Si puede arriesgarse, la ruta B suele ser más rápida. Ninguna medida decide sola: juntas dan argumentos para decidir.

Ponte a prueba#

¿Cuáles son la moda, la media, el máximo y el mínimo de los datos 12, 15, 12, 18, 20, 12 y 16?#

¿Por qué no tiene sentido calcular la media de la provincia de nacimiento de un grupo de estudiantes?#

¿Qué le pasa a la media de los datos 10, 12, 14 y 16 si se agrega un dato de 48?#

¿Cuánto debe sacar Ana en la cuarta prueba para que su promedio sea 80 si en las tres primeras obtuvo 75, 82 y 77?#

¿Es cierto que si la moda de un grupo es 3, la mayoría de los datos vale 3?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)