Conjuntos numéricos: pertenencia y subconjuntos de los números reales

La ecuación x + 9 = 4 no tiene solución si solo se permiten los números 0, 1, 2, 3…, pero sí la tiene, x = −5, si se permiten los negativos. Por eso, al resolver una ecuación o al estudiar una función hay que decir en qué conjunto numérico se trabaja. En décimo año, el programa del MEP usa el lenguaje de los conjuntos como herramienta para escribir soluciones de ecuaciones y dominios de funciones.

En esta lección vas a conocer los conjuntos numéricos con su notación, a decidir a cuáles pertenece un número, a usar correctamente los símbolos de pertenencia (∈) y de subconjunto (⊂) y a describir subconjuntos de los números reales.

Los conjuntos numéricos y su notación#

El programa del MEP de décimo año usa estos conjuntos y símbolos:

Símbolo	Nombre	Qué números contiene	Ejemplos
ℕ	Naturales	0, 1, 2, 3, 4, … (en el programa del MEP, el 0 es un número natural)	0; 7; 150
ℤ	Enteros	Los naturales y sus opuestos: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …	−8; 0; 12
𝔻	Decimales	Los que se escriben como a/10n, con a entero y n natural; su expresión decimal es finita	0,5; −2,31 = −231/10²
ℚ	Racionales	Los que se escriben como a/b, con a y b enteros y b ≠ 0; su expresión decimal es finita o periódica	3/4; −5; 0,333…
𝕀	Irracionales	Los de expresión decimal infinita no periódica; no se pueden escribir como a/b	√2; 3√5; π
ℝ	Reales	Los racionales y los irracionales juntos: ℝ = ℚ ∪ 𝕀	Todos los anteriores

Además se usan ℤ⁺ y ℤ⁻ para los enteros positivos y negativos, y ℚ⁺ y ℚ⁻ para los racionales positivos y negativos. El programa indica que ℤ⁺ sirve también para nombrar a los naturales sin el cero: ℤ⁺ = {1, 2, 3, …}. Otros subconjuntos útiles son los números pares, los impares y los primos.

Cada conjunto de la lista contiene a los anteriores, salvo los irracionales, y el programa insiste en que esto quede claro:

¿A qué conjuntos pertenece un número?#

Para clasificar un número conviene seguir estos pasos:

1. Simplifica primero: √16 = 4, 12/4 = 3 y −8/2 = −4 son enteros, aunque no lo parezcan.
2. Si es un entero mayor o igual que 0, es natural; si es un entero negativo, está en ℤ pero no en ℕ.
3. Si no es entero, escribe la fracción irreducible. Está en 𝔻 si el denominador solo tiene los factores primos 2 y 5, porque entonces se puede amplificar hasta un denominador que sea potencia de 10. Si el denominador tiene otro factor primo, la expresión decimal es periódica: el número está en ℚ, pero no en 𝔻.
4. Si su expresión decimal es infinita y no periódica, es irracional.

Número	ℕ	ℤ	𝔻	ℚ	𝕀	ℝ
5	Sí	Sí	Sí	Sí	No	Sí
−3	No	Sí	Sí	Sí	No	Sí
7/40 = 0,175	No	No	Sí	Sí	No	Sí
5/12 = 0,41666…	No	No	No	Sí	No	Sí
√16 = 4	Sí	Sí	Sí	Sí	No	Sí
√2	No	No	No	No	Sí	Sí
π	No	No	No	No	Sí	Sí

Ejemplo. ¿Por qué 7/40 es un número decimal y 5/12 no lo es?

Solución. Como 40 = 2³ · 5, basta amplificar por 25 para llegar a una potencia de 10: 7/40 = 175/1000 = 0,175, que tiene la forma a/10ⁿ. En cambio, 12 = 2² · 3 tiene el factor 3, que no divide a ninguna potencia de 10, así que 5/12 no se puede escribir con denominador 10ⁿ: su expresión es 0,41666…, periódica. Es racional, pero no decimal.

Ojo con las raíces de números negativos: √(−4) no es un número real, porque ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo. Se escribe √(−4) ∉ ℝ.

Pertenencia (∈) frente a inclusión (⊂)#

El error más común es confundir los dos símbolos. El símbolo ∈ va entre un elemento y un conjunto; el símbolo ⊂ va entre dos conjuntos. Un número solo no es un conjunto, pero se convierte en uno si se escribe entre llaves: {3} es el conjunto cuyo único elemento es 3.

Expresión	¿Es correcta?	Por qué
3 ∈ ℕ	Sí	3 es un elemento de ℕ
{3} ⊂ ℕ	Sí	El único elemento de {3} está en ℕ
3 ⊂ ℕ	No	3 no es un conjunto; lo correcto es 3 ∈ ℕ
ℕ ∈ ℤ	No	ℕ no es un elemento de ℤ; lo correcto es ℕ ⊂ ℤ
−2 ∉ ℕ	Sí	−2 no es natural
ℤ ⊄ ℕ	Sí	−1 ∈ ℤ, pero −1 ∉ ℕ
√2 ∈ 𝕀	Sí	√2 es irracional
ℚ ⊂ 𝕀	No	1/2 ∈ ℚ, pero 1/2 ∉ 𝕀

Para mostrar que A ⊂ B hay que justificar que todos los elementos de A están en B; para mostrar que A ⊄ B basta un solo contraejemplo, un elemento de A que no esté en B. Con la definición de esta lección, todo conjunto es subconjunto de sí mismo, y el conjunto vacío, ∅, es subconjunto de cualquier conjunto.

Algunos libros escriben ⊆ para «es subconjunto de» y reservan ⊂ para los subconjuntos distintos del conjunto completo. Aquí se usa ⊂, como en el programa del MEP.

Subconjuntos por extensión y por comprensión#

Un subconjunto se describe por extensión cuando se escriben todos sus elementos, y por comprensión cuando se da la propiedad que los caracteriza. Con la notación del programa, {x | x ∈ ℤ, −3 < x ≤ 2} se lee «el conjunto de los x tales que x es entero, mayor que −3 y menor o igual que 2».

Ejemplo. Escribe por extensión A = {x | x ∈ ℤ, −3 < x ≤ 2} y B = {x | x ∈ ℕ, x es primo, x < 20}.

Solución. A = {−2, −1, 0, 1, 2}: el −3 no entra porque la desigualdad es estricta, y el 2 sí entra. B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Los dos son conjuntos finitos: A tiene 5 elementos y B tiene 8.

Otros subconjuntos son infinitos y solo se pueden describir por comprensión o con puntos suspensivos, como el de los números pares: P = {x | x = 2k, k ∈ ℤ} = {…, −4, −2, 0, 2, 4, …}. Si ningún número cumple la condición, el conjunto es vacío: {x | x ∈ ℕ, x² = 7} = ∅, porque 2² = 4 y 3² = 9.

El conjunto importa: soluciones de ecuaciones#

Una misma ecuación puede tener o no tener solución según el conjunto en que se trabaje. Cada conjunto de la cadena resuelve ecuaciones que el anterior no puede resolver:

Ecuación	Solución	Primer conjunto de la cadena en que tiene solución
x + 9 = 4	x = −5	ℤ (no hay solución en ℕ)
4x = 3	x = 3/4 = 0,75	𝔻 (no hay solución en ℤ)
3x = 2	x = 2/3 = 0,666…	ℚ (no hay solución en 𝔻)
x² = 5	x = √5 o x = −√5	ℝ, porque son irracionales (no hay solución en ℚ)

Ejemplo. ¿Cuál es el conjunto solución de x² = 9 en ℕ y en ℤ?

Solución. Los números cuyo cuadrado es 9 son 3 y −3. En ℕ solo sirve el 3, así que el conjunto solución es S = {3}; en ℤ sirven los dos, y S = {−3, 3}. El conjunto en que se trabaja cambia la respuesta.

Ponte a prueba#

¿A qué conjuntos numéricos pertenece el número −12/3?#

¿Es correcto escribir 5 ⊂ ℕ?#

¿Pertenece 7/12 al conjunto de los números decimales?#

¿Cuáles son los elementos del conjunto {x | x ∈ ℤ, −4 ≤ x < 1}?#

¿Es cierto que el conjunto de los irracionales es subconjunto de los racionales?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)