Datos cualitativos: cuadros de frecuencias y gráficos

¿Cómo llegan al colegio tus compañeros? ¿Cuánto les gusta leer? Las respuestas a estas preguntas no son números, sino categorías: autobús, a pie, «mucho», «poco». Son datos cualitativos. Ya los trabajaste en sétimo y octavo año; en décimo, el programa del MEP pide usarlos para analizar problemas de distintas áreas y conectarlos con el cálculo de probabilidades.

En esta lección vas a resumir datos cualitativos en cuadros de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales, a representarlos en gráficos de barras y circulares, a comparar grupos de distinto tamaño y a calcular probabilidades a partir de un cuadro. Todos los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Datos cualitativos y datos cuantitativos#

En un estudio estadístico, la unidad estadística es cada persona u objeto del que se recogen datos, y la característica (o variable) es lo que se observa en ella. Si la característica se mide o se cuenta con números que tiene sentido sumar o promediar, los datos son cuantitativos, como la estatura o el número de hermanos. Si clasifica a cada unidad en una categoría, los datos son cualitativos.

• Cualitativos sin orden: el medio de transporte, el color preferido o la provincia. Ninguna categoría es «mayor» que otra.
• Cualitativos con orden: el nivel de agrado (mucho, regular, poco, nada) o la calificación de un servicio (excelente, bueno, regular, malo). Las categorías tienen un orden natural, pero no se pueden sumar ni promediar.
• Un número también puede ser una etiqueta. El número de la camiseta de un jugador no se suma ni se promedia: es un dato cualitativo escrito con cifras.

Con datos cualitativos no tiene sentido calcular la media aritmética. Lo que sí se puede hacer es contar cuántas veces aparece cada categoría, calcular porcentajes, señalar la categoría más frecuente (la moda) y representar los resultados en cuadros y gráficos.

El cuadro de frecuencias#

El primer paso para resumir datos cualitativos es un cuadro con las categorías y sus frecuencias. Las frecuencias absolutas suman el total de datos; las relativas suman 1, y las porcentuales, 100 %.

Ejemplo. Se preguntó a los 40 estudiantes de una sección de décimo año cómo llegan al colegio. Respondieron: autobús, 18; a pie, 10; carro, 7; bicicleta, 3, y motocicleta, 2. Construye el cuadro de frecuencias.

Solución. Cada frecuencia relativa se obtiene al dividir entre 40: 18 ÷ 40 = 0,45; 10 ÷ 40 = 0,25; 7 ÷ 40 = 0,175; 3 ÷ 40 = 0,075 y 2 ÷ 40 = 0,05. Al multiplicarlas por 100 se obtienen las frecuencias porcentuales. Las relativas suman 1 y las porcentuales, 100 %.

Medio de transporte	Frecuencia absoluta	Frecuencia relativa	Frecuencia porcentual
Autobús	18	0,45	45 %
A pie	10	0,25	25 %
Carro	7	0,175	17,5 %
Bicicleta	3	0,075	7,5 %
Motocicleta	2	0,05	5 %
Total	40	1	100 %

El cuadro se lee así: casi la mitad de la sección viaja en autobús, y una de cada cuatro personas llega a pie. La categoría con mayor frecuencia, autobús, es la moda. Cuando los porcentajes se redondean, la suma puede dar 99,9 % o 100,1 %; no es un error, pero conviene aclararlo en una nota debajo del cuadro.

El gráfico de barras#

En un gráfico de barras, cada categoría tiene una barra cuya longitud es proporcional a su frecuencia, absoluta o porcentual. Las barras tienen el mismo ancho y van separadas, porque las categorías no son puntos de una escala continua. El programa del MEP sugiere, para facilitar la lectura, barras horizontales con datos cualitativos y verticales con datos cuantitativos; es una recomendación, no una regla.

1. Traza un eje para las categorías y otro para las frecuencias, con una escala que empiece en cero.
2. Si las categorías no tienen orden, acomódalas de la más frecuente a la menos frecuente; si lo tienen (mucho, regular, poco, nada), respeta ese orden.
3. Dibuja una barra por categoría, todas del mismo ancho y separadas entre sí.
4. Ponle un título, indica qué mide el eje (cantidad de estudiantes o porcentaje) y, si los datos no son tuyos, la fuente.

¿Por qué la escala empieza en cero? En el ejemplo del transporte, la barra de autobús (18) mide nueve veces la de motocicleta (2), porque 18 ÷ 2 = 9. Si el eje empezara en 1, se verían 17 unidades de la primera barra y solo 1 de la segunda, y autobús parecería 17 veces mayor. Cortar el eje exagera las diferencias: al leer un gráfico en una noticia, revisa siempre dónde empieza la escala.

El gráfico circular#

El gráfico circular (o de pastel) muestra cómo se reparte un total entre sus partes. A cada categoría le corresponde un sector cuyo ángulo central es proporcional a su frecuencia. Como el círculo completo mide 360°, el ángulo se calcula así:

Ejemplo. Calcula los ángulos de los sectores del gráfico circular del transporte de la sección.

Solución. Autobús: 0,45 · 360° = 162°. A pie: 0,25 · 360° = 90°, un cuarto del círculo. Carro: 0,175 · 360° = 63°. Bicicleta: 0,075 · 360° = 27°. Motocicleta: 0,05 · 360° = 18°. Los ángulos suman 162° + 90° + 63° + 27° + 18° = 360°, como debe ser.

El programa del MEP advierte que en un gráfico circular cuesta saber cuál sector es mayor cuando sus tamaños son parecidos, y que por eso el gráfico de barras suele ser mejor para comparar categorías. También recomienda centrarse en interpretarlos y, si se cuenta con una computadora, elaborarlos con ella, porque construirlos a mano lleva mucho tiempo.

Un gráfico circular solo tiene sentido cuando las categorías son partes de un mismo total y cada dato está en una sola categoría. Si en una encuesta cada persona puede marcar varias opciones, por ejemplo, «¿qué redes sociales usas?», los porcentajes suman más de 100 % y el gráfico circular no sirve; se usa uno de barras.

Comparar dos grupos: por qué se usan porcentajes#

El programa del MEP lo señala: las frecuencias absolutas de dos grupos solo son comparables si los grupos tienen la misma cantidad de personas. Si los tamaños son distintos, se comparan las frecuencias porcentuales.

Ejemplo. En dos secciones se preguntó «¿cuánto te gusta leer?». En la 10-1, de 32 estudiantes, respondieron: mucho, 12; regular, 10; poco, 6, y nada, 4. En la 10-2, de 25 estudiantes: mucho, 10; regular, 8; poco, 5, y nada, 2. ¿En cuál sección gusta más la lectura?

Solución. En frecuencias absolutas, la 10-1 tiene más estudiantes que respondieron «mucho» (12 contra 10), pero las secciones no tienen el mismo tamaño. En porcentajes, en la 10-1 respondió «mucho» el 12 ÷ 32 = 37,5 %, y en la 10-2, el 10 ÷ 25 = 40 %. Además, «nada» fue el 12,5 % en la 10-1 y el 8 % en la 10-2. En proporción, la lectura gusta un poco más en la 10-2.

Nivel de agrado	10-1 (32 estudiantes)	10-2 (25 estudiantes)
Mucho	12 (37,5 %)	10 (40 %)
Regular	10 (31,25 %)	8 (32 %)
Poco	6 (18,75 %)	5 (20 %)
Nada	4 (12,5 %)	2 (8 %)
Total	32 (100 %)	25 (100 %)

Un cuadro como este, que cruza dos características (la sección y el nivel de agrado), se llama cuadro de doble entrada. Se representa bien con un gráfico de barras comparativo: para cada nivel de agrado, una barra por sección, una al lado de la otra, con la escala en porcentajes y una leyenda que indique el color de cada sección.

Del cuadro a la probabilidad#

Los cuadros de frecuencias se conectan con la probabilidad. Si se escoge al azar a una persona de un grupo, de modo que todas tengan la misma posibilidad de salir, la probabilidad de que pertenezca a una categoría es su frecuencia relativa: los casos favorables divididos entre los casos posibles.

Ejemplo. Se escoge al azar a uno de los 57 estudiantes de las dos secciones anteriores. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer «mucho»? ¿Y de que sea de la 10-2 y le guste leer «mucho»?

Solución. Respondieron «mucho» 12 + 10 = 22 estudiantes, así que la primera probabilidad es 22 ÷ 57 ≈ 0,386, cerca del 38,6 %. Estudiantes de la 10-2 que respondieron «mucho» hay 10, de modo que la segunda es 10 ÷ 57 ≈ 0,175. En las dos preguntas los casos posibles son 57, porque se escoge entre todo el grupo.

Este razonamiento es el mismo que propone el programa con datos reales: a partir del cuadro de un censo, calcular porcentajes y la probabilidad de que una persona escogida al azar pertenezca a cierto grupo. Con muchos datos, una hoja de cálculo ayuda a construir el cuadro, los porcentajes y los gráficos.

Ponte a prueba#

¿Cuáles de estas características dan datos cualitativos: la provincia donde vives, tu estatura, tu grupo sanguíneo y la cantidad de hermanos que tienes?#

¿Cuál es la frecuencia porcentual de una categoría que aparece 9 veces en un total de 36 datos, y qué ángulo le toca en un gráfico circular?#

¿Qué porcentaje y qué ángulo le corresponden a cada especie si en un conteo escolar de 50 aves se vieron 20 zanates, 12 yigüirros, 10 pericos y 8 colibríes?#

¿Por qué no se pueden comparar directamente las frecuencias absolutas de dos grupos de distinto tamaño?#

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante escogido al azar entre los 57 del ejemplo de la lectura haya respondido «poco» o «nada»?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)