Análisis de funciones: dominio, ámbito, ceros, crecimiento y extremos

Q: ¿Cuáles son las preimágenes de 5 en la función f(x) = x² + 1?

Se resuelve x2 + 1 = 5, es decir, x2 = 4. Las soluciones son x = 2 y x = −2, así que el 5 tiene dos preimágenes: 2 y −2. Se comprueba: f(2) = 4 + 1 = 5 y f(−2) = 4 + 1 = 5. Como dos números distintos tienen la misma imagen, la función no es inyectiva en ℝ.

Q: ¿Cuáles son el máximo, el mínimo y el ámbito de f(x) = 3x − 2 con dominio [−1, 2]?

Si x1 < x2, entonces 3x1 − 2 < 3x2 − 2, así que la función siempre sube. El mínimo está en el extremo izquierdo, f(−1) = −3 − 2 = −5, y el máximo en el derecho, f(2) = 6 − 2 = 4. Como la gráfica es un segmento sin saltos, el ámbito es [−5, 4]. Su único cero es x = 2/3, porque 3x − 2 = 0.

Q: ¿Cuáles son los ceros de f(x) = x³ − 9x y dónde es positiva?

Se factoriza: x3 − 9x = x(x2 − 9) = x(x − 3)(x + 3). Los ceros son −3, 0 y 3. Al evaluar un punto de cada intervalo se obtiene f(−4) = −28, f(−1) = 8, f(1) = −8 y f(4) = 28. La función es positiva en ]−3, 0[ ∪ ]3, +∞[ y negativa en ]−∞, −3[ ∪ ]0, 3[.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 13 de 22

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 11 min de lectura

Saber qué es una función es el primer paso; el segundo es «leerla»: calcular imágenes y preimágenes, describir para qué valores está definida, dónde corta los ejes, dónde sube o baja y cuáles son sus valores extremos. El programa del MEP llama a esto analizar una función a partir de sus representaciones, y pide hacerlo tanto con el criterio (la forma algebraica) como con la gráfica.

En esta lección vas a trabajar cada elemento del análisis con dos funciones que te acompañan de principio a fin: una dada por su criterio, f(x) = x³ − 4x, y otra dada por su gráfica, g, que se describe con sus puntos.

Definición

Si una función f cumple f(a) = b, se dice que b es la imagen de a y que a es una preimagen de b. El dominio D_f es el conjunto de los valores de x para los que f está definida, y el ámbito A_f (también llamado rango) es el conjunto de todas las imágenes. Cada elemento del dominio tiene una sola imagen, pero un número puede tener ninguna, una o varias preimágenes.

Las dos funciones de esta lección#

La primera función es f(x) = x³ − 4x, con dominio ℝ. La segunda, g, se da por su gráfica: tiene dominio [−4, 5] y su gráfica es la línea poligonal que une, en este orden, los puntos (−4, 2), (−2, −2), (0, −2), (2, 2) y (5, −4). Conviene dibujarla en papel cuadriculado antes de seguir.

Tramo de g	Une los puntos	Qué hace la gráfica
1	(−4, 2) y (−2, −2)	Baja 4 unidades en 2: pendiente −2
2	(−2, −2) y (0, −2)	Es horizontal: g vale −2
3	(0, −2) y (2, 2)	Sube 4 unidades en 2: pendiente 2
4	(2, 2) y (5, −4)	Baja 6 unidades en 3: pendiente −2

Evaluar una función: imágenes y preimágenes#

Con el criterio, la imagen se obtiene al sustituir. La preimagen exige resolver una ecuación: las preimágenes de b son las soluciones de f(x) = b.

Ejemplo. Con f(x) = x³ − 4x, calcula f(−1), f(3) y f(2t), y halla las preimágenes de 0 y de 15.

Solución. f(−1) = −1 + 4 = 3; f(3) = 27 − 12 = 15; f(2t) = (2t)³ − 4(2t) = 8t³ − 8t. Para las preimágenes de 0 se resuelve x³ − 4x = 0, que se factoriza como x(x − 2)(x + 2) = 0: x = −2, x = 0 o x = 2. El 0 tiene tres preimágenes. Para las de 15 se resuelve x³ − 4x − 15 = 0. Ya se sabe que x = 3 es solución; al factorizar queda (x − 3)(x² + 3x + 5) = 0, y el segundo factor no tiene raíces reales porque su discriminante es 9 − 20 = −11. El 15 tiene una sola preimagen: 3.

Con la gráfica, la imagen de a se lee desde el punto a del eje x, subiendo o bajando hasta la gráfica: la altura de ese punto es f(a). Las preimágenes de b se buscan con la recta horizontal y = b: las abscisas de los puntos donde corta la gráfica son las preimágenes.

Ejemplo. Con la gráfica de g, halla g(−3), g(−1) y g(4), y las preimágenes de 2 y de −2.

Solución. En el tramo 1, la gráfica baja 2 unidades por cada unidad que avanza: de x = −4 a x = −3 baja de 2 a 0, así que g(−3) = 0. En el tramo 2 la gráfica es horizontal: g(−1) = −2. En el tramo 4, de x = 2 a x = 4 avanza 2 unidades y baja 4: g(4) = 2 − 4 = −2. La recta y = 2 toca la gráfica en (−4, 2) y en (2, 2): las preimágenes de 2 son −4 y 2. La recta y = −2 contiene todo el tramo 2 y corta el tramo 4 en (4, −2): las preimágenes de −2 son todos los números de [−2, 0] y, además, el 4. El −2 tiene infinitas preimágenes.

Dominio y ámbito#

Si el dominio no se indica, se toma el mayor conjunto de números reales en el que el criterio tiene sentido. Un polinomio, como f(x) = x³ − 4x, tiene dominio ℝ. En una fracción algebraica se excluyen los valores que anulan el denominador.

Ejemplo. ¿Cuál es el dominio de h(x) = (x + 1)/(x² − 9)?

Solución. El denominador se anula cuando x² = 9, es decir, en x = −3 y en x = 3. El dominio es ℝ − {−3, 3}, que por comprensión se escribe {x ∈ ℝ : x ≠ −3 y x ≠ 3}.

El ámbito se lee en la gráfica al «proyectar» la curva sobre el eje y: son todas las alturas que alcanza. La gráfica de g llega hasta 2 por arriba y hasta −4 por abajo, sin saltos, así que su ámbito es [−4, 2]. En forma algebraica a veces basta un razonamiento: como x² ≥ 0 para todo x, la función p(x) = x² + 1 solo toma valores mayores o iguales que 1, y cada y ≥ 1 se alcanza con x = √(y − 1). Su ámbito es [1, +∞[.

Ceros y signo de una función#

Los ceros de una función son los valores del dominio cuya imagen es 0, es decir, las preimágenes de 0. En la gráfica son las abscisas de los puntos donde la curva corta o toca el eje x. Entre dos ceros seguidos, una función cuya gráfica no tiene saltos conserva el signo: es positiva donde su gráfica está por encima del eje x y negativa donde está por debajo.

Ejemplo. Halla los ceros de f(x) = x³ − 4x y los intervalos donde es positiva y donde es negativa.

Solución. Los ceros son −2, 0 y 2. Dividen la recta real en cuatro intervalos, y basta evaluar un punto de cada uno: f(−3) = −27 + 12 = −15, f(−1) = 3, f(1) = 1 − 4 = −3 y f(3) = 15. Por lo tanto, f es positiva en ]−2, 0[ ∪ ]2, +∞[ y negativa en ]−∞, −2[ ∪ ]0, 2[.

Ejemplo. ¿Cuáles son los ceros de g y dónde es positiva?

Solución. Ya se vio que g(−3) = 0. En el tramo 3, la gráfica sube de −2 a 2 entre x = 0 y x = 2, y pasa por 0 en el punto medio, x = 1. En el tramo 4 baja 2 unidades por cada unidad que avanza desde (2, 2), así que llega a 0 en x = 3. Los ceros son −3, 1 y 3. La función g es positiva en [−4, −3[ ∪ ]1, 3[ y negativa en ]−3, 1[ ∪ ]3, 5].

Inyectividad#

Una función es inyectiva si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas: si a ≠ b, entonces f(a) ≠ f(b). Dicho de otro modo, ningún número del ámbito tiene dos preimágenes. En una gráfica se revisa con rectas horizontales: si alguna corta la gráfica en más de un punto, la función no es inyectiva.

Ninguna de las dos funciones de esta lección es inyectiva: f(−2) = f(0) = f(2) = 0, y g(−4) = g(2) = 2. En cambio, k(x) = 3x − 5 sí lo es: si 3a − 5 = 3b − 5, entonces 3a = 3b y a = b, así que dos números distintos no pueden tener la misma imagen. La inyectividad es la condición para que una función tenga inversa, tema de undécimo año (ver funciones inversas).

Crecimiento y decrecimiento#

El programa del MEP define estos conceptos así: una función es creciente en un intervalo si, para x₁ < x₂ en ese intervalo, se cumple f(x₁) ≤ f(x₂); y es decreciente si se cumple f(x₁) ≥ f(x₂). Con esta definición, una función constante es creciente y decreciente a la vez.

El programa no usa el término «estrictamente creciente». Cuando haga falta decir que la función siempre sube, sin repetir valores, se escribe la condición completa: si x₁ < x₂, entonces f(x₁) < f(x₂). La diferencia importa: una función que cumple esa condición en un intervalo es inyectiva en él, pero una función que solo es creciente puede no serlo, como una constante.

Ejemplo. ¿En qué intervalos crece y decrece g?

Solución. Al recorrer la gráfica de izquierda a derecha, g baja en [−4, −2], es constante en [−2, 0], sube en [0, 2] y baja en [2, 5]. Como un tramo constante es creciente y decreciente a la vez, también es correcto decir que g es decreciente en [−4, 0], creciente en [−2, 2] y decreciente en [2, 5]. En [−2, 0], g es creciente pero no es inyectiva.

Máximo y mínimo#

El valor máximo de una función es la mayor de sus imágenes: un número M tal que f(x) ≤ M para todo x del dominio y que se alcanza en algún x. El valor mínimo es la menor de sus imágenes. Una función puede alcanzar su máximo en varios puntos, y también puede no tener máximo ni mínimo.

El valor máximo de g es 2, que alcanza en x = −4 y en x = 2; su valor mínimo es −4, en x = 5. La función f(x) = x³ − 4x, con dominio ℝ, no tiene máximo ni mínimo: f(10) = 960 y f(−10) = −960, y con valores de x más alejados del 0 se obtienen imágenes todavía más grandes o más pequeñas.

Ejemplo. Analiza la función q(x) = −2x + 7 con dominio [−1, 4].

Solución. Si x₁ < x₂, entonces −2x₁ > −2x₂ y q(x₁) > q(x₂): la función es decreciente en todo su dominio y, como nunca repite un valor, es inyectiva. Su valor máximo está en el extremo izquierdo, q(−1) = 9, y su valor mínimo en el derecho, q(4) = −1, así que el ámbito es [−1, 9]. Su cero sale de −2x + 7 = 0: x = 7/2. Es positiva en [−1, 7/2[ y negativa en ]7/2, 4]. Corta el eje y en (0, 7).

Ponte a prueba#

¿Cuáles son las preimágenes de 5 en la función f(x) = x² + 1?#

Se resuelve x² + 1 = 5, es decir, x² = 4. Las soluciones son x = 2 y x = −2, así que el 5 tiene dos preimágenes: 2 y −2. Se comprueba: f(2) = 4 + 1 = 5 y f(−2) = 4 + 1 = 5. Como dos números distintos tienen la misma imagen, la función no es inyectiva en ℝ.

¿Cuál es el dominio de h(x) = 3/(x² − 4x)?#

Hay que excluir los valores que anulan el denominador. Se resuelve x² − 4x = 0, que se factoriza como x(x − 4) = 0 y da x = 0 o x = 4. El dominio es ℝ − {0, 4}, o sea, {x ∈ ℝ : x ≠ 0 y x ≠ 4}. En cualquier otro número real la fracción se puede calcular.

¿Es creciente una función constante, según el programa del MEP?#

Sí, y también es decreciente. El programa llama creciente a una función que cumple f(x₁) ≤ f(x₂) siempre que x₁ < x₂, y decreciente a la que cumple f(x₁) ≥ f(x₂). Una constante, como f(x) = 5, cumple las dos condiciones, porque f(x₁) = f(x₂) = 5. Por eso ser creciente no garantiza que una función sea inyectiva: la constante no lo es.

¿Cuáles son el máximo, el mínimo y el ámbito de f(x) = 3x − 2 con dominio [−1, 2]?#

Si x₁ < x₂, entonces 3x₁ − 2 < 3x₂ − 2, así que la función siempre sube. El mínimo está en el extremo izquierdo, f(−1) = −3 − 2 = −5, y el máximo en el derecho, f(2) = 6 − 2 = 4. Como la gráfica es un segmento sin saltos, el ámbito es [−5, 4]. Su único cero es x = 2/3, porque 3x − 2 = 0.

¿Cuáles son los ceros de f(x) = x³ − 9x y dónde es positiva?#

Se factoriza: x³ − 9x = x(x² − 9) = x(x − 3)(x + 3). Los ceros son −3, 0 y 3. Al evaluar un punto de cada intervalo se obtiene f(−4) = −28, f(−1) = 8, f(1) = −8 y f(4) = 28. La función es positiva en ]−3, 0[ ∪ ]3, +∞[ y negativa en ]−∞, −3[ ∪ ]0, 3[.