El cono circular recto y sus secciones: elipse, parábola e hipérbola

Un cucurucho de helado, un embudo o el haz de luz de un foco de mano tienen forma de cono. Si ese cono se corta con un plano, el borde del corte puede ser una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola, según la inclinación del plano. Por eso a estas curvas se les llama secciones cónicas.

En esta lección vas a identificar los elementos de un cono circular recto (vértice, base, altura, radio, diámetro y superficie lateral), a reconocer qué figura se obtiene con cada tipo de corte, a calcular medidas de algunas secciones y a reconocer elipses, parábolas e hipérbolas en otros contextos.

Los elementos del cono circular recto#

• Vértice: el punto donde se juntan todas las generatrices.
• Base: el círculo sobre el que se apoya el cono, de radio r y diámetro d = 2r.
• Altura h: el segmento perpendicular a la base trazado desde el vértice; en el cono recto llega al centro de la base y está sobre el eje del cono.
• Generatriz g: cualquier segmento que une el vértice con un punto de la circunferencia de la base; todas miden lo mismo.
• Superficie lateral: la superficie curva formada por todas las generatrices. Si se corta a lo largo de una generatriz y se extiende sobre la mesa, queda un sector circular de radio g.

Ejemplo. Un cono circular recto tiene 12 cm de altura y 5 cm de radio. Calcula su diámetro, su generatriz, el ángulo que forman las generatrices con la base y el área de su superficie lateral.

Solución. El diámetro es d = 2 · 5 = 10 cm. Por el teorema de Pitágoras, g = √(12² + 5²) = √169 = 13 cm. En el triángulo rectángulo formado por la altura, el radio y la generatriz, el ángulo θ entre la generatriz y la base cumple tan θ = 12/5, así que θ ≈ 67,4°. El área lateral es π · 5 · 13 = 65π ≈ 204,2 cm².

Las secciones planas de un cono#

Una sección plana es la figura que queda al cortar el sólido con un plano. Si el plano no pasa por el vértice, el borde de la sección es una de las secciones cónicas, y cuál se obtiene depende de la inclinación del plano comparada con la de las generatrices:

Cómo es el plano (sin pasar por el vértice)	Curva que se obtiene
Paralelo a la base	Circunferencia
Inclinado respecto a la base, pero menos que las generatrices, de modo que corta todas las generatrices sin tocar la base	Elipse
Paralelo a una generatriz	Parábola
Más inclinado que las generatrices; por ejemplo, perpendicular a la base	Hipérbola

En un cono con base, la parábola y la hipérbola aparecen como un arco cerrado por un segmento sobre la base; la curva completa se ve si se imagina el cono prolongado sin fin. Si además el cono se prolonga más allá del vértice (un cono doble, como dos embudos unidos por la punta), el plano de la hipérbola corta las dos partes: por eso la hipérbola completa tiene dos ramas.

Si el plano pasa por el vértice, la sección se reduce a un punto, a una generatriz o a un triángulo. Cuando el plano contiene el eje, la sección es un triángulo isósceles cuyos lados iguales son generatrices y cuya base es un diámetro.

Según el archivo de historia de las matemáticas MacTutor, de la Universidad de St Andrews, Menecmo, que vivió aproximadamente entre el 380 y el 320 antes de nuestra era, fue el primero en estudiar la elipse, la parábola y la hipérbola como secciones de un cono, cuando buscaba resolver el problema de la duplicación del cubo; el programa del MEP sitúa ese hallazgo hacia el año 350 antes de nuestra era. Más tarde, Apolonio de Perga (aproximadamente 262-190 antes de nuestra era) escribió Las Cónicas, una obra en ocho libros en la que reunió lo que ya se sabía de estas curvas y lo desarrolló de forma más completa y general.

Ejemplo. En el cono anterior (r = 5 cm, h = 12 cm), las generatrices forman con la base un ángulo de unos 67,4°. ¿Qué curva se obtiene con un plano que forma 30° con la base, con uno paralelo a una generatriz y con uno perpendicular a la base, si ninguno pasa por el vértice?

Solución. El plano de 30° está menos inclinado que las generatrices (30° < 67,4°); si corta todas las generatrices sin tocar la base, la sección es una elipse. El plano paralelo a una generatriz tiene su misma inclinación, unos 67,4°, y la sección es una parábola. El plano perpendicular a la base forma 90°, más que las generatrices, y la sección es una hipérbola.

Características métricas de algunas secciones#

El corte paralelo a la base produce un círculo más pequeño. Su radio se calcula con semejanza de triángulos: el triángulo formado por la altura, el radio y la generatriz es semejante al que forman la distancia del vértice al plano de corte, el radio de la sección y el tramo de generatriz que queda arriba.

Ejemplo. Al cono de 12 cm de altura y 5 cm de radio se le hace un corte paralelo a la base, a 4 cm de ella. ¿Cuál es el radio de la sección y cuál su área?

Solución. El plano está a 12 − 4 = 8 cm del vértice. Entonces r′ = 5 · 8/12 = 10/3 ≈ 3,33 cm. El área de la sección es π · (10/3)² = 100π/9 ≈ 34,9 cm². Como en una homotecia de centro en el vértice y razón 8/12 = 2/3, los radios están en razón 2/3 y las áreas en razón (2/3)² = 4/9: en efecto, el área de la base es 25π cm² y 25π · 4/9 = 100π/9.

Ejemplo. Un cono tiene 9 cm de altura y 6 cm de radio. ¿A qué distancia del vértice hay que cortarlo, paralelamente a la base, para obtener una sección de 2 cm de radio?

Solución. De r′/r = h′/h se despeja h′ = h · r′/r = 9 · 2/6 = 3 cm. El corte va a 3 cm del vértice, o sea, a 9 − 3 = 6 cm de la base.

Ejemplo. ¿Qué figura y qué área tiene la sección del cono de 12 cm de altura y 5 cm de radio por un plano que contiene su eje?

Solución. Es un triángulo isósceles: sus lados iguales son dos generatrices de 13 cm y su base es un diámetro de 10 cm. Su altura es la del cono, 12 cm, así que su área es 10 · 12 ÷ 2 = 60 cm².

Elipses, parábolas e hipérbolas en otros contextos#

• Elipse: curva cerrada y ovalada, con dos ejes de simetría; la circunferencia es un caso especial. Según la NASA, la órbita de cada planeta alrededor del Sol es una elipse, con el centro del Sol en uno de sus focos. También es una elipse la mancha de luz de un foco de mano que apunta de forma oblicua al piso, siempre que todo el borde del haz llegue al piso.
• Parábola: curva abierta, con un solo eje de simetría. Un material educativo de la NASA explica que una pelota lanzada sube y baja siguiendo un arco con forma de parábola; la forma es exacta solo si se desprecia la resistencia del aire. La gráfica de una función cuadrática, como y = x², es otra forma de representar esta misma curva. Con el foco de mano, la mancha de luz se vuelve una parábola cuando el borde del haz queda paralelo al piso.
• Hipérbola: curva abierta de dos ramas separadas, que se acercan cada vez más a dos rectas. En una lámpara con pantalla abierta arriba y abajo, la luz que sale por cada abertura forma, aproximadamente, un cono de eje vertical; la pared, paralela a ese eje, corta cada cono en un arco de hipérbola: uno de luz arriba y otro abajo. La gráfica de y = 1/x también es una hipérbola.

Para reconocer cada curva en una imagen, fíjate en si es cerrada (elipse o circunferencia) o abierta, y en si tiene una rama (parábola) o dos (hipérbola). Puedes comprobarlo con un cono de plastilina cortado con un hilo, o en un programa de geometría dinámica que permita cortar sólidos con planos.

Ponte a prueba#

¿Cuánto mide la generatriz de un cono circular recto de 8 cm de radio y 15 cm de altura?#

¿Qué sección se obtiene al cortar un cono con un plano paralelo a una generatriz que no pasa por el vértice?#

¿Cuál es el radio de la sección paralela a la base hecha a 6 cm del vértice en un cono de 10 cm de altura y 4 cm de radio?#

¿Qué curvas dibuja en una pared la luz de una lámpara cuya pantalla está abierta arriba y abajo?#

¿Qué figura y qué área tiene la sección de un cono de 6 cm de radio y 8 cm de altura por un plano que contiene su eje?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)
• NASA Science — Orbits and Kepler's Laws
• NASA — Museum in a Box: Ball Launcher (PDF, material educativo)
• MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews — Menaechmus
• MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews — Apollonius of Perga