Composición de funciones: cómo se calcula y cuál es su dominio

Q: ¿Cuánto vale (g ∘ f)(2) si f(x) = x² + 1 y g(x) = 3x − 4?

Primero se aplica f: f(2) = 22 + 1 = 5. Luego se aplica g al resultado: g(5) = 3 · 5 − 4 = 11. Entonces (g ∘ f)(2) = 11. En el otro orden el resultado cambia: g(2) = 6 − 4 = 2 y f(2) = 5, así que (f ∘ g)(2) = 5. La composición no es conmutativa.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 14 de 22

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

Muchas situaciones se describen con dos funciones encadenadas: la cantidad que produce un taller depende del tiempo de trabajo, y el costo depende de la cantidad producida. Para saber cómo depende el costo del tiempo, se aplica una función después de la otra. Esa operación se llama composición de funciones.

El programa del MEP pide calcular composiciones con distintas representaciones y destaca su importancia: permite relacionar una función con su inversa, tema de undécimo año. En esta lección vas a calcular composiciones con valores, con criterios y con tablas, y a determinar su dominio.

Definición

Dadas dos funciones f y g, la composición de g con f es la función g ∘ f definida por (g ∘ f)(x) = g(f(x)): primero se aplica f a x y luego se aplica g al resultado. Su dominio está formado por los x del dominio de f cuya imagen f(x) pertenece al dominio de g.

Componer paso a paso: primero f, después g#

La notación se lee de derecha a izquierda: en (g ∘ f)(x) actúa primero f, la que está más cerca de x. Una buena imagen es la de dos máquinas en fila: x entra en la máquina f, sale f(x), y ese resultado entra en la máquina g, de la que sale g(f(x)). La expresión g ∘ f se lee «g compuesta con f».

Ejemplo. Con f(x) = 2x + 1 y g(x) = x² − 3, calcula (g ∘ f)(3) y (f ∘ g)(3).

Solución. Para (g ∘ f)(3), primero f(3) = 2 · 3 + 1 = 7 y luego g(7) = 49 − 3 = 46. Para (f ∘ g)(3), primero g(3) = 9 − 3 = 6 y luego f(6) = 2 · 6 + 1 = 13. Los resultados son distintos: el orden importa.

Este ejemplo muestra que la composición no es conmutativa: en general, g ∘ f y f ∘ g son funciones distintas, aunque existan las dos.

El criterio de la función compuesta#

Para obtener el criterio de g ∘ f se escribe g(f(x)) y se coloca la expresión de f(x) en cada lugar donde el criterio de g tiene una x. Después se simplifica.

Ejemplo. Con f(x) = 2x + 1 y g(x) = x² − 3, halla los criterios de g ∘ f y de f ∘ g.

Solución. (g ∘ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)² − 3 = 4x² + 4x + 1 − 3 = 4x² + 4x − 2. (f ∘ g)(x) = f(x² − 3) = 2(x² − 3) + 1 = 2x² − 5. Se comprueba con los valores del ejemplo anterior: con x = 3, 4 · 9 + 12 − 2 = 46 y 2 · 9 − 5 = 13.

Una función también se puede componer consigo misma: (f ∘ f)(x) = f(f(x)). Con f(x) = 2x + 1, se obtiene (f ∘ f)(x) = 2(2x + 1) + 1 = 4x + 3.

Ejemplo. Con f(x) = 3x − 4 y h(x) = (x + 4)/3, calcula (h ∘ f)(x) y (f ∘ h)(x).

Solución. (h ∘ f)(x) = ((3x − 4) + 4)/3 = 3x/3 = x, y (f ∘ h)(x) = 3 · (x + 4)/3 − 4 = x + 4 − 4 = x. Las dos composiciones dan la función identidad, que a cada número le asigna el mismo número: cada función deshace lo que hace la otra. Esa es la idea de las funciones inversas, que se estudian en undécimo año.

Composición con tablas#

El programa propone calcular composiciones sin conocer los criterios, a partir de tablas. Se busca primero la imagen por la función de adentro y luego, con ese resultado, la imagen por la de afuera. Estas son dos funciones con dominio {0, 1, 2, 3, 4}:

x	0	1	2	3	4
f(x)	2	4	1	3	0
g(x)	3	0	4	2	1

Ejemplo. Con la tabla, calcula (g ∘ f)(x) y (f ∘ g)(x) para x = 0, 1, 2, 3 y 4.

Solución. Para (g ∘ f)(0): f(0) = 2 y g(2) = 4. Del mismo modo, (g ∘ f)(1) = g(4) = 1, (g ∘ f)(2) = g(1) = 0, (g ∘ f)(3) = g(3) = 2 y (g ∘ f)(4) = g(0) = 3. Para f ∘ g se empieza por g: (f ∘ g)(0) = f(3) = 3, (f ∘ g)(1) = f(0) = 2, (f ∘ g)(2) = f(4) = 0, (f ∘ g)(3) = f(2) = 1 y (f ∘ g)(4) = f(1) = 4.

x	0	1	2	3	4
(g ∘ f)(x)	4	1	0	2	3
(f ∘ g)(x)	3	2	0	1	4

Con gráficas se procede igual: se lee f(a) en la gráfica de f y luego se busca la imagen de ese número en la gráfica de g.

El dominio de la función compuesta#

Para calcular g(f(x)) hace falta que x esté en el dominio de f y que f(x) esté en el dominio de g. Si el ámbito de f está contenido en el dominio de g, la composición g ∘ f se puede calcular en todo el dominio de f. Si no lo está, depende de cómo se den las funciones. Cuando los dominios vienen fijados, se pide que el ámbito de la función de adentro esté contenido en el dominio de la de afuera: en un ejemplo del programa del MEP con dominios finitos, ese ámbito no coincide con ese dominio, y el programa dice que la composición no tiene sentido. Cuando solo se dan los criterios, se toma como dominio de g ∘ f el mayor conjunto en el que se puede calcular:

Fórmula

D_{g ∘ f} = {x ∈ D_f : f(x) ∈ D_g}

Donde D_f y D_g son los dominios de f y de g.

Ejemplo. Sean f(x) = x + 2, con dominio {1, 2, 3}, y g(x) = x², con dominio {3, 4, 5}. ¿Se pueden calcular g ∘ f y f ∘ g?

Solución. El ámbito de f es {3, 4, 5}, que coincide con el dominio de g, así que g ∘ f existe en todo {1, 2, 3}: g(f(1)) = g(3) = 9, g(f(2)) = g(4) = 16 y g(f(3)) = g(5) = 25. En cambio, el ámbito de g es {9, 16, 25}, que no está contenido en el dominio de f: la composición f ∘ g no tiene sentido. Aquí, además, ninguno de esos números está en {1, 2, 3}, así que f ∘ g no se podría calcular para ningún valor.

Ejemplo. Halla el criterio y el dominio de g ∘ f y de f ∘ g si f(x) = x − 5 y g(x) = √x.

Solución. La raíz cuadrada solo está definida para números mayores o iguales que 0 (ver la función raíz cuadrada), así que D_g = [0, +∞[, mientras que D_f = ℝ. Para g ∘ f: (g ∘ f)(x) = √(x − 5), y hace falta que x − 5 ≥ 0, es decir, x ≥ 5. Su dominio es [5, +∞[. Para f ∘ g: (f ∘ g)(x) = √x − 5, y basta que x esté en el dominio de g, así que su dominio es [0, +∞[. Por ejemplo, (g ∘ f)(9) = √4 = 2 y (f ∘ g)(9) = 3 − 5 = −2.

Ejemplo. Halla el dominio de g ∘ f si f(x) = x² − 4 y g(x) = 1/x.

Solución. El dominio de g es ℝ − {0}, así que hay que excluir los x con f(x) = 0: x² − 4 = 0 da x = −2 y x = 2. El criterio es (g ∘ f)(x) = 1/(x² − 4) y su dominio es ℝ − {−2, 2}.

Cuidado: el dominio se halla antes de simplificar#

Con f(x) = 1/x, la composición f ∘ f da 1/(1/x), que se simplifica como x. Pero no es la identidad en todo ℝ: el 0 no está en el dominio de f, así que el dominio de f ∘ f es ℝ − {0}.

Un problema de aplicación#

Los datos de este problema son inventados para practicar.

Ejemplo. Un taller produce llaveros de madera. En t horas de trabajo fabrica p(t) = 12t llaveros, y producir x llaveros cuesta C(x) = 350x + 6000 colones, porque a los materiales se suman ₡6000 fijos por el alquiler del equipo. Escribe el costo en función del tiempo, calcula el costo de una jornada de 8 horas y halla cuántas horas se trabajaron si el costo fue de ₡48 000.

Solución. El costo en función del tiempo es la composición (C ∘ p)(t) = C(12t) = 350 · 12t + 6000 = 4200t + 6000. En 8 horas se fabrican p(8) = 96 llaveros, y el costo es (C ∘ p)(8) = 4200 · 8 + 6000 = 33 600 + 6000 = ₡39 600. Si el costo fue de ₡48 000, se resuelve 4200t + 6000 = 48 000: 4200t = 42 000 y t = 10 horas. El orden de la composición tiene sentido: primero se calcula cuántos llaveros salen y después cuánto cuestan; p ∘ C no tendría significado en este problema.

Ponte a prueba#

¿Cuánto vale (g ∘ f)(2) si f(x) = x² + 1 y g(x) = 3x − 4?#

Primero se aplica f: f(2) = 2² + 1 = 5. Luego se aplica g al resultado: g(5) = 3 · 5 − 4 = 11. Entonces (g ∘ f)(2) = 11. En el otro orden el resultado cambia: g(2) = 6 − 4 = 2 y f(2) = 5, así que (f ∘ g)(2) = 5. La composición no es conmutativa.

¿Cuál es el criterio de (f ∘ g)(x) si f(x) = x² y g(x) = x + 3?#

Se coloca g(x) en el lugar de la x de f: (f ∘ g)(x) = f(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9. En el otro orden, (g ∘ f)(x) = g(x²) = x² + 3, que es otra función: con x = 1, la primera da 16 y la segunda, 4.

¿Cuál es el dominio de (g ∘ f)(x) si f(x) = 2x − 6 y g(x) = √x?#

La composición es (g ∘ f)(x) = √(2x − 6). Para que exista, la imagen de f tiene que estar en el dominio de la raíz: 2x − 6 ≥ 0, es decir, 2x ≥ 6 y x ≥ 3. El dominio es [3, +∞[. Por ejemplo, con x = 5 se obtiene √4 = 2, y con x = 1 no se puede calcular, porque f(1) = −4.

¿Por qué se dice que la composición de funciones no es conmutativa?#

Porque, en general, g ∘ f y f ∘ g dan resultados distintos. Con f(x) = x + 1 y g(x) = 2x: (g ∘ f)(x) = 2(x + 1) = 2x + 2, mientras que (f ∘ g)(x) = 2x + 1. Con x = 0, la primera da 2 y la segunda, 1. No es lo mismo sumar 1 y después duplicar que duplicar y después sumar 1.

¿Qué se obtiene al componer f(x) = 2x + 6 con g(x) = x/2 − 3?#

Se obtiene la función identidad en los dos órdenes: (f ∘ g)(x) = 2(x/2 − 3) + 6 = x − 6 + 6 = x, y (g ∘ f)(x) = (2x + 6)/2 − 3 = x + 3 − 3 = x. La función f multiplica por 2 y suma 6; g hace lo contrario en orden inverso, porque x/2 − 3 = (x − 6)/2: resta 6 y divide entre 2. Por eso son funciones inversas.