Concepto de función y gráfica: cómo saber si una relación es función

Desde la escuela trabajas con relaciones entre dos variables: el costo de una compra según la cantidad de artículos, la distancia recorrida según el tiempo, el área de un cuadrado según su lado. En décimo año esas relaciones se formalizan con el concepto de función, que se usa en todo el ciclo diversificado: este año con las funciones lineal y cuadrática, y en undécimo con las inversas, la exponencial, la logarítmica y la modelización.

En esta lección vas a aprender qué condición tiene que cumplir una relación para ser función y cómo se revisa esa condición cuando la relación se da en una tabla, con una ecuación (en forma simbólica) o con una gráfica. Al final verás qué es la gráfica de una función y por qué a veces se dibuja con una línea continua y otras veces con puntos sueltos.

Variables y funciones: la idea#

En una relación entre dos variables, la que se puede escoger se llama variable independiente (casi siempre x) y la que se calcula a partir de ella, variable dependiente (casi siempre y). Por ejemplo, si un alquiler de bicicletas cobra ₡800 por hora (un precio inventado para practicar), el costo C depende de la cantidad t de horas: C = 800t. Para 3 horas, el costo es 800 · 3 = ₡2400, y no hay otro costo posible para esas 3 horas.

Esa es la esencia de una función: el valor de la variable independiente determina por completo el de la dependiente. Para que una relación de A en B sea función se deben cumplir dos condiciones:

• Existencia: todo elemento del dominio tiene imagen. Ningún x de A se queda sin pareja.
• Unicidad: esa imagen es única. Ningún x de A tiene dos imágenes distintas.

En cambio, no importa que dos elementos del dominio tengan la misma imagen, ni que algunos elementos del codominio no sean imagen de ninguno. El conjunto formado por todas las imágenes se llama ámbito o rango. El programa del MEP trabaja con funciones reales de variable real y usa como codominio de cada función su propio ámbito.

Ejemplo. A cada estudiante de una sección se le asocia el mes en que nació. ¿Es una función? ¿Y la relación contraria, que asocia a cada mes los estudiantes que nacieron en él?

Solución. La primera sí es función: cada estudiante nació en un solo mes. Que varios estudiantes compartan el mes de nacimiento no importa, porque eso solo significa que varios elementos del dominio tienen la misma imagen. La segunda no es función: a un mes le pueden corresponder varios estudiantes (falla la unicidad) y puede haber un mes en el que no nació nadie de la sección (falla la existencia).

Cómo reconocer una función en una tabla#

Cuando una relación se da en una tabla, se revisan los valores de la variable independiente: cada valor de x tiene que aparecer con un solo valor de y. Si un mismo x aparece con dos valores distintos de y, la relación no es función. Que se repitan valores de y sí está permitido.

Relación	Valores de x	Valores de y
R	−2, −1, 0, 1, 2	4, 1, 0, 1, 4
S	4, 1, 0, 1, 4	−2, −1, 0, 1, 2

Ejemplo. En la tabla, cada valor de x se empareja con el valor de y que está en la misma posición. ¿Cuál de las dos relaciones es una función de x?

Solución. R es una función: cada x aparece una sola vez y tiene una sola imagen. Las imágenes son los cuadrados de los valores de x, así que su criterio es y = x²; su dominio es {−2, −1, 0, 1, 2} y su ámbito, {0, 1, 4}. Que −2 y 2 tengan la misma imagen, 4, no impide que sea función. S no es función de x: el valor x = 1 aparece con y = −1 y con y = 1, y el valor x = 4, con y = −2 y con y = 2. S tiene las mismas parejas que R, pero con las coordenadas intercambiadas.

Cambiar el papel de las variables#

El programa del MEP señala que algunas relaciones que no son función de x sí lo son si se intercambian las variables. La relación S cumple y² = x: no es función si x es la variable independiente, pero si se toma y como variable independiente, la ecuación x = y² asigna a cada y un único x, y entonces sí es una función.

Cómo reconocer una función en forma simbólica#

Si la relación está dada por una ecuación en x y en y, la pregunta es: para cada x del dominio, ¿hay exactamente un valor de y que cumpla la ecuación? Despejar y suele dar la respuesta.

Ejemplo. ¿La ecuación 3x − 2y = 6 define a y como función de x, con dominio ℝ?

Solución. Se despeja y: −2y = 6 − 3x, de donde y = (3x − 6)/2 = 1,5x − 3. Para cada número real x esta fórmula da un único valor de y, así que sí es una función, con criterio f(x) = 1,5x − 3. Por ejemplo, f(4) = 6 − 3 = 3.

Ejemplo. ¿La ecuación x² + y² = 25 define a y como función de x?

Solución. No. Con x = 3 la ecuación queda 9 + y² = 25, o sea, y² = 16, que tiene dos soluciones: y = 4 y y = −4. Un mismo x tendría dos imágenes, así que falla la unicidad. Además, con x = 6 queda y² = 25 − 36 = −11, que no tiene solución real: tampoco se cumple la existencia en todo ℝ. La gráfica de esta ecuación es la circunferencia de centro (0, 0) y radio 5.

El dominio también cuenta#

Una misma fórmula puede ser función o no según el dominio que se tome. La expresión f(x) = 1/(x − 2) no define una función con dominio ℝ, porque x = 2 no tiene imagen: anula el denominador. Con dominio ℝ − {2}, es decir, todos los números reales menos el 2, sí es una función.

Cómo reconocer una función en una gráfica#

En el plano cartesiano, la variable independiente se representa en el eje horizontal y la dependiente, en el vertical. Un punto (a, b) de la gráfica indica que b es la imagen de a. Si dos puntos de la gráfica tienen la misma abscisa y distinta ordenada, un mismo x tiene dos imágenes.

La prueba de la recta vertical#

Se imaginan rectas verticales que recorren el dominio. Si alguna corta la gráfica en dos o más puntos, la relación no es función. Si cada recta vertical trazada sobre un valor del dominio corta la gráfica exactamente una vez, sí lo es.

• Una recta no vertical, como y = 2x − 1: es función.
• Una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, como y = x²: es función.
• Una circunferencia: no es función, porque una recta vertical que pasa por su interior la corta dos veces.
• Una parábola «acostada», como x = y²: no es función de x.
• Una recta vertical, como x = 3: no es función, porque al valor 3 le corresponderían infinitas imágenes.

Ejemplo. Una gráfica está formada por dos segmentos: uno une los puntos (0, 1) y (4, 5), y el otro une los puntos (4, 2) y (8, 0). ¿Representa una función con dominio [0, 8]?

Solución. No. La recta vertical x = 4 corta la gráfica en dos puntos, (4, 5) y (4, 2), así que el valor 4 tendría dos imágenes. Bastaría con quitar uno de esos dos puntos para que sí fuera función. Por ejemplo, si el primer segmento no incluye su extremo (4, 5), que se dibuja con un círculo vacío, el 4 tiene una sola imagen: 2.

La gráfica de una función#

La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos (x, f(x)) del plano, con x en el dominio de f. Para trazarla a mano se hace una tabla de valores, se ubican los puntos y, si el dominio es un intervalo, se unen con una línea, sin saltos salvo que la función los tenga. Con un programa graficador, como sugiere el programa del MEP, se obtiene en segundos.

Dominio discreto y dominio continuo#

El programa pide distinguir entre una función de dominio discreto (valores sueltos) y una de dominio continuo (un intervalo). Con el mismo criterio f(x) = x², si el dominio es {0, 1, 2, 3, 4, 5}, la gráfica está formada por seis puntos aislados: (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16) y (5, 25). Si el dominio es el intervalo [0, 5], la gráfica es un arco de parábola, sin cortes, que va de (0, 0) a (5, 25).

Ejemplo. Un cuaderno cuesta ₡900 (precio inventado). Escribe el costo C de comprar n cuadernos, con n = 0, 1, 2, 3, 4 o 5, y di cómo es su gráfica.

Solución. El criterio es C(n) = 900n, con dominio {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Las imágenes son 0, 900, 1800, 2700, 3600 y 4500, que forman el ámbito. La gráfica está formada por seis puntos alineados que no se unen, porque no se pueden comprar 2,5 cuadernos.

Ejemplo. Una ciclista avanza en línea recta hacia el este, alejándose de un poste. En el instante t = 0 está a 120 m al este del poste, y avanza 5 m cada segundo durante un minuto (datos inventados). Escribe su posición P, en metros al este del poste, como función del tiempo t en segundos. ¿Cuál es el dominio, dónde está a los 20 s y cómo es la gráfica?

Solución. Cada segundo suma 5 m a los 120 iniciales, así que P(t) = 120 + 5t. Un minuto son 60 segundos, y el dominio es el intervalo [0, 60]. A los 20 s, P(20) = 120 + 100 = 220 m. Como el tiempo transcurre sin saltos, la gráfica es el segmento que va de (0, 120) a (60, 420), porque P(60) = 120 + 300 = 420. El ámbito es [120, 420]. Es una función porque en cada instante la ciclista está en una sola posición.

Ponte a prueba#

¿Es una función la relación en la que a x = 1, 2, 3, 2 le corresponden y = 6, 8, 10, 12?#

¿Define la ecuación 2x + y = 7 a y como función de x?#

¿Por qué la circunferencia x² + y² = 100 no es la gráfica de una función de x?#

¿Cuáles son el dominio y el ámbito de la función que asigna a cada número del conjunto {−1, 0, 1, 2} su cuadrado?#

¿Se deben unir con una línea los puntos de la gráfica del costo de n entradas a un concierto?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)