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La esfera y el cilindro circular recto: elementos, áreas y volúmenes

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 7 de 22

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

Una bola de fútbol o una naranja se parecen a una esfera; una lata de atún, un tubo o un tanque de agua, a un cilindro. En Costa Rica, además, las esferas indígenas precolombinas son símbolo patrio desde la Ley 9265 de 2014. Reconocer los elementos de estos sólidos es el primer paso para medirlos y para estudiar las figuras que aparecen al cortarlos con un plano.

En esta lección vas a identificar el centro, el radio y el diámetro de una esfera; las bases, la superficie lateral, la altura, el radio y el diámetro de un cilindro circular recto, y a repasar las fórmulas de sus áreas y volúmenes, que llevan a un resultado que Arquímedes consideraba de lo más importante de su obra.

Definición

Una esfera es el sólido formado por todos los puntos del espacio cuya distancia a un punto fijo, el centro, es menor o igual que una medida r, el radio. Su borde, la superficie esférica, reúne los puntos que están exactamente a la distancia r del centro. Un cilindro circular recto es el sólido que se obtiene al girar un rectángulo una vuelta completa alrededor de uno de sus lados.

Los elementos de la esfera#

  • Centro: el punto que está a la misma distancia de todos los puntos de la superficie esférica.
  • Radio r: cualquier segmento que une el centro con un punto de la superficie esférica, y también su medida. Todos los radios de una esfera miden lo mismo.
  • Diámetro d: cualquier segmento que une dos puntos de la superficie pasando por el centro, y también su medida. Está formado por dos radios, así que d = 2r, y es la cuerda más larga de la esfera.
  • Cuerda: cualquier segmento que une dos puntos de la superficie esférica, pase o no por el centro.
  • Círculo máximo: el que se obtiene al cortar la esfera con un plano que pasa por el centro. Tiene el mismo radio que la esfera y la divide en dos semiesferas o hemisferios.

Un punto está dentro de la esfera, sobre su superficie o fuera de ella según su distancia al centro sea menor, igual o mayor que el radio.

Ejemplo. Una esfera tiene 10 cm de diámetro. ¿Dónde están los puntos A, B y C, que distan 3 cm, 5 cm y 7 cm de su centro?

Solución. El radio es la mitad del diámetro: r = 10 ÷ 2 = 5 cm. A está dentro de la esfera (3 < 5), B está sobre la superficie esférica (5 = 5) y C está fuera (7 > 5). El segmento que une B con el punto diametralmente opuesto mide 10 cm: es un diámetro.

Los elementos del cilindro circular recto#

Al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, ese lado queda fijo y forma el eje; el lado opuesto, paralelo al eje, barre la superficie curva, y los otros dos lados barren dos círculos. En el cilindro circular recto se distinguen:

  • Bases: los dos círculos congruentes y paralelos que lo cierran arriba y abajo.
  • Superficie lateral: la superficie curva que une las dos bases.
  • Altura h: la distancia entre las bases. En el cilindro recto coincide con la longitud del eje y con la de cualquier generatriz, que es un segmento de la superficie lateral perpendicular a las bases.
  • Radio r y diámetro d = 2r: los de sus bases.

Se llama recto porque el eje, que une los centros de las bases, es perpendicular a ellas; si estuviera inclinado, el cilindro sería oblicuo. El programa del MEP permite considerar el cilindro con una o dos bases, según el contexto: una lata cerrada tiene dos y un vaso, una. Un tubo abierto por los dos extremos es solo la superficie lateral.

Ejemplo. Un rectángulo de 8 cm por 3 cm gira alrededor de uno de sus lados. Identifica la altura, el radio y el diámetro del cilindro que se forma si gira alrededor del lado de 8 cm y si gira alrededor del lado de 3 cm.

Solución. Si gira alrededor del lado de 8 cm, ese lado es el eje: la altura es h = 8 cm, el lado de 3 cm es el radio de las bases y el diámetro mide d = 2 · 3 = 6 cm. Si gira alrededor del lado de 3 cm, la altura es h = 3 cm, el radio es r = 8 cm y el diámetro, d = 16 cm. Con el mismo rectángulo se obtienen dos cilindros distintos: uno alto y delgado, y otro bajo y ancho.

El desarrollo plano del cilindro y sus áreas#

Si se corta la superficie lateral a lo largo de una generatriz y se extiende sobre la mesa, queda un rectángulo: su altura es la del cilindro y su base es la longitud de la circunferencia de la base, 2πr. Por eso la etiqueta de una lata es un rectángulo. El desarrollo plano completo es ese rectángulo más los dos círculos de las bases.

Fórmula

Área lateral = 2πrh · Área total = 2πrh + 2πr²

Donde r es el radio de la base y h, la altura del cilindro.

Ejemplo. Una lata cerrada mide 7 cm de diámetro y 11 cm de altura (medidas inventadas para practicar). ¿Qué medidas tiene su etiqueta y cuál es el área total de la lata?

Solución. El radio es r = 7 ÷ 2 = 3,5 cm. La etiqueta es un rectángulo de 11 cm de alto y 2π · 3,5 = 7π ≈ 21,99 cm de largo; su área es el área lateral, 2π · 3,5 · 11 = 77π ≈ 241,9 cm². Las dos bases suman 2 · π · 3,5² = 24,5π ≈ 77,0 cm². El área total es 77π + 24,5π = 101,5π ≈ 318,9 cm².

Los volúmenes del cilindro y de la esfera#

Desde la primaria se sabe que el volumen de un cilindro, como el de un prisma, es el área de la base por la altura. El área de la superficie esférica y el volumen de la esfera dependen solo del radio:

Fórmula

Vcilindro = πr²h · Aesfera = 4πr² · Vesfera = (4/3)πr³

En la esfera, r es su radio; en el cilindro, r es el radio de la base y h, la altura.

Ejemplo. Un tanque de agua cilíndrico mide 1,2 m de diámetro y 1,5 m de altura (medidas inventadas). ¿Cuántos litros le caben?

Solución. El radio es r = 1,2 ÷ 2 = 0,6 m. El volumen es V = π · 0,6² · 1,5 = 0,54π ≈ 1,696 m³. Como 1 m³ equivale a 1000 litros, al tanque le caben unos 1696 litros.

Ejemplo. Una bola tiene 24 cm de diámetro. Calcula el área de su superficie y su volumen.

Solución. El radio es r = 24 ÷ 2 = 12 cm. El área es A = 4π · 12² = 576π ≈ 1809,6 cm², y el volumen, V = (4/3)π · 12³ = (4/3)π · 1728 = 2304π ≈ 7238,2 cm³.

Un error frecuente es usar el diámetro en lugar del radio. Con 24 en la fórmula del volumen se obtendría un valor 8 veces mayor, porque 24³ = 13 824 = 8 · 12³.

Arquímedes: la esfera dentro del cilindro#

Si una esfera de radio r cabe justa dentro de un cilindro, tocando las dos bases y la superficie lateral, el cilindro tiene radio r y altura 2r. Entonces:

  • Volumen del cilindro: πr² · 2r = 2πr³. Volumen de la esfera: (4/3)πr³. La razón entre ellos es (4/3) ÷ 2 = 2/3.
  • Área total del cilindro: 2πr · 2r + 2πr² = 6πr². Área de la esfera: 4πr². La razón es 4/6 = 2/3.

Según el archivo MacTutor de la Universidad de St Andrews, Arquímedes demostró en su obra Sobre la esfera y el cilindro que la esfera tiene dos tercios del volumen y dos tercios de la superficie, bases incluidas, del cilindro que la circunscribe, y que el área de la esfera es cuatro veces la de un círculo máximo, tal como dice la fórmula 4πr². Arquímedes consideraba sus resultados sobre la esfera y el cilindro que la circunscribe como sus logros más importantes, y pidió que en su tumba se representaran esas dos figuras junto con la razón entre ellas.

Ejemplo. Un empaque cilíndrico guarda exactamente tres bolas de 6 cm de diámetro, una sobre otra, que tocan los lados, el fondo y la tapa (medidas inventadas). ¿Qué fracción del empaque ocupan las bolas?

Solución. Cada bola tiene radio 3 cm, así que el empaque tiene radio 3 cm y altura 3 · 6 = 18 cm. Su volumen es π · 3² · 18 = 162π cm³. Las tres bolas ocupan 3 · (4/3)π · 3³ = 108π cm³. La fracción es 108π ÷ 162π = 2/3: las bolas ocupan dos tercios del empaque y el aire, un tercio. Es la razón de Arquímedes, porque el empaque equivale a tres cilindros circunscritos, uno por bola.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el radio de una esfera de 18 cm de diámetro y cuánto mide el área de su superficie?#

El diámetro está formado por dos radios, así que r = 18 ÷ 2 = 9 cm. El área de la superficie esférica es A = 4πr² = 4π · 9² = 4π · 81 = 324π ≈ 1017,9 cm². Si por error se usara el diámetro en lugar del radio, el resultado sería cuatro veces mayor.

¿Qué altura, radio y diámetro tiene el cilindro que se forma al girar un rectángulo de 5 cm por 2 cm alrededor del lado de 2 cm?#

El lado de 2 cm queda fijo como eje, así que la altura es h = 2 cm. El lado de 5 cm barre las bases, de modo que el radio es r = 5 cm y el diámetro, d = 10 cm. Las bases son dos círculos de 5 cm de radio y el área lateral es 2π · 5 · 2 = 20π ≈ 62,8 cm².

¿Cuántos litros caben en un tanque cilíndrico de 80 cm de diámetro y 1 m de altura?#

Conviene trabajar en metros: el radio es 0,8 ÷ 2 = 0,4 m y la altura, 1 m. El volumen es V = π · 0,4² · 1 = 0,16π ≈ 0,503 m³. Como 1 m³ son 1000 litros, al tanque le caben unos 503 litros.

¿Qué relación hay entre el volumen de una esfera de 3 cm de radio y el del cilindro que la circunscribe?#

La esfera mide (4/3)π · 3³ = 36π ≈ 113,1 cm³. El cilindro que la circunscribe tiene radio 3 cm y altura 6 cm, así que mide π · 3² · 6 = 54π ≈ 169,6 cm³. La razón es 36π ÷ 54π = 2/3: la esfera ocupa dos tercios del cilindro, como demostró Arquímedes.

¿Qué figura se obtiene al desenrollar la superficie lateral de un cilindro de 4 cm de radio y 10 cm de altura?#

Se obtiene un rectángulo. Su altura es la del cilindro, 10 cm, y su base es la longitud de la circunferencia de la base: 2π · 4 = 8π ≈ 25,13 cm. Su área, que es el área lateral del cilindro, es 8π · 10 = 80π ≈ 251,3 cm².

Fuentes#

También en matemáticas

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