Problemas con números racionales: cómo plantearlos y resolverlos

¿Cuánto aguinaldo le toca a una persona cuyo salario cambió a mitad de año? ¿Cuántos paquetes de café salen de un saco? ¿Cuánto dinero quedaba antes de dos compras? Son problemas con números racionales de la vida diaria, que se responden con operaciones entre fracciones, decimales y números mixtos. Lo difícil casi nunca es la cuenta: es decidir qué operación hacer, con qué datos y en qué orden.

Para recordar

Resolver un problema con números racionales es traducir una situación a operaciones con fracciones, decimales o números mixtos, calcular con cuidado y volver a la situación para interpretar el resultado: ¿responde la pregunta?, ¿tiene sentido?, ¿en qué unidades está? Plantear un problema es el camino inverso: inventar una situación que se resuelva con unas operaciones dadas.

Un método en cuatro pasos#

Comprender. ¿Qué datos hay, en qué unidades, y qué se pregunta? Conviene subrayar la pregunta.
Planear. Decide qué operaciones hacen falta y en qué orden. Escribir una sola expresión con todo el cálculo ayuda a no olvidar pasos.
Resolver. Pasa los números a una sola notación, casi siempre fracciones, y calcula.
Revisar. Estima, comprueba que la respuesta tenga sentido en la situación y escríbela con sus unidades.

Para el segundo paso ayudan algunas frases que suelen indicar la operación. Si necesitas repasar cómo se hacen, consulta la suma y resta y la multiplicación y división de números racionales.

Frase del problema	Operación	Ejemplo
«las 2/3 partes de…»	Multiplicar	2/3 de 15 = 2/3 · 15 = 10
«repartir en partes iguales»	Dividir entre el número de partes	4,5 ÷ 3 = 1,5
«¿cuántas veces cabe…?»	Dividir entre el tamaño de cada parte	3 ÷ 3/4 = 4
«juntar», «en total»	Sumar	1/2 + 1/3 = 5/6
«¿cuánto falta?», «¿cuánto queda?»	Restar	1 − 5/6 = 1/6
«aumentar en su cuarta parte»	Multiplicar por 1 + 1/4 = 5/4	5/4 · 8 = 10

Fracciones del total y fracciones de lo que queda#

Ejemplo. En una sección de 36 estudiantes, 5/9 llegan al colegio en bus y 1/4 a pie; el resto llega en carro (datos de ejercicio). ¿Cuántos llegan de cada forma y qué fracción de la sección llega en carro?

Solución. En bus: 5/9 · 36 = 20. A pie: 1/4 · 36 = 9. En carro: 36 − 20 − 9 = 7, que son 7/36 de la sección. Se puede comprobar por otra vía: 1 − 5/9 − 1/4 = 36/36 − 20/36 − 9/36 = 7/36, y 7/36 de 36 son 7. Las dos vías coinciden.

Hay que leer con atención si una fracción se refiere al total o a lo que queda. No es lo mismo «gastó 1/3 del dinero» que «gastó 1/3 de lo que le quedaba»: en el segundo caso, el tercio se calcula sobre una cantidad más pequeña.

Ejemplo. Valeria gastó 2/5 de sus ahorros en un libro y después 1/3 de lo que le quedó en una merienda. Al final le sobraron ₡4 800 (datos de ejercicio). ¿Cuánto tenía al principio?

Solución. Después del libro le quedan 3/5 de los ahorros. La merienda es 1/3 de esos 3/5: 1/3 · 3/5 = 1/5 de los ahorros. En total gastó 2/5 + 1/5 = 3/5, así que los ₡4 800 son los 2/5 que sobran. Si 2/5 son 4 800, 1/5 es 2 400, y el total es 5 · 2 400 = ₡12 000. Comprobación: el libro costó 2/5 · 12 000 = 4 800; le quedaron 7 200; la merienda costó 7 200 ÷ 3 = 2 400; y sobran 7 200 − 2 400 = 4 800.

Repartir y medir: problemas de división#

La división responde dos preguntas distintas: cuánto le toca a cada parte (un reparto) y cuántas veces cabe una cantidad en otra (una medida). En los dos casos el resultado se interpreta según la situación: a veces sobra algo y hay que decirlo.

Ejemplo. Un comedor estudiantil tiene 8 ³/₄ kg de frijoles y en cada olla usa 1,25 kg (datos de ejercicio). ¿Para cuántas ollas alcanza?

Solución. Se pregunta cuántas veces cabe 1,25 en 8 ³/₄. Con fracciones: 8 ³/₄ = 35/4 y 1,25 = 5/4. Entonces 35/4 ÷ 5/4 = 35/4 · 4/5 = 7. Alcanza para 7 ollas, sin que sobre nada.

Ejemplo. Para una feria, un grupo empaca 5,3 kg de café molido en paquetes de 0,4 kg (datos de ejercicio). ¿Cuántos paquetes llenos salen y cuánto café sobra?

Solución. 5,3 ÷ 0,4 = 13,25. Salen 13 paquetes llenos, que usan 13 · 0,4 = 5,2 kg, y sobran 5,3 − 5,2 = 0,1 kg. La respuesta no es «13,25 paquetes»: la parte decimal indica lo que sobra, que es la cuarta parte de un paquete.

Ejemplo. Una receta de masa para empanadas rinde para 8 personas y lleva 2 ¹/₄ tazas de harina y 2/3 de taza de agua (cantidades de ejercicio). ¿Cuánto de cada ingrediente hace falta para 12 personas?

Solución. Las cantidades se multiplican por 12/8 = 3/2, porque 12 personas son una vez y media 8. Harina: 3/2 · 9/4 = 27/8 = 3 ³/₈ tazas. Agua: 3/2 · 2/3 = 1 taza. Revisión: 3 ³/₈ está entre 3 y 4, y una vez y media 2 ¹/₄ tiene que pasar de 3.

Un problema con datos reales: el aguinaldo#

En Costa Rica, la Ley N.º 2412 obliga a todo patrono particular a pagar a sus trabajadores un beneficio anual «equivalente a un mes de salario»: el aguinaldo (artículo 1). El artículo 2 dice cómo se calcula: «con base en el promedio de los sueldos ordinarios y extraordinarios devengados por la misma persona, durante los doce meses anteriores al 1º de diciembre». El artículo 4 fija la entrega dentro de los veinte primeros días de diciembre.

Como el promedio de doce salarios es su suma dividida entre 12, el aguinaldo de quien trabajó esos doce meses es la doceava parte de los sueldos que ganó en ese periodo; el aguinaldo que recibió el diciembre anterior no entra en la suma, porque el mismo artículo 2 lo excluye del cálculo. Si no completó el año pero trabajó al menos un mes, el artículo 3 le da derecho a una parte proporcional al tiempo servido y a los salarios devengados.

Ejemplo. Supón que una persona que trabaja en una empresa privada ganó ₡450 000 cada mes de diciembre a junio y, después de un aumento, ₡480 000 cada mes de julio a noviembre (salarios de ejercicio). ¿Cuánto aguinaldo le corresponde?

Solución. De diciembre a junio hay 7 meses y de julio a noviembre, 5: en total, los 12 meses anteriores al 1.º de diciembre. Lo ganado es 7 · 450 000 + 5 · 480 000 = 3 150 000 + 2 400 000 = ₡5 550 000. El aguinaldo es el promedio: 5 550 000 ÷ 12 = ₡462 500. También se puede pensar con fracciones: 7/12 del año con un salario y 5/12 con el otro, 7/12 · 450 000 + 5/12 · 480 000 = 262 500 + 200 000 = 462 500. Revisión: el resultado queda entre los dos salarios, y más cerca de ₡450 000, que se cobró durante más meses.

Plantear problemas a partir de una operación#

El programa del MEP propone también el camino inverso: dar una combinación de operaciones y pedir que cada estudiante invente un problema que se resuelva con ella. Así se practica la traducción entre la situación y los números.

Ejemplo. Plantea un problema que se resuelva con 2 ¹/₂ − 3 · 0,4.

Solución. Una posibilidad: «Un fontanero tiene un tubo de 2 ¹/₂ m y le corta 3 pedazos de 0,4 m. ¿Cuánto tubo le queda?». La multiplicación da lo que se cortó, 3 · 0,4 = 1,2 m, y la resta, lo que queda: 2,5 − 1,2 = 1,3 m. Hay muchas respuestas correctas; lo importante es que la situación pida exactamente esas operaciones y en ese orden.

Ejemplo. Plantea un problema para (3/4 + 1/6) · 24.

Solución. Por ejemplo: «De una pieza de 24 m de tela, se usan 3/4 para cortinas y 1/6 para cojines. ¿Cuántos metros se usan en total?». El paréntesis junta las dos fracciones: 3/4 + 1/6 = 9/12 + 2/12 = 11/12 de la pieza. Luego, 11/12 · 24 = 22 m. Se puede revisar por partes: 18 m para cortinas y 4 m para cojines.

Un buen enunciado tiene todos los datos necesarios, una pregunta clara y números que tengan sentido en la situación: no se reparte entre 2,7 personas ni se compran −3 kilos.

Errores frecuentes#

Confundir la fracción del total con la de lo que queda. «1/3 de lo que le quedó» no es 1/3 del dinero inicial.
Dejar la respuesta sin interpretar. «13,25 paquetes» no responde la pregunta; «13 paquetes llenos y sobran 0,1 kg» sí.
Leer los decimales de una hora como minutos. Una hora tiene 60 minutos, no 100: 1,5 h es 1 hora y 30 minutos, no 1 hora y 50 minutos.
Olvidar las unidades. Un resultado sin unidades está incompleto: 22 ¿qué?, ¿metros, kilos, colones?

Ponte a prueba#

¿Cuánto aguinaldo le corresponde a quien ganó ₡400 000 durante nueve meses y ₡420 000 durante tres meses, en los doce meses anteriores al 1.º de diciembre?#

Le corresponden ₡405 000 (con salarios de ejercicio). Según el artículo 2 de la Ley N.º 2412, el aguinaldo se calcula con el promedio de los salarios de esos doce meses. Lo ganado es 9 · 400 000 + 3 · 420 000 = 3 600 000 + 1 260 000 = 4 860 000 colones, y el promedio es 4 860 000 ÷ 12 = 405 000. El resultado queda entre los dos salarios, más cerca del que se cobró más meses.

¿Cuánto mide un trayecto completo si sus 3/4 partes son 9,6 km?#

Mide 12,8 km. Si tres cuartas partes son 9,6 km, una cuarta parte es 9,6 ÷ 3 = 3,2 km, y las cuatro cuartas partes son 4 · 3,2 = 12,8 km. Es lo mismo que dividir entre la fracción: 9,6 ÷ 3/4 = 9,6 · 4/3 = 12,8. Revisión: 3/4 de 12,8 son 9,6, y el total tiene que ser mayor que la parte.

¿Qué fracción de sus boletos le queda por vender a un grupo que vendió 3/8 el lunes y la mitad de los restantes el martes?#

Le quedan 5/16 de los boletos. Después del lunes quedan 1 − 3/8 = 5/8. El martes vende la mitad de esos 5/8, es decir, 1/2 · 5/8 = 5/16 del total, y queda la otra mitad: 5/8 − 5/16 = 10/16 − 5/16 = 5/16. La clave es notar que «la mitad de los restantes» se calcula sobre 5/8, no sobre el total.

¿Por qué 1,75 horas no es 1 hora y 75 minutos?#

Porque una hora tiene 60 minutos, no 100. La parte decimal 0,75 significa 75 centésimas de hora, o sea, 3/4 de hora: 0,75 · 60 = 45 minutos. Entonces 1,75 horas son 1 hora y 45 minutos. Al pasar un decimal a otra unidad hay que multiplicar por la equivalencia, no copiar las cifras.

¿Cuánto cuestan 4 kg de mango si 2,5 kg cuestan ₡3 000?#

Cuestan ₡4 800 (precio supuesto). Primero se halla el precio de un kilo dividiendo: 3 000 ÷ 2,5 = 1 200 colones por kilo. Luego se multiplica por 4: 4 · 1 200 = 4 800. Revisión: 4 kg es un poco más que una vez y media 2,5 kg, así que el precio tiene que ser un poco más que una vez y media 3 000, que es 4 500.