Corta una hoja de papel por la mitad, toma una de las mitades y córtala otra vez por la mitad, y repite. Después de cinco cortes, el pedazo que tienes en la mano es 1/2 · 1/2 · 1/2 · 1/2 · 1/2 de la hoja, es decir, (1/2)5 = 1/32. Las potencias no son exclusivas de los números naturales y enteros: en las potencias de base racional la base también puede ser una fracción o un decimal, y el exponente puede ser cero o incluso negativo.
Definición
Si a es un número racional y n un número natural distinto de cero, la potencia an indica multiplicar a por sí mismo hasta reunir n factores: an = a · a · … · a. La definición se completa para todos los exponentes enteros así: a0 = 1 y a−n = 1/an, siempre que a ≠ 0. Si la base es una fracción, (p/q)n = pn/qn, con q ≠ 0.
Potencias de fracciones y de decimales#
Una potencia de base racional se calcula como una de base entera: la base se repite como factor tantas veces como dice el exponente. Si la base es una fracción, al multiplicar se juntan los numeradores por un lado y los denominadores por otro, así que basta con elevar cada uno por separado:
Fórmula
(p/q)n = pn/qn, con q ≠ 0
Por ejemplo, (2/5)3 = (2 · 2 · 2)/(5 · 5 · 5) = 8/125.
El signo sigue la regla que ya conoces: una base negativa con exponente par da un resultado positivo, y con exponente impar, uno negativo. El paréntesis es importante, porque indica que la base es toda la fracción con su signo. Compara las filas de esta tabla:
| Potencia | Qué se multiplica | Resultado |
|---|---|---|
| (3/7)2 | 3/7 · 3/7 | 9/49 |
| (−1/2)4 | cuatro factores iguales a −1/2 | 1/16 |
| (−4/3)3 | tres factores iguales a −4/3 | −64/27 |
| (2/3)2 | 2/3 · 2/3 | 4/9 |
| 22/3 | solo el numerador va al cuadrado | 4/3 |
| −(1/5)2 | el opuesto de 1/5 · 1/5 | −1/25 |
Con decimales hay dos caminos: multiplicar directamente o pasar a fracción. Si multiplicas, el resultado lleva tantas cifras decimales como la suma de las cifras decimales de los factores. En (0,2)4 cada factor tiene una cifra decimal, así que el resultado lleva cuatro: 24 = 16, y (0,2)4 = 0,0016.
Ejemplo. Calcula (−1,5)3.
Solución. Conviene pasar a fracción: −1,5 = −3/2. Entonces (−3/2)3 = −27/8, que en decimal es −3,375. El resultado es negativo porque la base es negativa y el exponente 3 es impar. Multiplicando decimales se llega a lo mismo: 1,5 · 1,5 = 2,25 y 2,25 · 1,5 = 3,375, con el signo menos.
Ejemplo. Calcula (0,05)2 y compáralo con 0,05 · 2.
Solución. (0,05)2 = 0,05 · 0,05 = 0,0025, mientras que 0,05 · 2 = 0,1. Elevar al cuadrado no es multiplicar por 2. Observa también que el cuadrado de un número entre 0 y 1 es menor que el número: 0,0025 < 0,05. Con las fracciones pasa igual: (1/20)2 = 1/400, mucho menor que 1/20.
El exponente cero y los exponentes negativos#
¿Qué sentido tiene un exponente 0 o −2? Observa qué pasa al bajar el exponente de uno en uno en las potencias de 3/2. Cada vez que el exponente baja una unidad, se quita un factor 3/2, es decir, se divide entre 3/2, que es lo mismo que multiplicar por 2/3:
| Potencia | Valor |
|---|---|
| (3/2)3 | 27/8 |
| (3/2)2 | 9/4 |
| (3/2)1 | 3/2 |
| (3/2)0 | 1 |
| (3/2)−1 | 2/3 |
| (3/2)−2 | 4/9 |
Para que el patrón se mantenga, (3/2)0 tiene que valer 1, y los exponentes negativos dan las potencias del inverso multiplicativo de la base: (3/2)−2 = (2/3)2 = 4/9. Así se definen para cualquier base distinta de cero:
Fórmula
a0 = 1; a−n = 1/an; (p/q)−n = (q/p)n
Con a ≠ 0, p ≠ 0 y q ≠ 0. Las dos últimas, junto con la potencia de una fracción, (p/q)n = pn/qn, son las propiedades que el programa del MEP pide formalizar en octavo año.
Un exponente negativo no vuelve negativo el resultado: indica que se toma el inverso. Por ejemplo, 4−2 = 1/42 = 1/16, que es positivo. El signo lo siguen decidiendo la base y la paridad del exponente. Todas estas reglas piden una base distinta de cero: el 0 no tiene inverso, así que 0−3 no tiene sentido, y a la expresión 00 no se le asigna valor en este curso.
Ejemplo. Calcula (2/7)−2, 5−3 y (−1/3)−3.
Solución. En cada una se invierte la base y se cambia el signo del exponente. (2/7)−2 = (7/2)2 = 49/4. 5−3 = (1/5)3 = 1/125. (−1/3)−3 = (−3)3 = −27. En el último caso el resultado sí es negativo, pero por la base negativa con exponente impar, no por el signo del exponente.
Ejemplo. Escribe como decimal 10−4 y (0,2)−2.
Solución. 10−4 = 1/104 = 1/10 000 = 0,0001: un exponente negativo de base 10 corre la coma hacia la izquierda. Para la segunda, 0,2 = 1/5, así que (0,2)−2 = (1/5)−2 = 52 = 25.
Las propiedades de las potencias con exponente entero#
Las propiedades que estudiaste con las potencias de números enteros siguen valiendo con bases racionales, y ahora con cualquier exponente entero. Si a y b son racionales distintos de cero y m y n son enteros:
| Propiedad | En símbolos | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de potencias de igual base | am · an = am + n | (7/2)3 · (7/2)−2 = (7/2)1 = 7/2 |
| Cociente de potencias de igual base | am ÷ an = am − n | (1/4)2 ÷ (1/4)5 = (1/4)−3 = 64 |
| Potencia de una potencia | (am)n = am · n | [(3/5)−1]2 = (3/5)−2 = 25/9 |
| Potencia de un producto | (a · b)n = an · bn | (0,5)6 · 26 = (0,5 · 2)6 = 1 |
| Potencia de un cociente | (a/b)n = an/bn | (−3/10)2 = 9/100 |
Con exponentes enteros desaparece una restricción que tenías con los naturales: en el cociente ya no hace falta que m sea mayor o igual que n. Si la resta de exponentes da un número negativo, el resultado se interpreta con el inverso.
Ejemplo. Calcula (−2/5)4 · (−2/5)−6.
Solución. Al multiplicar potencias de base −2/5, los exponentes se suman: 4 + (−6) = −2. Queda (−2/5)−2 = (−5/2)2 = 25/4. El resultado es positivo porque el exponente final, −2, es par.
Ejemplo. Simplifica [(5/4)−2]−1 ÷ (5/4)3.
Solución. Primero la potencia de una potencia: (−2) · (−1) = 2, así que [(5/4)−2]−1 = (5/4)2. Luego el cociente: 2 − 3 = −1, y (5/4)−1 = 4/5.
Estrategias para simplificar expresiones#
Muchas expresiones parecen tener bases distintas, pero se pueden escribir con la misma base. Antes de calcular, conviene:
- Pasar los decimales a fracción: 0,25 = 1/4 y 1,5 = 3/2.
- Reconocer potencias escondidas: 4/9 = (2/3)2, 1/32 = 2−5 y 16 = 24.
- Recordar que una fracción y su inversa son la misma base con exponentes opuestos: 5/3 = (3/5)−1.
Ejemplo. Calcula (4/9)3 · (2/3)−4.
Solución. Como 4/9 = (2/3)2, la primera potencia es [(2/3)2]3 = (2/3)6. Entonces (2/3)6 · (2/3)−4 = (2/3)2 = 4/9. Sin esta estrategia habría que multiplicar 64/729 · 81/16, que da lo mismo pero con números mucho más grandes.
Ejemplo. Calcula (0,25)−2 · 2−3.
Solución. Como 0,25 = 1/4 = 2−2, se tiene (0,25)−2 = (2−2)−2 = 24. Luego 24 · 2−3 = 21 = 2.
Las propiedades sirven para multiplicar y dividir potencias, pero no para sumarlas ni restarlas. En 2−1 + 3−1 se calcula cada potencia y luego se suma: 1/2 + 1/3 = 5/6. Sería un error escribir (2 + 3)−1 = 1/5.
Potencias en situaciones de la vida diaria#
Las potencias de base racional aparecen cuando una cantidad se multiplica varias veces por la misma fracción, o cuando se calcula el área de un cuadrado o el volumen de un cubo cuyas medidas no son enteras. Los datos de estos ejemplos son de ejercicio.
Ejemplo. Una pelota de hule se deja caer desde 3 m de altura y en cada rebote sube 2/3 de la altura anterior. ¿Qué altura alcanza después del tercer rebote?
Solución. Cada rebote multiplica la altura por 2/3, así que después de tres rebotes la altura es 3 · (2/3)3 = 3 · 8/27 = 8/9 m. Como 8/9 = 0,888…, la pelota sube unos 89 cm.
Ejemplo. Un azulejo cuadrado mide 3/20 m de lado. ¿Cuál es su área? ¿Cuántos azulejos enteros hacen falta, como mínimo, para cubrir 1 m²?
Solución. El área es (3/20)2 = 9/400 m², es decir, 0,0225 m². Para saber cuántos caben en 1 m² se divide: 1 ÷ 9/400 = 400/9 = 44,4… Con 44 azulejos el área cubierta no llega a 1 m², así que hacen falta como mínimo 45. Es un mínimo calculado con el área: si hay que recortar piezas en los bordes, puede hacer falta alguna más.
Errores frecuentes#
- Elevar solo el numerador. (2/3)2 es 4/9, no 4/3. Sin paréntesis, 22/3 sí es 4/3.
- Creer que el exponente negativo da un resultado negativo. 3−2 = 1/9, que es positivo.
- Confundir la potencia con un producto. (1/2)3 son tres factores 1/2, que dan 1/8; no es 3 · 1/2 = 3/2.
- Perder de vista dónde está el signo. En −(1/2)4 el menos queda fuera de la potencia y el resultado es −1/16; en (−1/2)4 forma parte de la base y da 1/16.
- Juntar exponentes en una suma. (1/3)2 + (1/3)2 = 1/9 + 1/9 = 2/9, no (1/3)4.
Ponte a prueba#
¿Cuánto es (−2/3)⁴?#
Es 16/81. La base es −2/3, con su signo, y se usa cuatro veces como factor. Como el exponente 4 es par, los cuatro signos menos se anulan por parejas y el resultado es positivo. Para el valor, se elevan por separado el numerador y el denominador: 24 = 16 y 34 = 81. En cambio, −(2/3)4, con el signo fuera del paréntesis, es el opuesto de la potencia: −16/81.
¿Por qué (3/4)⁻² no es un número negativo?#
Porque el exponente negativo no cambia el signo: indica que se toma el inverso de la base. (3/4)−2 = (4/3)2 = 16/9, que es positivo y mayor que 1. El signo de una potencia depende de la base y de si el exponente es par o impar; como la base 3/4 es positiva, cualquier potencia suya es positiva.
¿Qué potencia de base 5/6 resulta de (5/6)⁻³ · (5/6)⁷ ÷ (5/6)², y cuánto vale?#
Resulta (5/6)2, que vale 25/36. Con una misma base, el exponente final se arma de una vez: los exponentes de los factores entran sumando y el del divisor, restando: −3 + 7 − 2 = 2. Contar factores lleva a lo mismo: (5/6)7 aporta siete factores 5/6, el exponente −3 equivale a dividir entre tres de ellos y el divisor quita otros dos, así que quedan dos.
¿Cuánto vale (0,5)⁻⁵?#
Vale 32. Primero se pasa el decimal a fracción: 0,5 = 1/2. Luego se invierte la base y se cambia el signo del exponente: (1/2)−5 = 25 = 32. Tiene sentido: si 0,5 elevado a la quinta es 1/32, un número muy pequeño, su inverso tiene que ser un número grande.
¿Es cierto que 2⁻¹ + 2⁻¹ = 2⁻²?#
No. Las propiedades de las potencias sirven para multiplicar y dividir, no para sumar. Se calcula cada término: 2−1 = 1/2, así que 2−1 + 2−1 = 1/2 + 1/2 = 1, que es 20. En cambio, 2−2 = 1/4. Lo que sí es cierto es que 2−1 · 2−1 = 2−2.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
