Multiplicación y división de números racionales y sus propiedades

La multiplicación y la división de números racionales aparecen cuando calculas cuánto se paga por 1,75 kg de tomate, cuando repartes 3/4 de una pizza entre tres personas o cuando averiguas cuántos vasos de 0,25 L se llenan con 2 L de fresco. En primaria aprendiste la multiplicación y la división de fracciones positivas; en octavo año se agregan los negativos y las distintas notaciones.

En esta lección vas a aprender a multiplicar y dividir racionales positivos y negativos, a resolver problemas con esas operaciones y a usar las propiedades conmutativa y asociativa para que los cálculos sean más cortos.

Multiplicar números racionales#

El signo del resultado se decide con la misma ley de signos de los enteros:

Factores	Signo del producto	Ejemplo
Positivo por positivo	Positivo	2/3 · 3/5 = 2/5
Negativo por negativo	Positivo	(−2/3) · (−3/5) = 2/5
Positivo por negativo	Negativo	2/3 · (−3/5) = −2/5
Negativo por positivo	Negativo	(−2/3) · 3/5 = −2/5

Para no trabajar con números grandes, conviene simplificar antes de multiplicar: se puede dividir cualquier numerador y cualquier denominador entre un divisor común.

Ejemplo. Calcula (−4/9) · 15/8.

Solución. Los signos son distintos, así que el resultado es negativo. Se simplifica antes: 4 y 8 se dividen entre 4 (quedan 1 y 2); 15 y 9 se dividen entre 3 (quedan 5 y 3). Queda −(1 · 5)/(3 · 2) = −5/6.

Ejemplo. Calcula 2 ¹/₂ · (−1 ¹/₅).

Solución. Primero se pasan los números mixtos a fracciones: 2 ¹/₂ = 5/2 y −1 ¹/₅ = −6/5. Entonces 5/2 · (−6/5) = −30/10 = −3. Cuidado: no se multiplican por separado las partes enteras y las fraccionarias; eso daría −(2 · 1 + 1/2 · 1/5) = −2,1, que es incorrecto.

Ejemplo. Calcula −0,4 · 2,35.

Solución. Se multiplica sin las comas: 4 · 235 = 940. Los factores tienen 1 y 2 cifras decimales, en total 3, así que el producto lleva 3 decimales: 0,940 = 0,94. Como los signos son distintos, el resultado es −0,94.

Dividir números racionales#

Para dividir se usa el inverso multiplicativo del divisor. El inverso de 3/4 es 4/3; el de −5 es −1/5; el de 0,2 = 1/5 es 5. El inverso conserva el signo, y el cero no tiene inverso, porque ningún número multiplicado por 0 da 1. Por eso no se divide entre cero.

Ejemplo. Calcula (−5/6) ÷ 10/9.

Solución. Se multiplica por el inverso de 10/9, que es 9/10: (−5/6) · 9/10. Se simplifica 5 con 10 (quedan 1 y 2) y 9 con 6 (quedan 3 y 2): −(1 · 3)/(2 · 2) = −3/4.

Ejemplo. Tres amigos se reparten en partes iguales 3/4 de una pizza. ¿Qué parte de la pizza le toca a cada uno?

Solución. Se calcula 3/4 ÷ 3. El inverso de 3 es 1/3, así que 3/4 · 1/3 = 3/12 = 1/4. A cada uno le toca la cuarta parte de la pizza.

Ejemplo. Calcula (−1 ³/₄) ÷ (−0,5).

Solución. Se pasa todo a fracciones: −1 ³/₄ = −7/4 y −0,5 = −1/2, cuyo inverso es −2. Entonces (−7/4) · (−2) = 14/4 = 7/2 = 3,5. El resultado es positivo porque los dos números son negativos.

Con decimales también se puede correr la coma en el dividendo y el divisor la misma cantidad de lugares, hasta que el divisor sea entero. Por ejemplo, 2 ÷ 0,25 = 200 ÷ 25 = 8. Con fracciones se llega a lo mismo: 0,25 = 1/4, y 2 ÷ 1/4 = 2 · 4 = 8.

Problemas con multiplicación y división#

Ejemplo. En una feria, el kilo de tomate se vende a ₡1200. ¿Cuánto se paga por 1,75 kg?

Solución. Se multiplica 1,75 · 1200 = 2100. También se puede pensar 1,75 = 1 ³/₄: un kilo cuesta ₡1200 y tres cuartos de kilo cuestan 3/4 · 1200 = ₡900; en total, ₡2100.

Ejemplo. Una finca mide 4 ¹/₂ hectáreas y en 2/3 de ella se siembra café. ¿Cuántas hectáreas se siembran de café? Si la mitad del resto se deja como bosque, ¿cuántas hectáreas de bosque hay?

Solución. «2/3 de» significa multiplicar: 2/3 · 9/2 = 18/6 = 3 hectáreas de café. El resto es 4 ¹/₂ − 3 = 1 ¹/₂ hectáreas, y la mitad de eso es 1/2 · 3/2 = 3/4 de hectárea de bosque.

Ejemplo. Una cinta de 7 ¹/₂ m se corta en pedazos de 3/8 m. ¿Cuántos pedazos salen?

Solución. Se divide: 15/2 ÷ 3/8 = 15/2 · 8/3 = 120/6 = 20. Salen 20 pedazos.

Ejemplo. Un buzo desciende de forma pareja 1,2 m cada minuto. Si se toma la superficie como 0, ¿dónde está después de 3 ¹/₂ minutos?

Solución. Cada minuto cambia −1,2 m, así que en 3,5 minutos cambia (−1,2) · 3,5 = −4,2 m. Está a −4,2 m, es decir, a 4,2 m bajo la superficie.

Ejemplo. En una noche, la temperatura bajó 7,5 °C en 3 horas, siempre al mismo ritmo. ¿Cuánto cambió por hora?

Solución. Se divide el cambio total entre las horas: (−7,5) ÷ 3 = −2,5. La temperatura cambió −2,5 °C por hora; es decir, bajó 2,5 °C cada hora.

Las propiedades conmutativa y asociativa#

Estas dos propiedades, que ya conoces de los naturales y los enteros, también se cumplen para la suma y la multiplicación de racionales. Sirven para cambiar el orden y la agrupación de los números y así hacer cálculos más sencillos.

Propiedad	En la suma	En la multiplicación
Conmutativa: el orden no cambia el resultado	a + b = b + a	a · b = b · a
Asociativa: la agrupación no cambia el resultado	(a + b) + c = a + (b + c)	(a · b) · c = a · (b · c)

La idea es buscar parejas que den un resultado cómodo: fracciones con el mismo denominador que sumen un entero, o números que multiplicados den 1 o 10.

Ejemplo. Calcula 2/7 + 5/9 + 5/7 + 4/9.

Solución. Se cambia el orden y se agrupan las fracciones con igual denominador: (2/7 + 5/7) + (5/9 + 4/9) = 7/7 + 9/9 = 1 + 1 = 2. Sin las propiedades habría que usar el denominador común 63.

Ejemplo. Calcula 4/5 · (−7/3) · 5/4.

Solución. 4/5 y 5/4 son inversos, así que se juntan: (4/5 · 5/4) · (−7/3) = 1 · (−7/3) = −7/3.

Ejemplo. Calcula mentalmente 0,25 · 3,7 · 4 y 5 · 2,7 · 0,2.

Solución. En el primero, 0,25 · 4 = 1, así que el resultado es 1 · 3,7 = 3,7. En el segundo, 5 · 0,2 = 1, así que el resultado es 2,7.

Con restas, primero se pasa a suma#

La resta y la división no son conmutativas: 1/2 − 1/4 = 1/4, pero 1/4 − 1/2 = −1/4. Para reordenar una expresión con restas, se escribe cada resta como suma del opuesto y se reordenan los sumandos con su signo. Por ejemplo, −1,6 + 2,35 + 0,6 − 0,35 = (−1,6 + 0,6) + (2,35 + (−0,35)) = −1 + 2 = 1.

Ponte a prueba#

¿Cuánto es (−6/7) · 14/15?#

¿Cuánto es 2 ⅔ ÷ (−0,8)?#

¿Cuántas botellas de 0,75 L se llenan con 6 L de fresco?#

¿Cómo puedes calcular mentalmente 1/6 · 9,4 · 6?#

¿Es conmutativa la división de números racionales?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)