Operaciones combinadas con números racionales

En la soda del colegio alguien pide dos empanadas y un fresco, paga con un billete y espera el vuelto. Sin pensarlo, resuelve operaciones combinadas: multiplica cada precio por la cantidad, suma los resultados y resta el total del billete. Cuando las cantidades son fracciones, decimales o números mixtos, como 1 1/2 m de tela o 0,75 kg de queso, hace exactamente lo mismo, pero con números racionales.

Las expresiones pueden mezclar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números racionales, con paréntesis o sin ellos, y escritos en cualquier notación. Se resuelven igual que con los naturales y los enteros: se respeta la prioridad de las operaciones. Lo nuevo es cuidar los signos y elegir bien la notación antes de empezar.

El orden de las operaciones y los términos#

Ya conoces la prioridad de las operaciones. Con los números racionales no cambia nada:

1. Paréntesis, del más interno al más externo.
2. Potencias y raíces, cuando aparecen.
3. Multiplicaciones y divisiones, que pesan igual: se hacen de izquierda a derecha, según van saliendo.
4. Sumas y restas, que también pesan igual: de nuevo, de izquierda a derecha.

Un truco que ayuda mucho es separar la expresión en términos. Los signos + y − que no están dentro de un paréntesis dividen la expresión en partes; cada parte, o término, puede tener multiplicaciones y divisiones. Primero se calcula cada término por separado y al final se suman o se restan los resultados. Por ejemplo, en 7/10 − 4/15 ÷ 8/9 hay dos términos: 7/10 y 4/15 ÷ 8/9.

Ejemplo. Calcula 7/10 − 4/15 ÷ 8/9.

Solución. El segundo término es una división, y va antes que la resta. Se multiplica por el inverso de 8/9: 4/15 · 9/8 = 36/120 = 3/10. Ahora la resta: 7/10 − 3/10 = 4/10 = 2/5. Si alguien restara primero, haría (7/10 − 4/15) ÷ 8/9 = 13/30 · 9/8 = 39/80, que es otro número. El orden no es un detalle: cambia el resultado.

Ejemplo. Calcula 2/3 · (−9/4) + 5/2 ÷ 10/7.

Solución. Hay dos términos, y los dos se calculan antes de sumar. El paréntesis de (−9/4) no encierra ninguna operación: solo evita que queden juntos dos signos. Primer término: un factor es positivo y el otro negativo, por lo que el producto lleva signo menos: 2/3 · (−9/4) = −18/12 = −3/2. Segundo término: 5/2 · 7/10 = 35/20 = 7/4. Al final se suman: −3/2 + 7/4 = −6/4 + 7/4 = 1/4.

Antes de empezar: una sola notación#

El programa del MEP pide calcular con números racionales «en cualquiera de sus representaciones». Cuando en una misma expresión hay fracciones, decimales y números mixtos, conviene pasar todo a una sola notación. Las fracciones casi siempre son la opción más segura:

• Un decimal finito se escribe como fracción decimal y se simplifica: 1,2 = 12/10 = 6/5 y 0,75 = 75/100 = 3/4.
• Un número mixto se pasa a fracción impropia: 1 1/2 = 3/2. Si es negativo, el signo afecta a todo el número: −2 2/5 = −(2 + 2/5) = −12/5.
• Un decimal periódico se escribe con su fracción: 0,6̅ = 2/3. Así el resultado sale exacto.
• Si todos los números son decimales finitos y las cuentas son sencillas, también se puede trabajar en decimales.

Ejemplo. Calcula 1,2 · 5/8 − 1 1/2 ÷ 4.

Solución. Se pasa todo a fracciones: 1,2 = 6/5 y 1 1/2 = 3/2. Queda 6/5 · 5/8 − 3/2 ÷ 4. Primer término: 6/5 · 5/8 = 30/40 = 3/4. Segundo término: dividir entre 4 es multiplicar por 1/4, así que 3/2 · 1/4 = 3/8. Al final, la resta: 3/4 − 3/8 = 6/8 − 3/8 = 3/8, que en decimal es 0,375.

Ejemplo. Calcula 0,6̅ · 1,5 − 3/4.

Solución. Como 0,6̅ = 2/3 y 1,5 = 3/2, el primer término es 2/3 · 3/2 = 1. Entonces 1 − 3/4 = 1/4. Con decimales cortados se pierde exactitud: 0,666 · 1,5 = 0,999 y 0,999 − 0,75 = 0,249, que se acerca a 0,25 pero no es igual. La fracción da el valor exacto.

Expresiones con paréntesis#

Un paréntesis cambia el orden: obliga a resolver primero lo que encierra, aunque sea una suma o una resta. Compara estas dos expresiones, que tienen los mismos números:

Expresión	Qué se hace primero	Resultado
3/8 + 1/2 · 3/4	La multiplicación: 1/2 · 3/4 = 3/8	3/8 + 3/8 = 3/4
(3/8 + 1/2) · 3/4	La suma del paréntesis: 3/8 + 4/8 = 7/8	7/8 · 3/4 = 21/32

Si hay varios paréntesis, se resuelve cada uno por separado y después se hace la operación que los une.

Ejemplo. Calcula (1/2 − 4/5) ÷ (3/10 + 3/5).

Solución. Primer paréntesis: 5/10 − 8/10 = −3/10. Segundo paréntesis: 3/10 + 6/10 = 9/10. Después la división, multiplicando por el inverso: −3/10 · 10/9 = −30/90 = −1/3. El resultado es negativo porque se divide un número negativo entre uno positivo.

Ejemplo. Calcula −0,5 · (1,6 − 2 2/5) + 3/10.

Solución. Dentro del paréntesis hay un decimal y un número mixto. Como 2 2/5 = 2,4, el paréntesis vale 1,6 − 2,4 = −0,8. Luego el primer término: −0,5 · (−0,8) = 0,4, positivo porque los dos factores son negativos. Al final, como 3/10 = 0,3, la suma es 0,4 + 0,3 = 0,7, que como fracción es 7/10.

Cuidado con los signos#

Muchos errores en estas expresiones no son de orden, sino de signos. Tres situaciones piden atención especial:

• Un menos delante de un paréntesis. Resta el resultado completo del paréntesis. Si el paréntesis vale −5/12, restarlo es sumar 5/12.
• Dos signos seguidos. El segundo número se escribe entre paréntesis, como en 3/4 · (−2/9), y se aplica la ley de signos: menos por menos da más; menos por más da menos.
• Un número mixto negativo. −1 3/4 significa −(1 + 3/4) = −7/4, no −1 + 3/4.

Ejemplo. Calcula 5/6 − (1/3 − 3/4) · 2.

Solución. Primero el paréntesis: 4/12 − 9/12 = −5/12. Luego la multiplicación, que va antes que la resta: −5/12 · 2 = −10/12 = −5/6. Por último, la resta: 5/6 − (−5/6) = 5/6 + 5/6 = 10/6 = 5/3, es decir, 1 2/3. El error típico sería escribir 5/6 − 5/6 = 0 sin notar que el término que se resta es negativo.

Problemas de la vida diaria#

Para resolver un problema con varias operaciones, primero se escribe una sola expresión que lo represente y después se resuelve con la prioridad. Escribir la expresión completa ayuda a no olvidar ningún paso y a usar los paréntesis donde hacen falta. Si necesitas repasar las operaciones por separado, mira la suma y resta de números racionales y la multiplicación y división de números racionales.

Ejemplo. Para un trabajo de costura, Mariela compra 1 1/2 m de tela a ₡3200 el metro y 0,75 m de encaje a ₡1400 el metro (precios supuestos para practicar). Paga con ₡7000. ¿Cuánto le dan de vuelto?

Solución. La expresión es 7000 − (1 1/2 · 3200 + 0,75 · 1400). Dentro del paréntesis, las multiplicaciones van primero: 1,5 · 3200 = 4800 y 0,75 · 1400 = 1050, que son tres cuartos de 1400. Luego la suma: 4800 + 1050 = 5850. Al final, la resta: 7000 − 5850 = 1150. El vuelto es de ₡1150.

Ejemplo. Una agricultora tiene un terreno de 3 3/5 hectáreas. Siembra hortalizas en 5/6 del terreno y divide esa parte en lotes de 0,6 hectáreas. ¿Cuántos lotes obtiene?

Solución. La expresión es 5/6 · 3 3/5 ÷ 0,6. La multiplicación y la división tienen la misma prioridad, así que se resuelven de izquierda a derecha. Primero, 5/6 · 18/5 = 90/30 = 3 hectáreas de hortalizas. Luego, como 0,6 = 3/5, se divide 3 ÷ 3/5 = 3 · 5/3 = 5. Obtiene 5 lotes.

Cómo revisar el resultado#

Antes de dar por bueno un resultado, conviene hacer tres revisiones rápidas:

• Estimar. Redondea los números a valores sencillos y calcula mentalmente. En el problema de la tela, 1,5 m a unos ₡3000 son unos ₡4500, y 0,75 m a unos ₡1400 es cerca de ₡1000. El gasto ronda los ₡5500 y el vuelto debe rondar los ₡1500: el resultado, ₡1150, es razonable.
• Anticipar el signo. Antes de calcular, fíjate en qué términos son positivos y cuáles negativos. En −0,5 · (1,6 − 2 2/5) + 3/10, el paréntesis es negativo y el producto de dos negativos es positivo, y luego se le suma un positivo. Si el resultado final hubiera salido negativo, habría un error.
• Simplificar al final. Un resultado como 10/6 es correcto, pero se expresa simplificado, 5/3, o como número mixto, 1 2/3.

Con la práctica, estas revisiones se vuelven automáticas y evitan la mayoría de los errores. Si una estimación y un resultado no se parecen, vale la pena volver a revisar el orden y los signos paso a paso.

Ponte a prueba#

¿Cuánto es 4/9 − 2/3 · 5/6?#

¿Cuánto es (3/4 − 1,5) ÷ (−5/8)?#

¿Cuál es el resultado correcto de 2 − 1/3 · 3/4, 5/4 o 7/4?#

¿Cuántas porciones de 3/8 kg salen de un queso de 2 1/4 kg si antes se aparta 0,75 kg?#

¿Cuánto es −3/5 − (0,4 − 1/2) · 4?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)