Enciende una lámpara pequeña en un cuarto oscuro y pon una figura de cartón entre la lámpara y la pared: en la pared aparece una sombra con la misma forma que la figura, pero más grande. Si acercas la figura a la lámpara, la sombra crece; si la alejas, se achica. Los rayos de luz salen todos de un mismo punto y llevan cada punto de la figura a un punto de la sombra. Esa transformación tiene nombre: es una homotecia.
Definición
Una homotecia es una transformación del plano determinada por un punto O, el centro, y un número k distinto de 0, la razón. A cada punto P le asigna un punto P′ alineado con O y con P, cuya distancia a O es |k| veces la de P. Cuando k es positivo, P y P′ están a un mismo lado de O (homotecia directa); cuando k es negativo, O queda entre P y P′ (homotecia inversa). A P′ se le llama punto homólogo de P, y la figura obtenida es homotética a la original.
La idea: una lámpara y una sombra#
En el ejemplo de la lámpara, la bombilla hace de centro: cada rayo sale de ella, pasa por un punto de la figura y llega al punto correspondiente de la sombra. Si la lámpara es tan pequeña que se comporta casi como un punto y la figura está paralela a la pared, la sombra es una homotecia de la figura, y la razón es el cociente entre las distancias de la lámpara a la pared y de la lámpara a la figura.
Ejemplo. Una lámpara pequeña está a 40 cm de una figura de cartón paralela a la pared, y a 1,2 m de la pared (datos de ejercicio). Si un lado de la figura mide 8 cm, ¿cuánto mide ese lado en la sombra?
Solución. Se usan las mismas unidades: 1,2 m = 120 cm. La razón es 120 ÷ 40 = 3, así que cada longitud de la sombra es el triple de la de la figura: el lado mide 3 · 8 = 24 cm. Lo que no cambia es la forma: los ángulos de la sombra miden lo mismo que los de la figura.
El programa del MEP propone hacer esta experiencia en el aula: medir la distancia de la lámpara al objeto y a la sombra, medir el objeto y la sombra, y comprobar que las dos razones son iguales. También pide conversar sobre qué cambia y qué no. Cambian el tamaño y la posición; se conservan la forma, la medida de los ángulos y el paralelismo de los lados.
Elementos de una homotecia#
- Centro O. El punto desde el que se «proyecta» la figura. Es el único punto que no se mueve, salvo si k = 1.
- Razón k. El número |k| es el factor por el que se multiplican las longitudes; el signo de k dice si la imagen queda del mismo lado del centro que la figura o del lado contrario.
- Puntos homólogos. Cada punto P y su imagen P′. El centro, el punto y su homólogo están siempre alineados.
- Lados o segmentos homólogos. Si A′ y B′ son las imágenes de A y B, el segmento A′B′ es el homólogo de AB. Cumple A′B′ = |k| · AB y es paralelo a AB; si la recta AB pasa por el centro, A′B′ queda sobre esa misma recta.
- Ángulos homólogos. El ángulo A′B′C′ es el homólogo del ángulo ABC, y los dos miden lo mismo.
Según el valor de k, la imagen cambia así:
| Razón k | Dónde queda la imagen | Tamaño de la imagen |
|---|---|---|
| k > 1 | Del mismo lado del centro | Ampliada |
| k = 1 | Coincide con la figura | Igual |
| 0 < k < 1 | Del mismo lado del centro | Reducida |
| −1 < k < 0 | Del lado opuesto, girada media vuelta | Reducida |
| k = −1 | Del lado opuesto, girada media vuelta | Igual |
| k < −1 | Del lado opuesto, girada media vuelta | Ampliada |
Fíjate en que el tamaño lo decide |k|, no el signo: una homotecia de razón −3 amplía tanto como una de razón 3. Con k = 0 todos los puntos irían a parar al centro, por eso la razón tiene que ser distinta de cero.
Trazar una homotecia en el plano cartesiano#
Si el centro es el origen (0, 0), cada punto se aleja o se acerca al origen multiplicando sus dos coordenadas por k:
Fórmula
Centro en el origen: (x, y) → (k · x, k · y)
Si el centro es otro punto, se cuenta el desplazamiento del centro al punto (cuánto a la derecha o a la izquierda, cuánto arriba o abajo), se multiplica ese desplazamiento por k y se aplica de nuevo desde el centro.
Para trazar la imagen de un polígono:
- Ubica el centro y los vértices del polígono.
- Calcula la imagen de cada vértice con la regla anterior.
- Ubica las imágenes y únelas en el mismo orden que los vértices originales.
- Revisa: cada vértice, su imagen y el centro deben estar alineados, y cada lado de la imagen debe ser paralelo a su homólogo y medir |k| veces lo que mide.
Ejemplo. Aplica al trapecio de vértices A(1, 1), B(5, 1), C(3, 3) y D(1, 3) una homotecia de centro (0, 0) y razón 2, y otra de razón 1/2.
Solución. Con k = 2, cada coordenada se multiplica por 2: A′(2, 2), B′(10, 2), C′(6, 6) y D′(2, 6). Los lados horizontales y verticales se pueden contar en la cuadrícula: AB = 4 y A′B′ = 8; DC = 2 y D′C′ = 4; AD = 2 y A′D′ = 4. Con k = 1/2 se toman las mitades: A″(1/2, 1/2), B″(5/2, 1/2), C″(3/2, 3/2) y D″(1/2, 3/2), y cada lado mide la mitad. En las tres figuras, los ángulos en A y D son rectos, el de B mide 45° y el de C, 135°.
Ejemplo. Aplica al triángulo de vértices P(1, 2), Q(4, 2) y R(1, 4) una homotecia de centro (0, 0) y razón −2.
Solución. Se multiplican las coordenadas por −2: P′(−2, −4), Q′(−8, −4) y R′(−2, −8). La imagen queda al otro lado del origen, girada media vuelta, y sus lados miden el doble: PQ = 3 y P′Q′ = 6; PR = 2 y P′R′ = 4. Es una homotecia inversa: cada punto y su homólogo quedan en lados opuestos del centro, sobre una misma recta que pasa por él.
Ejemplo. Aplica al triángulo de vértices E(1, 3), F(3, 3) y G(1, 5) una homotecia de centro M(−1, 2) y razón 2.
Solución. Desde M, el punto E está 2 a la derecha y 1 arriba; al multiplicar por 2 queda 4 a la derecha y 2 arriba de M: E′(3, 4). F está 4 a la derecha y 1 arriba, así que F′ está 8 a la derecha y 2 arriba: F′(7, 4). G está 2 a la derecha y 3 arriba, así que G′ está 4 a la derecha y 6 arriba: G′(3, 8). Revisión: EF = 2 y E′F′ = 4; EG = 2 y E′G′ = 4.
Cómo reconocer figuras homotéticas#
El programa del MEP llama a estas figuras «homotécicas»; aquí se escribe «homotéticas», que es el adjetivo que recoge el Diccionario de la lengua española para lo relativo a la homotecia. Dos polígonos con el mismo número de vértices son homotéticos si se puede emparejar cada vértice de uno con un vértice del otro de modo que se cumpla todo esto:
- Los ángulos homólogos miden lo mismo.
- Los lados homólogos son paralelos.
- Las rectas que unen cada vértice con su homólogo pasan todas por un mismo punto: ese punto es el centro.
- El cociente entre cada lado de la imagen y su homólogo es el mismo número, |k|.
Si dos figuras tienen la misma forma pero una está girada de modo que sus lados ya no son paralelos a los de la otra, no son homotéticas, aunque se parezcan.
Ejemplo. Se da el triángulo T de vértices (1, 1), (3, 1) y (1, 2). ¿Cuáles de estos triángulos son homotéticos a T? T₂: (3, 3), (9, 3), (3, 6). T₃: (−2, −2), (−6, −2), (−2, −4). T₄: (5, 1), (5, 3), (4, 1). T₅: (2, 2), (6, 2), (2, 3).
Solución. T₂ sí: sus vértices son los de T multiplicados por 3, así que es la imagen con centro (0, 0) y razón 3. T₃ también: son los de T multiplicados por −2 (centro en el origen, razón −2). T₄ tiene el mismo tamaño y la misma forma, pero está girado: el lado que en T es horizontal y mide 2 aparece vertical, así que los lados homólogos no son paralelos y no es homotético a T. T₅ no tiene la misma forma: el lado horizontal pasó de 2 a 4 y el vertical se quedó en 1, así que los cocientes no son iguales. Además, T₂ y T₃ son homotéticos entre sí, con centro en el origen y razón −2/3.
Ponte a prueba#
¿Cuál es la imagen del punto (−3, 4) con una homotecia de centro en el origen y razón −2?#
Es el punto (6, −8). Con centro en el origen basta multiplicar cada coordenada por la razón: −2 · (−3) = 6 y −2 · 4 = −8. El signo negativo de la razón deja al origen en medio del punto y de su imagen, los tres sobre una misma recta, y la imagen queda al doble de distancia del origen que el punto original.
¿Qué razón tiene una homotecia directa que transforma un segmento de 6 cm en uno de 4 cm?#
La razón es 2/3. El valor absoluto de la razón es el cociente entre la longitud de la imagen y la de la figura original: 4 ÷ 6 = 2/3. Como la homotecia es directa, la razón es positiva. Que sea menor que 1 indica una reducción: cada longitud de la imagen mide dos tercios de su homóloga.
¿Cuánto mide el ángulo homólogo de un ángulo de 40° en una homotecia de razón 3?#
Mide 40°. Una homotecia multiplica las longitudes por |k|, pero conserva la medida de los ángulos: la figura cambia de tamaño sin cambiar de forma. Por eso el ángulo homólogo mide lo mismo, aunque sus lados sean el triple de largos. Lo mismo pasaría con cualquier otra razón distinta de cero.
¿Son homotéticos el rectángulo de vértices (0, 0), (4, 0), (4, 2), (0, 2) y el de vértices (0, 0), (6, 0), (6, 3), (0, 3)?#
Sí. Al multiplicar por 3/2 las coordenadas de cada vértice del primero se obtienen los vértices del segundo: (4, 0) → (6, 0), (4, 2) → (6, 3) y (0, 2) → (0, 3). Es una homotecia de centro (0, 0) y razón 3/2. Los lados homólogos son paralelos y miden 3/2 de lo que miden en la figura original: 4 pasa a 6 y 2 pasa a 3.
¿Dónde queda la imagen de una figura con una homotecia de razón 1?#
Queda exactamente sobre la figura original. Con k = 1, cada punto P va a un punto P′ del mismo lado del centro y a la misma distancia, es decir, al mismo P. Todos los puntos quedan fijos, así que la imagen coincide con la figura. Es el único caso en que la homotecia no mueve nada.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
