Cálculo mental, estimación y calculadora con números racionales

En la fila de la soda, alguien calcula de memoria cuánto va a pagar; en la feria, la vendedora suma los precios en un papelito; y en la casa, para repartir un recibo entre tres personas, alguien saca la calculadora. Las tres maneras de calcular son válidas, incluido el cálculo mental con racionales. Lo importante es escoger la que conviene en cada situación y revisar que el resultado tenga sentido.

Para recordar

Un cálculo se puede enfrentar de cuatro maneras. El cálculo mental da un resultado exacto sin escribir, apoyándose en números cómodos y en propiedades. La estimación da un valor aproximado, suficiente para decidir o para revisar. El papel y lápiz sirve para cálculos exactos que no salen de memoria. La calculadora ayuda con cálculos largos o con muchas cifras. Elegir bien el método es parte de resolver el problema.

Equivalencias que conviene saber de memoria#

El cálculo mental con racionales se apoya en reconocer el mismo número escrito de varias formas. Estas equivalencias se usan todo el tiempo:

Fracción	Decimal	Porcentaje
1/2	0,5	50 %
1/4	0,25	25 %
3/4	0,75	75 %
1/5	0,2	20 %
1/8	0,125	12,5 %
1/10	0,1	10 %
1/3	0,333…	33,3… %

Con ellas, una operación difícil en una forma se vuelve sencilla en otra. Multiplicar por 0,25 es lo mismo que sacar la cuarta parte; multiplicar por 0,5, sacar la mitad; y dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por 2, porque en cada unidad caben dos medios.

Estrategias de cálculo mental#

Cambiar de representación. 36 · 0,75 son los 3/4 de 36: la cuarta parte es 9, y tres cuartas partes son 27.
Descomponer. 2,5 · 18 = 2 · 18 + 0,5 · 18 = 36 + 9 = 45.
Compensar. 4,98 + 2,7 = 5 + 2,7 − 0,02 = 7,68: se suma un número redondo y luego se corrige la diferencia.
Agrupar los que se completan. 0,35 + 1,8 + 0,65 = (0,35 + 0,65) + 1,8 = 1 + 1,8 = 2,8.
Correr la coma. Multiplicar por 10, 100 o 1000 corre la coma a la derecha, y multiplicar por 0,1 o 0,01, a la izquierda: 47,3 · 0,1 = 4,73.
Dividir entre un decimal multiplicando. 7 ÷ 0,25 = 7 · 4 = 28, porque en una unidad caben cuatro cuartos.

Ejemplo. Calcula mentalmente 3/5 de 45 y 1,5 · 26.

Solución. Para 3/5 de 45, primero la quinta parte: 45 ÷ 5 = 9; luego tres quintas partes: 9 · 3 = 27. Para 1,5 · 26 se suma el número y su mitad, porque 1,5 = 1 + 0,5: 26 + 13 = 39.

Ejemplo. Calcula mentalmente 3 ¹/₂ + 2,75 + 1/4.

Solución. Se buscan los sumandos que se completan: 2,75 y 1/4 = 0,25 suman exactamente 3. Queda 3,5 + 3 = 6,5, que también se escribe 6 ¹/₂.

Entre sus indicaciones, el programa del MEP pide que cada estudiante juzgue si los resultados de sus estimaciones son razonables y argumente su posición. Estimar bien es la otra mitad del cálculo mental.

Estimar: un resultado aproximado que sirve#

Estimar es reemplazar los números por otros cercanos y cómodos, llamados compatibles, y calcular con ellos. Se usa para dos cosas: decidir sin necesidad de la cifra exacta, como saber si alcanza el dinero, y revisar un resultado, como el que dio la calculadora. Para redondear bien, repasa el redondeo de decimales.

Ejemplo. Supón que en una compra los precios son ₡1 190, ₡2 450 y ₡985, y llevas ₡5 000. ¿Te alcanza?

Solución. Para no quedarse corto, se redondea cada precio hacia arriba: 1 200 + 2 500 + 1 000 = 4 700, que es menos de 5 000. Alcanza, aunque todavía no sepas el total exacto, que es ₡4 625. Cuando se quiere saber si alcanza, conviene redondear por exceso: si con los precios redondeados hacia arriba alcanza, con los reales también.

Ejemplo. ¿Es razonable que 4,85 · 19,6 = 950,6?

Solución. 4,85 se parece a 5 y 19,6 a 20, así que el producto tiene que andar cerca de 5 · 20 = 100. El valor 950,6 es casi diez veces mayor, señal de un error con la coma. El producto correcto es 95,06, que sí está cerca de 100.

Ejemplo. Estima 2/3 de 89 y la suma 5/9 + 4/7.

Solución. 89 está cerca de 90, que se divide exacto entre 3: 90 ÷ 3 = 30 y 30 · 2 = 60. El valor exacto es 178/3 = 59,3…, muy cerca. Para la suma conviene comparar con 1/2: 5/9 es un poco más que 1/2, y 4/7 también, así que la suma es un poco más que 1. En efecto, 5/9 + 4/7 = 71/63.

Papel y lápiz: cuando hace falta exactitud#

Hay cálculos que no salen de memoria pero son cortos, o que conviene dejar exactos. Con fracciones, el papel y lápiz suele ser mejor que una calculadora que solo trabaje con decimales, porque muchos resultados tienen una expansión decimal periódica y la pantalla solo muestra una parte.

Ejemplo. Calcula 5/6 − 3/8.

Solución. Con el denominador común 24: 20/24 − 9/24 = 11/24, un resultado exacto. En decimal, 11/24 = 0,458333…, con el 3 repetido sin fin; en forma decimal, la pantalla de una calculadora solo mostraría las primeras cifras.

Ejemplo. Calcula 3,45 · 1,2.

Solución. Se multiplica sin las comas: 345 · 12 = 4140. Los factores tienen dos y una cifra decimal, tres en total, así que el producto es 4,140 = 4,14. Para revisar se estima: 3,5 · 1,2 = 4,2, que está cerca.

La calculadora: cómo usarla bien#

El programa del MEP indica que la calculadora científica se puede usar desde sétimo año, como apoyo cuando aparecen números grandes y para comprobar resultados, y que no sustituye las operaciones básicas. No todas las calculadoras trabajan igual, así que conviene conocer la tuya:

Prioridad de las operaciones. Las calculadoras científicas suelen respetar la prioridad: primero multiplicaciones y divisiones, después sumas y restas. Algunas calculadoras sencillas, en cambio, hacen cada operación en el orden en que se teclea. Prueba la tuya con 1 + 2 × 5: si respeta la prioridad da 11; si no, da 15.
Paréntesis. Una raya de fracción agrupa lo que tiene arriba y lo que tiene abajo; si la expresión se teclea en una sola línea, esa agrupación se escribe con paréntesis.
Pocas cifras en pantalla. La pantalla muestra una cantidad limitada de cifras, así que, en forma decimal, un decimal periódico suele aparecer cortado o redondeado. Por ejemplo, 1 ÷ 7 = 0,142857142857…, con el bloque 142857 repetido sin fin, y la pantalla solo deja ver las primeras cifras; el valor exacto es la fracción 1/7.
Fracciones. Muchas calculadoras científicas tienen una tecla para escribir fracciones y pueden dar el resultado como fracción o como decimal. Cómo se hace cambia de un modelo a otro: revisa el manual de la tuya.
Coma y punto. Aquí, como en el programa del MEP, los decimales se escriben con coma, pero muchas calculadoras muestran un punto en su lugar.
Números negativos. Para elevar un número negativo, escríbelo entre paréntesis, como (−2,5)², así no hay duda de cuál es la base.

Ejemplo. Calcula (7,5 − 1,5) ÷ (2 + 0,4) con calculadora. ¿Qué pasa si se teclea sin paréntesis?

Solución. Con paréntesis: 6 ÷ 2,4 = 2,5. Sin paréntesis, una calculadora que respeta la prioridad hace primero la división 1,5 ÷ 2 = 0,75 y calcula 7,5 − 0,75 + 0,4 = 7,15, un número muy distinto. Los paréntesis del papel también se tienen que teclear.

Ejemplo. Un carro recorrió 437,5 km y gastó 31,25 L de gasolina (datos de ejercicio). ¿Cuántos kilómetros recorrió por litro?

Solución. Primero se estima: 440 ÷ 30 da un poco menos de 15, así que el resultado debe andar por ahí. Con la calculadora, 437,5 ÷ 31,25 = 14. El resultado concuerda con la estimación: recorrió 14 km por litro. Si la pantalla hubiera mostrado 1,4 o 140, la estimación habría delatado el error de tecleo.

Elegir el método según el problema#

El programa del MEP propone comparar situaciones parecidas que piden herramientas distintas. Con precios supuestos, así cambia la compra de una manguera según los números:

Situación	Método conveniente	Cálculo
2,5 m a ₡600 el metro	Cálculo mental	2 · 600 + 0,5 · 600 = 1 200 + 300 = ₡1 500
2,5 m a ₡1 380 el metro	Papel y lápiz	1 380 · 2 + 1 380 · 0,5 = 2 760 + 690 = ₡3 450
3,65 m a ₡1 497,50 el metro	Calculadora	3,65 · 1 497,50 = 5 465,875, unos ₡5 466

Estas preguntas ayudan a decidir:

¿Necesito el resultado exacto, o me basta una aproximación para decidir?
¿Los números son cómodos, como mitades, cuartos o decenas, o tienen muchas cifras?
¿Cuántos pasos tiene el cálculo?
¿Quiero el resultado exacto como fracción?

Y una regla para todos los casos: aunque uses la calculadora, estima antes. Así descubres a tiempo los errores de tecleo.

Ponte a prueba#

¿Cómo se calcula mentalmente 24 · 1,25?#

Se descompone 1,25 como 1 + 0,25, es decir, una unidad más un cuarto. Entonces 24 · 1,25 = 24 + 24 · 0,25. La cuarta parte de 24 es 6, así que el resultado es 24 + 6 = 30. También se puede pensar que 1,25 = 5/4: la cuarta parte de 24 es 6, y cinco cuartas partes son 6 · 5 = 30.

¿Es razonable que 0,48 · 61 dé 292,8?#

No. Se estima con números compatibles: 0,48 está muy cerca de 0,5 y 61 de 60, así que el producto debe andar cerca de la mitad de 60, que es 30. El valor 292,8 es casi diez veces mayor, lo que indica que la coma quedó mal puesta. El producto correcto es 29,28, que sí concuerda con la estimación.

¿Por qué conviene usar paréntesis al calcular (9,6 + 2,4) ÷ (1,2 + 0,3) en la calculadora?#

Porque las calculadoras científicas suelen respetar la prioridad de las operaciones. Con los paréntesis, la calculadora hace 12 ÷ 1,5 = 8, que es lo que pide la expresión. Sin ellos, una que respete la prioridad haría primero la división 2,4 ÷ 1,2 = 2 y luego 9,6 + 2 + 0,3 = 11,9, otro resultado. La agrupación que en papel se ve con la raya de fracción o los paréntesis hay que teclearla.

¿Cuánto son los 3/8 de 56, calculados mentalmente?#

Son 21. Primero se calcula un octavo de 56 dividiendo entre 8: 56 ÷ 8 = 7. Luego, tres octavos son tres veces esa cantidad: 7 · 3 = 21. Dividir primero entre el denominador deja números pequeños; si se multiplicara primero, 56 · 3 = 168 y 168 ÷ 8 = 21, el resultado es el mismo pero con números más grandes.

¿Qué método conviene para calcular 2/3 − 1/6, y cuánto da?#

Conviene el cálculo mental, porque los denominadores son pequeños y uno es múltiplo del otro. Se escribe 2/3 como 4/6, así que 4/6 − 1/6 = 3/6, que simplificado es 1/2. Con una calculadora que solo muestre decimales habría que teclear dos divisiones con resultados periódicos, más trabajo para un resultado tan sencillo.