Posición de puntos y rectas respecto a una circunferencia

Una antena de radio cubre una zona circular; un aspersor moja el zacate hasta cierta distancia; una carretera recta puede atravesar un círculo, rozarlo o quedar lejos de él. En geometría analítica estas situaciones se resuelven con la ecuación de la circunferencia: basta con sustituir coordenadas o con resolver una ecuación de segundo grado.

En esta lección vas a determinar, de forma gráfica y algebraica, si un punto está en el interior o en el exterior de una circunferencia, y si una recta es secante, tangente o exterior a ella. También verás cómo representar cada caso y cómo explorarlo con un programa de geometría dinámica.

¿Dentro, fuera o sobre la circunferencia?#

Gráficamente, basta con dibujar la circunferencia y ubicar el punto. Algebraicamente, se compara la distancia del punto P(x₀, y₀) al centro C(h, k) con el radio r. Para no sacar raíces, se comparan los cuadrados: (x₀ − h)² + (y₀ − k)² con r².

Si (x₀ − h)² + (y₀ − k)² es…	el punto P es…
menor que r²	interior
igual a r²	un punto de la circunferencia
mayor que r²	exterior

Ejemplo. Ubica los puntos P(4, 2), Q(3, 0) y R(7, 1) respecto a la circunferencia (x − 1)² + (y + 2)² = 25.

Solución. El centro es (1, −2) y r² = 25. Para P: (4 − 1)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25, igual a r²: P está sobre la circunferencia. Para Q: (3 − 1)² + (0 + 2)² = 4 + 4 = 8, menor que 25: Q es interior. Para R: (7 − 1)² + (1 + 2)² = 36 + 9 = 45, mayor que 25: R es exterior.

Si la circunferencia viene en forma general, x² + y² + Dx + Ey + F = 0, basta con sustituir el punto en el lado izquierdo: si da negativo, el punto es interior; si da 0, está sobre la circunferencia; si da positivo, es exterior. Funciona porque ese lado izquierdo es igual a (x − h)² + (y − k)² − r².

Ejemplo. Una radio comunitaria tiene su antena en el origen de un mapa cuadriculado en kilómetros, y se supone que su señal llega 30 km en todas las direcciones (datos inventados). ¿Se escucha la emisora en un pueblo ubicado en (18, 25)? ¿Y en otro ubicado en (−20, 21)?

Solución. La zona de alcance es el círculo limitado por x² + y² = 900, porque 30² = 900. Para (18, 25): 18² + 25² = 324 + 625 = 949, mayor que 900: el pueblo queda fuera, a √949 ≈ 30,81 km de la antena. Para (−20, 21): 400 + 441 = 841, menor que 900: está dentro, a √841 = 29 km.

Rectas secantes, tangentes y exteriores: la idea gráfica#

Al dibujar una circunferencia y una recta en el mismo plano solo hay tres posibilidades: la recta la atraviesa y la corta en dos puntos (secante), la toca en un único punto sin atravesarla (tangente) o pasa sin tocarla (exterior). Gráficamente se decide con la distancia del centro a la recta, que es la longitud del segmento perpendicular que va del centro a la recta:

• Si la distancia del centro a la recta es menor que el radio, la recta es secante.
• Si es igual al radio, la recta es tangente.
• Si es mayor que el radio, la recta es exterior.

Con rectas verticales u horizontales esa distancia se lee directamente: la recta x = a está a |a − h| unidades del centro (h, k), y la recta y = b está a |b − k| unidades.

Ejemplo. Clasifica las rectas x = 4, y = 0 y y = 3 respecto a la circunferencia (x − 1)² + (y + 2)² = 9.

Solución. El centro es (1, −2) y el radio es 3. La recta x = 4 está a |4 − 1| = 3 unidades del centro, igual que el radio: es tangente y toca la circunferencia en (4, −2). La recta y = 0, que es el eje x, está a |0 − (−2)| = 2 unidades: es secante. La recta y = 3 está a |3 − (−2)| = 5 unidades, más que el radio: es exterior.

El método algebraico: el discriminante#

Un punto común a la recta y a la circunferencia tiene que cumplir las dos ecuaciones a la vez. Por eso se despeja y en la ecuación de la recta, se sustituye en la de la circunferencia y se obtiene una ecuación de segundo grado en x, ax² + bx + c = 0. Si la recta es vertical, x = a, se sustituye x por a y la ecuación queda en y. Su discriminante, Δ = b² − 4ac, dice cuántas soluciones tiene, y cada solución corresponde a un punto común:

Discriminante	Soluciones reales	La recta es…
Δ > 0	dos	secante
Δ = 0	una	tangente
Δ < 0	ninguna	exterior

Ejemplo. Determina la posición de la recta y = x + 1 respecto a la circunferencia x² + y² = 25 y halla los puntos comunes.

Solución. Se sustituye y = x + 1: x² + (x + 1)² = 25, que da x² + x² + 2x + 1 = 25, o sea, 2x² + 2x − 24 = 0. Al dividir entre 2 queda x² + x − 12 = 0, con Δ = 1² − 4 · 1 · (−12) = 49 > 0: la recta es secante. Las soluciones son x = 3 y x = −4, y con y = x + 1 se obtienen los puntos (3, 4) y (−4, −3). Los dos cumplen la ecuación: 9 + 16 = 25 y 16 + 9 = 25.

Ejemplo. Determina la posición de la recta x + 3y = 10 respecto a la circunferencia x² + y² = 10.

Solución. Se despeja y = (10 − x) ÷ 3 y se sustituye: x² + ((10 − x) ÷ 3)² = 10. Al multiplicar todo por 9: 9x² + 100 − 20x + x² = 90, es decir, 10x² − 20x + 10 = 0, y al dividir entre 10, x² − 2x + 1 = 0. El discriminante es (−2)² − 4 · 1 · 1 = 0: la recta es tangente. La única solución es x = 1, y entonces y = (10 − 1) ÷ 3 = 3. El punto de tangencia es (1, 3).

Ejemplo. Determina la posición de la recta y = x + 5 respecto a la misma circunferencia x² + y² = 10.

Solución. Se sustituye: x² + (x + 5)² = 10, o sea, 2x² + 10x + 15 = 0. El discriminante es 10² − 4 · 2 · 15 = 100 − 120 = −20 < 0. La ecuación no tiene soluciones reales, así que la recta no toca la circunferencia: es exterior.

Cómo representar cada caso y cómo usar software#

Para representar una recta tangente, secante o exterior a una circunferencia dada conviene partir del dibujo. En la circunferencia de centro (h, k) y radio r, las rectas y = k + r, y = k − r, x = h + r y x = h − r son tangentes. Una recta que pasa por el centro siempre es secante, y una recta paralela a una tangente pero más alejada del centro es exterior.

Ejemplo. Escribe una recta tangente, una secante y una exterior a la circunferencia (x + 2)² + (y − 1)² = 16.

Solución. El centro es (−2, 1) y el radio es 4. La recta y = 1 + 4, o sea, y = 5, es tangente en el punto (−2, 5). La recta y = 1 pasa por el centro y es secante: corta a la circunferencia en (2, 1) y en (−6, 1). La recta y = 7 está a 6 unidades del centro, más que el radio: es exterior.

Un programa de geometría dinámica permite ver estas posiciones en movimiento, como propone el programa del MEP. Se escribe la ecuación de la circunferencia, se crea un deslizador b y se escribe la recta y = x + b. Al mover el deslizador, la recta se desplaza paralela a sí misma y se ve cuándo pasa de exterior a tangente y de tangente a secante. También se puede trasladar la circunferencia y observar cómo cambia la clasificación de una misma recta.

Ejemplo. ¿Para qué valores de b la recta y = x + b es secante, tangente o exterior a la circunferencia x² + y² = 8?

Solución. Se sustituye: x² + (x + b)² = 8, o sea, 2x² + 2bx + b² − 8 = 0. El discriminante es (2b)² − 4 · 2 · (b² − 8) = 4b² − 8b² + 64 = 64 − 4b². Es cero cuando b² = 16, es decir, cuando b = 4 o b = −4: esas dos rectas son tangentes. Si −4 < b < 4, el discriminante es positivo y la recta es secante; si b > 4 o b < −4, es negativo y la recta es exterior. Con b = 4 la ecuación queda 2x² + 8x + 8 = 0, cuya única solución es x = −2, y el punto de tangencia es (−2, 2).

Ponte a prueba#

¿El punto (5, −1) está dentro, fuera o sobre la circunferencia (x − 2)² + (y − 3)² = 20?#

¿Qué posición tiene la recta y = 2x − 1 respecto a la circunferencia x² + y² = 5?#

¿Es tangente la recta y = 7 a la circunferencia (x + 1)² + (y − 3)² = 16?#

¿Para qué valores de b la recta horizontal y = b es exterior a la circunferencia x² + y² = 36?#

¿El punto (1, 1) es interior a la circunferencia x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)