La función lineal: gráfica, pendiente y ecuación de la recta

Q: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (2, 5) y (6, −3)?

Primero la pendiente: m = (−3 − 5)/(6 − 2) = −8/4 = −2. Luego se usa el punto (2, 5) en y = −2x + b: 5 = −4 + b, de donde b = 9. La ecuación es y = −2x + 9. Comprobación con el otro punto: −2 · 6 + 9 = −3. Como la pendiente es negativa, la función es decreciente.

Q: ¿Dónde corta los ejes la recta y = 4x − 10?

Con x = 0 se obtiene y = −10: corta el eje de las ordenadas en (0, −10). Con y = 0 se resuelve 4x − 10 = 0, que da x = 10/4 = 5/2: corta el eje de las abscisas en (5/2, 0). El cero de la función es 5/2, que coincide con −b/m = −(−10)/4.

Q: ¿Cuál es la ecuación de la recta paralela a y = −x + 8 que pasa por (3, 1)?

Una recta paralela tiene la misma pendiente, −1, así que su ecuación es y = −x + b. Como pasa por (3, 1): 1 = −3 + b, de donde b = 4. La ecuación es y = −x + 4. Las dos rectas tienen pendiente −1 e intersecciones distintas con el eje y (8 y 4), así que nunca se cortan.

Q: ¿Es inyectiva la función constante f(x) = 7?

No. Todos los números tienen la misma imagen: por ejemplo, f(1) = 7 y f(2) = 7, aunque 1 ≠ 2. Su gráfica es la recta horizontal y = 7, de pendiente 0. Según la definición del programa del MEP, esta función es creciente y decreciente a la vez, y su ámbito tiene un solo elemento: {7}.

Q: ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a y = 4x + 1 que pasa por el origen?

La pendiente perpendicular a 4 es el opuesto de su inverso, −1/4, porque 4 · (−1/4) = −1. Como la recta pasa por el origen, corta el eje y en 0, y su ecuación es y = −x/4. Por ejemplo, contiene el punto (4, −1), porque −4/4 = −1.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 15 de 22

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 9 min de lectura

La función lineal describe cualquier situación en la que una cantidad cambia siempre al mismo ritmo, como una tarifa con un cargo fijo más un monto por unidad. En octavo año la conociste como relación entre variables; en décimo se estudia con más precisión: su gráfica, su pendiente, sus intersecciones con los ejes y la ecuación de la recta a partir de datos.

Una aclaración de nombres: en algunos países se llama lineal solo a f(x) = mx, y afín a f(x) = mx + b con b ≠ 0. El programa del MEP sigue la costumbre de Costa Rica y llama lineal a los dos casos.

Definición

Una función lineal es una función de variable real cuyo criterio tiene la forma f(x) = mx + b, donde m y b son números reales constantes. Si su dominio es ℝ, su gráfica es una recta no vertical. El número m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del punto donde la recta corta el eje y.

Cómo se grafica una función lineal#

Como la gráfica es una recta, bastan dos puntos para trazarla, aunque conviene calcular un tercero para comprobar. Se hace una tabla con algunos valores de x, se calculan sus imágenes, se ubican los puntos y se traza la recta que pasa por ellos.

x	−1	0	1	2	3
f(x) = 2x − 3	−5	−3	−1	1	3

Ejemplo. Grafica f(x) = 2x − 3 a partir de la tabla.

Solución. Los puntos (−1, −5), (0, −3), (1, −1), (2, 1) y (3, 3) están alineados, y la recta que los une es la gráfica de f. En la tabla se ve una regularidad: cada vez que x aumenta 1, y aumenta 2. Ese 2 es la pendiente. Además, la recta corta el eje y en (0, −3), y −3 es el valor de b.

Casos especiales#

Si b = 0, f(x) = mx y la recta pasa por el origen: es una proporcionalidad directa.
Si m = 0, f(x) = b es una función constante y su gráfica es una recta horizontal.
La función identidad, f(x) = x, tiene m = 1 y b = 0: a cada número le asigna el mismo número. Su gráfica es la recta y = x, que será clave en undécimo año para graficar funciones inversas.
Una recta vertical, como x = 4, no es la gráfica de una función: al valor 4 le corresponderían infinitas imágenes.

La pendiente: cuánto sube o baja la recta#

La pendiente es la razón entre el cambio de y y el cambio de x entre dos puntos cualesquiera de la recta. Por ser una recta, da lo mismo cuáles dos puntos se escojan.

Fórmula

m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), con x₁ ≠ x₂

Donde (x₁, y₁) y (x₂, y₂) son dos puntos de la recta.

El signo de m dice cómo es la función:

Si m > 0, la recta sube de izquierda a derecha: si x₁ < x₂, entonces f(x₁) < f(x₂). La función es creciente y, como nunca repite un valor, es inyectiva.
Si m < 0, la recta baja: si x₁ < x₂, entonces f(x₁) > f(x₂). La función es decreciente y también es inyectiva.
Si m = 0, la recta es horizontal. Según la definición del programa del MEP, una función constante es creciente y decreciente a la vez, pero no es inyectiva.

Cuanto mayor es el valor absoluto de m, más inclinada es la recta: y = 5x sube más rápido que y = 0,5x.

Ejemplo. Halla la pendiente de la recta que pasa por (−1, 4) y (3, −4).

Solución. m = (−4 − 4)/(3 − (−1)) = −8/4 = −2. La pendiente es negativa: por cada unidad que avanza x, y baja 2 unidades. La función es decreciente. Si se toman los puntos en el otro orden, el resultado es el mismo: (4 − (−4))/(−1 − 3) = 8/(−4) = −2.

Intersecciones con los ejes#

La recta y = mx + b corta el eje de las ordenadas (eje y) cuando x = 0, en el punto (0, b). Corta el eje de las abscisas (eje x) cuando y = 0: si m ≠ 0, al resolver mx + b = 0 se obtiene x = −b/m, y el punto de corte es (−b/m, 0). Ese valor de x es el cero de la función.

Ejemplo. Halla las intersecciones de f(x) = −3x + 6 con los ejes y úsalas para graficarla.

Solución. Con x = 0, f(0) = 6: la recta corta el eje y en (0, 6). Con y = 0, −3x + 6 = 0 da x = 2: corta el eje x en (2, 0). La gráfica es la recta que pasa por (0, 6) y (2, 0). Comprobación de la pendiente: (0 − 6)/(2 − 0) = −3.

Ejemplo. Una recta tiene ecuación 4x + 5y = 20. ¿Cuáles son su pendiente y sus intersecciones con los ejes?

Solución. Se despeja y: 5y = −4x + 20, de donde y = −(4/5)x + 4. La pendiente es −4/5 y la recta corta el eje y en (0, 4). Para el eje x se hace y = 0 en la ecuación original: 4x = 20 y x = 5, así que corta el eje x en (5, 0). Con la fórmula, −b/m = −4 ÷ (−4/5) = 5.

Cómo hallar la ecuación de una recta#

Para escribir la ecuación y = mx + b se necesitan m y b. Según los datos que se tengan, se procede así.

Con la pendiente y un punto#

Ejemplo. Halla la ecuación de la recta de pendiente 3 que pasa por (−2, 5).

Solución. Se sustituyen la pendiente y las coordenadas del punto en y = mx + b: 5 = 3 · (−2) + b = −6 + b, de donde b = 11. La ecuación es y = 3x + 11.

Con dos puntos#

Ejemplo. Halla la ecuación de la recta que pasa por (−2, 7) y (4, −2).

Solución. Primero la pendiente: m = (−2 − 7)/(4 − (−2)) = −9/6 = −3/2. Luego se usa uno de los puntos, por ejemplo (−2, 7): 7 = (−3/2)(−2) + b = 3 + b, así que b = 4. La ecuación es y = −(3/2)x + 4. Comprobación con el otro punto: −(3/2) · 4 + 4 = −6 + 4 = −2.

Rectas paralelas y perpendiculares#

Dos rectas no verticales son paralelas si tienen la misma pendiente y distinta intersección con el eje y (si esta también coincide, son la misma recta). Son perpendiculares si el producto de sus pendientes es −1, es decir, si cada pendiente es el opuesto del inverso de la otra.

Ejemplo. Halla la recta paralela a y = 2x + 1 que pasa por (3, 4) y la perpendicular a y = −(3/2)x + 4 que pasa por (6, 1).

Solución. La paralela tiene pendiente 2: 4 = 2 · 3 + b da b = −2, y la recta es y = 2x − 2. La perpendicular tiene pendiente 2/3, porque (−3/2) · (2/3) = −1. Con el punto (6, 1): 1 = (2/3) · 6 + b = 4 + b, así que b = −3, y la recta es y = (2/3)x − 3.

Un problema de aplicación con análisis completo#

El programa propone analizar una situación real como función: su dominio, sus ceros, su signo, su ámbito, su crecimiento y su inyectividad. Los datos de este problema son inventados.

Ejemplo. Un grupo de estudiantes hace jabones artesanales para vender en la feria del colegio. Invirtieron ₡45 000 en moldes y herramientas; cada jabón les cuesta ₡600 en materiales y lo venden a ₡1500. Pueden fabricar como máximo 120 jabones. Escribe la utilidad U en función de la cantidad x de jabones vendidos y analízala.

Solución. El ingreso es 1500x y el costo total es 600x + 45 000, así que U(x) = 1500x − (600x + 45 000) = 900x − 45 000. La pendiente, 900, es la ganancia por cada jabón, y la intersección con el eje y, (0, −45 000), es la inversión que se pierde si no se vende nada. El cero sale de 900x − 45 000 = 0: x = 50. Con 50 jabones recuperan la inversión, y desde el jabón 51 hay ganancia: U(51) = ₡900.

Dominio: {0, 1, 2, …, 120}. Es discreto, así que la gráfica está formada por puntos alineados que no se unen.
Signo: U es negativa si x < 50, vale 0 en x = 50 y es positiva si x > 50.
Crecimiento e inyectividad: como la pendiente es positiva, si x₁ < x₂, entonces U(x₁) < U(x₂): la función es creciente e inyectiva.
Extremos y ámbito: el mínimo es U(0) = −₡45 000 y el máximo, U(120) = 108 000 − 45 000 = ₡63 000. El ámbito está formado por los valores de −45 000 a 63 000 que van de 900 en 900.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (2, 5) y (6, −3)?#

Primero la pendiente: m = (−3 − 5)/(6 − 2) = −8/4 = −2. Luego se usa el punto (2, 5) en y = −2x + b: 5 = −4 + b, de donde b = 9. La ecuación es y = −2x + 9. Comprobación con el otro punto: −2 · 6 + 9 = −3. Como la pendiente es negativa, la función es decreciente.

¿Dónde corta los ejes la recta y = 4x − 10?#

Con x = 0 se obtiene y = −10: corta el eje de las ordenadas en (0, −10). Con y = 0 se resuelve 4x − 10 = 0, que da x = 10/4 = 5/2: corta el eje de las abscisas en (5/2, 0). El cero de la función es 5/2, que coincide con −b/m = −(−10)/4.

¿Cuál es la ecuación de la recta paralela a y = −x + 8 que pasa por (3, 1)?#

Una recta paralela tiene la misma pendiente, −1, así que su ecuación es y = −x + b. Como pasa por (3, 1): 1 = −3 + b, de donde b = 4. La ecuación es y = −x + 4. Las dos rectas tienen pendiente −1 e intersecciones distintas con el eje y (8 y 4), así que nunca se cortan.

¿Es inyectiva la función constante f(x) = 7?#

No. Todos los números tienen la misma imagen: por ejemplo, f(1) = 7 y f(2) = 7, aunque 1 ≠ 2. Su gráfica es la recta horizontal y = 7, de pendiente 0. Según la definición del programa del MEP, esta función es creciente y decreciente a la vez, y su ámbito tiene un solo elemento: {7}.

¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a y = 4x + 1 que pasa por el origen?#

La pendiente perpendicular a 4 es el opuesto de su inverso, −1/4, porque 4 · (−1/4) = −1. Como la recta pasa por el origen, corta el eje y en 0, y su ecuación es y = −x/4. Por ejemplo, contiene el punto (4, −1), porque −4/4 = −1.