Rectas paralelas y perpendiculares; la tangente y el radio

Las calles de un cuadrante, los rieles de un tren o las líneas de una cancha de fútbol son ejemplos de rectas paralelas y perpendiculares. En el plano cartesiano esas posiciones se reconocen sin dibujar, solo con la pendiente de cada recta.

En esta lección vas a analizar geométrica y algebraicamente cuándo dos rectas son paralelas o perpendiculares, y vas a aplicar una propiedad muy útil de la circunferencia: la recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Repaso: la pendiente de una recta#

La pendiente m mide la inclinación de una recta: cuánto cambia y por cada unidad que aumenta x. Si la recta pasa por los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), con x₁ ≠ x₂:

Una recta horizontal, y = b, tiene pendiente 0. Una recta vertical, x = a, no tiene pendiente definida, porque x₂ − x₁ = 0; por eso se trata aparte.

Ejemplo. Halla la pendiente de la recta que pasa por (1, 2) y (4, 8), y la de la recta 3x − 2y = 6.

Solución. Para la primera, m = (8 − 2) ÷ (4 − 1) = 6 ÷ 3 = 2. Para la segunda se despeja y: −2y = −3x + 6, así que y = (3 ÷ 2)x − 3, con pendiente 3 ÷ 2. Con la fórmula se obtiene lo mismo: m = −A ÷ B = −3 ÷ (−2) = 3 ÷ 2.

Rectas paralelas#

Dos rectas no verticales con la misma pendiente tienen la misma inclinación: si sus intersecciones con el eje y son distintas, nunca se cortan; si son iguales, son la misma recta (rectas coincidentes). Por eso, dos rectas distintas y no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente. Dos rectas verticales distintas, como x = 1 y x = 5, también son paralelas.

Ejemplo. Halla la ecuación de la recta que pasa por (2, −1) y es paralela a y = 3x + 5.

Solución. La recta buscada tiene pendiente 3, así que es de la forma y = 3x + b. Como pasa por (2, −1): −1 = 3 · 2 + b, de donde b = −7. La ecuación es y = 3x − 7. Las dos rectas tienen pendiente 3 e intersecciones distintas (5 y −7): son paralelas.

Ejemplo. ¿Son paralelas las rectas 2x − 4y + 1 = 0 y y = 0,5x + 3?

Solución. La pendiente de la primera es −A ÷ B = −2 ÷ (−4) = 0,5, igual que la de la segunda. Al despejar la primera queda y = 0,5x + 0,25, con intersección 0,25, distinta de 3. Tienen la misma pendiente y no son la misma recta: son paralelas.

Rectas perpendiculares#

Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es −1. Dicho de otra forma, si una recta tiene pendiente m, cualquier perpendicular a ella tiene pendiente −1 ÷ m, el opuesto del inverso.

¿Por qué el producto da −1? Una recta de pendiente m sube m unidades por cada unidad que avanza hacia la derecha. Si se gira 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj, ese «escalón» queda acostado: la recta girada avanza m unidades hacia la izquierda por cada unidad que sube. Su pendiente es 1 ÷ (−m) = −1 ÷ m, y el producto de las dos pendientes es m · (−1 ÷ m) = −1.

Ejemplo. Halla la recta que pasa por (4, 1) y es perpendicular a y = 2x − 3. ¿En qué punto se cortan?

Solución. La pendiente perpendicular es −1 ÷ 2 = −0,5. La recta es y = −0,5x + b y, como pasa por (4, 1): 1 = −0,5 · 4 + b, de donde b = 3. La ecuación es y = −0,5x + 3. Para el punto de corte se igualan las dos: 2x − 3 = −0,5x + 3, o sea, 2,5x = 6 y x = 2,4; entonces y = 2 · 2,4 − 3 = 1,8. Se cortan en el punto con x = 2,4 y y = 1,8.

Ejemplo. Desde la plaza de un pueblo salen dos calles rectas que forman un ángulo recto. Con la plaza en el origen, el eje x hacia el este y el eje y hacia el norte, la iglesia está sobre una de las calles, 45 m al este y 30 m al norte de la plaza. La escuela está sobre la otra calle, 20 m al oeste de la plaza. ¿Cuántos metros al norte de la plaza está la escuela? (Datos inventados.)

Solución. La calle de la iglesia pasa por (0, 0) y (45, 30), con pendiente 30 ÷ 45 = 2 ÷ 3. La otra pasa por (0, 0) y (−20, y), con pendiente y ÷ (−20). Por ser perpendiculares, (2 ÷ 3) · (y ÷ (−20)) = −1, de donde y = 30: la escuela está 30 m al norte de la plaza. Se comprueba con el teorema de Pitágoras: el cuadrado de la distancia de la plaza a la iglesia es 45² + 30² = 2925, el de la plaza a la escuela es 20² + 30² = 1300, y entre la iglesia y la escuela, que están las dos 30 m al norte de la plaza, hay 45 + 20 = 65 m; como 2925 + 1300 = 4225 = 65², el ángulo en la plaza es recto.

Cómo clasificar dos rectas#

Con las pendientes y las intersecciones con el eje y se clasifica cualquier par de rectas no verticales:

Pendientes	Intersecciones con el eje y	Las rectas son…
iguales	iguales	coincidentes (la misma recta)
iguales	distintas	paralelas
con producto −1	cualesquiera	perpendiculares
distintas, con producto distinto de −1	cualesquiera	secantes, pero no perpendiculares

Ejemplo. Clasifica cada par de rectas: a) y = −4x + 1 y 8x + 2y − 6 = 0; b) 3x − 2y = 6 y 2x + 3y = 12; c) y = 2x y y = −2x + 1.

Solución. a) Al despejar la segunda queda y = −4x + 3: tiene la misma pendiente, −4, e intersecciones distintas (1 y 3), así que son paralelas. b) Las pendientes son 3 ÷ 2 y −2 ÷ 3, y su producto es −1: son perpendiculares. c) Las pendientes son 2 y −2, con producto −4: se cortan, pero no son perpendiculares.

La recta tangente es perpendicular al radio#

Una propiedad de la circunferencia une todo lo anterior: la recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hasta el punto de tangencia. La razón es esta: todos los puntos de la tangente, salvo el de tangencia, están fuera de la circunferencia, así que el punto de tangencia es el punto de la recta más cercano al centro. Y el segmento más corto desde un punto hasta una recta es el perpendicular.

En coordenadas, si el centro es C y el punto de tangencia es P, la pendiente de la tangente es −1 ÷ m, donde m es la pendiente del radio CP. Si el radio es horizontal, la tangente es vertical, y al revés. Lo mismo pasa con una rueda apoyada en una calle plana: el radio que va del eje al punto de contacto es perpendicular al suelo.

Ejemplo. Halla la recta tangente a la circunferencia (x − 1)² + (y − 2)² = 25 en el punto P(4, 6).

Solución. Primero se comprueba que P está en la circunferencia: (4 − 1)² + (6 − 2)² = 9 + 16 = 25. El radio va de C(1, 2) a P(4, 6), con pendiente (6 − 2) ÷ (4 − 1) = 4 ÷ 3. La tangente tiene pendiente −3 ÷ 4 y pasa por P: y − 6 = −(3 ÷ 4)(x − 4), o sea, y = −(3 ÷ 4)x + 9. Si se sustituye en la ecuación de la circunferencia y se simplifica, se llega a x² − 8x + 16 = 0, con discriminante 0: la recta toca la circunferencia solo en x = 4, como debe ser.

Ejemplo. Una circunferencia tiene centro (2, −1) y es tangente a la recta y = x + 1. Halla el punto de tangencia, el radio y la ecuación de la circunferencia.

Solución. El radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta, que tiene pendiente 1, así que está sobre la recta que pasa por el centro con pendiente −1: y + 1 = −(x − 2), o sea, y = −x + 1. El punto de tangencia es la intersección: x + 1 = −x + 1, de donde x = 0 y y = 1. El radio es la distancia de (2, −1) a (0, 1): √(2² + 2²) = √8 ≈ 2,83. La ecuación es (x − 2)² + (y + 1)² = 8.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por (−2, 5) y es paralela a y = −3x + 4?#

¿Son perpendiculares las rectas 5x − 2y = 8 y 4x + 10y = 3?#

¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x² + y² = 20 en el punto (2, 4)?#

¿Qué valor debe tener k para que la recta y = kx + 1 sea perpendicular a la recta que pasa por (1, 2) y (4, 8)?#

¿Por qué la recta y = x + 1 no es tangente a la circunferencia x² + y² = 25 en el punto (3, 4)?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)