La función cuadrática: vértice, raíces, gráfica y problemas

Q: ¿Cuál es el vértice de la parábola f(x) = x² + 8x + 12 y cuál es su ámbito?

La abscisa del vértice es −b/(2a) = −8/2 = −4, y f(−4) = 16 − 32 + 12 = −4, así que el vértice es (−4, −4). Como a = 1 > 0, ese es el valor mínimo y el ámbito es [−4, +∞[. Además, Δ = 64 − 48 = 16 > 0, de modo que la parábola corta el eje x en x = (−8 ± 4)/2, es decir, en −6 y en −2.

Q: ¿Cuántas veces corta el eje x la gráfica de f(x) = 3x² − 2x + 5?

Ninguna. El discriminante es Δ = (−2)2 − 4 · 3 · 5 = 4 − 60 = −56, que es negativo, así que la ecuación 3x2 − 2x + 5 = 0 no tiene soluciones reales. Como a = 3 > 0, la parábola abre hacia arriba y queda toda por encima del eje x: su vértice está en x = 2/6 = 1/3 y su valor mínimo es 14/3. La función es positiva para todo número real.

Q: ¿En qué intervalos crece y decrece f(x) = −x² + 4x + 1?

Como a = −1 < 0, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo. Su abscisa es −4/(2 · (−1)) = 2 y f(2) = −4 + 8 + 1 = 5. La función es creciente en ]−∞, 2] y decreciente en [2, +∞[; su valor máximo es 5 y su ámbito es ]−∞, 5]. En cada uno de esos dos intervalos es inyectiva: como f(x) = −(x − 2)2 + 5, dos números distintos del mismo lado del 2 están a distinta distancia del 2 y tienen imágenes distintas.

Q: ¿Cuál es el eje de simetría de y = 2x² − 12x + 7 y qué punto es simétrico de (0, 7)?

El eje de simetría es la recta x = −(−12)/(2 · 2) = 3. El punto (0, 7) está 3 unidades a la izquierda del eje, así que su simétrico está 3 unidades a la derecha, en x = 6, con la misma altura: (6, 7). Se comprueba al evaluar: 2 · 36 − 72 + 7 = 7.

Q: ¿Para qué valores de x se cumple x² − 5x + 4 > 0?

Primero se hallan los ceros de f(x) = x2 − 5x + 4: Δ = 25 − 16 = 9 y x = (5 ± 3)/2, o sea, x = 1 y x = 4. La parábola abre hacia arriba, así que está por encima del eje x fuera de los ceros. La solución es ]−∞, 1[ ∪ ]4, +∞[. Por ejemplo, con x = 0 se obtiene 4 > 0, y con x = 2 se obtiene −2, que no cumple.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 16 de 22

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 11 min de lectura

En noveno año conociste la función cuadrática y su gráfica, la parábola, y resolviste ecuaciones de segundo grado. En décimo año se trata de precisar sus propiedades. El programa del MEP sugiere un estudio sistemático que incluya las intersecciones con los ejes, el crecimiento, la concavidad, el signo, el vértice, el ámbito, el eje de simetría y los intervalos donde la función es inyectiva, y pide que esos elementos se vean en conjunto y no por separado.

En esta lección vas a reunir todo eso en un análisis paso a paso, a ver cómo influyen los coeficientes en la gráfica y a resolver problemas en los que la función cuadrática sirve de modelo.

Definición

Una función cuadrática es una función con criterio f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Si no se indica otra cosa, su dominio es ℝ. Su gráfica es una parábola, y el número Δ = b² − 4ac se llama discriminante.

Los elementos de la parábola#

Al completar el cuadrado, el criterio se puede escribir de esta forma, que muestra dónde está el vértice:

Fórmula

f(x) = a(x + b/(2a))² − Δ/(4a)

Donde Δ = b² − 4ac. El paréntesis vale 0 cuando x = −b/(2a), y ahí la función toma el valor −Δ/(4a).

Elemento	Cómo se obtiene
Concavidad	Si a > 0, cóncava hacia arriba; si a < 0, cóncava hacia abajo
Intersección con el eje y	El punto (0, c)
Intersecciones con el eje x	Si Δ > 0, dos: x = (−b ± √Δ)/(2a). Si Δ = 0, una. Si Δ < 0, ninguna
Vértice	V = (−b/(2a), −Δ/(4a)); la segunda coordenada también es f(−b/(2a))
Eje de simetría	La recta vertical x = −b/(2a)
Máximo o mínimo	Si a > 0, valor mínimo −Δ/(4a); si a < 0, valor máximo −Δ/(4a)
Ámbito	Si a > 0, [−Δ/(4a), +∞[; si a < 0, ]−∞, −Δ/(4a)]
Crecimiento	Si a > 0, decreciente en ]−∞, −b/(2a)] y creciente en [−b/(2a), +∞[; si a < 0, al revés
Intervalos máximos de inyectividad	]−∞, −b/(2a)] y [−b/(2a), +∞[

La parábola es simétrica respecto a su eje: dos puntos de la misma altura están a la misma distancia del eje, uno a cada lado. Por eso, si corta el eje x en dos puntos, la abscisa del vértice está justo en medio de ellos. Y por eso la función no es inyectiva en un intervalo que tenga puntos a los dos lados del eje: ahí hay pares de puntos simétricos con la misma imagen. A cada lado del eje, en cambio, sí es inyectiva. Con la forma f(x) = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice, se ve por qué: si x₁ < x₂ ≤ h, entonces (x₁ − h)² > (x₂ − h)², así que f(x₁) ≠ f(x₂); y lo mismo pasa si h ≤ x₁ < x₂.

Un análisis completo, paso a paso#

Ejemplo. Analiza la función f(x) = x² − 2x − 8.

Solución. Los coeficientes son a = 1, b = −2 y c = −8, y el discriminante es Δ = (−2)² − 4 · 1 · (−8) = 4 + 32 = 36. Como a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba. Corta el eje y en (0, −8). Como Δ > 0, corta el eje x en dos puntos: x = (2 ± 6)/2, o sea, x = 4 y x = −2. El eje de simetría es x = −(−2)/2 = 1 y el vértice es (1, f(1)) = (1, −9); se comprueba que −Δ/(4a) = −36/4 = −9. La abscisa del vértice está en medio de los ceros: (−2 + 4)/2 = 1.

Elemento	Resultado para f(x) = x² − 2x − 8
Concavidad	Hacia arriba (a = 1 > 0)
Intersecciones con los ejes	(0, −8), (−2, 0) y (4, 0)
Vértice y eje	V = (1, −9); eje x = 1
Mínimo y ámbito	Valor mínimo −9; ámbito [−9, +∞[
Crecimiento	Decreciente en ]−∞, 1]; creciente en [1, +∞[
Signo	Positiva en ]−∞, −2[ ∪ ]4, +∞[; negativa en ]−2, 4[
Inyectividad	Inyectiva en ]−∞, 1] y en [1, +∞[, pero no en ℝ

Con el signo se resuelven desigualdades cuadráticas: la solución de x² − 2x − 8 < 0 es el intervalo ]−2, 4[, donde la parábola está por debajo del eje x. La simetría ayuda a graficar: el punto (0, −8) tiene su simétrico en (2, −8), porque 0 y 2 están a una unidad del eje x = 1. Y al completar el cuadrado se obtiene f(x) = (x − 1)² − 9: la parábola es y = x² trasladada 1 unidad a la derecha y 9 hacia abajo.

Parábolas que abren hacia abajo o que no cortan el eje x#

Ejemplo. Analiza g(x) = −2x² + 8x − 6.

Solución. Aquí a = −2 < 0: la parábola es cóncava hacia abajo y el vértice es un máximo. Δ = 64 − 4 · (−2) · (−6) = 64 − 48 = 16, así que corta el eje x en x = (−8 ± 4)/(−4), es decir, en x = 1 y x = 3. El eje es x = −8/(−4) = 2 y el valor máximo es g(2) = −8 + 16 − 6 = 2, que coincide con −Δ/(4a) = −16/(−8) = 2. El ámbito es ]−∞, 2]. La función es creciente en ]−∞, 2] y decreciente en [2, +∞[; es positiva en ]1, 3[ y corta el eje y en (0, −6).

Ejemplo. ¿Corta el eje x la gráfica de h(x) = x² + 4x + 7?

Solución. Δ = 16 − 28 = −12 < 0: no corta el eje x, y la ecuación x² + 4x + 7 = 0 no tiene soluciones reales. El vértice está en x = −4/2 = −2, con h(−2) = 4 − 8 + 7 = 3. Como a > 0, el valor mínimo es 3 y el ámbito es [3, +∞[: la función es positiva para todo número real.

Si Δ = 0, la parábola toca el eje x en un solo punto, que es el vértice. Por ejemplo, x² − 6x + 9 = (x − 3)² tiene Δ = 36 − 36 = 0, y su vértice es (3, 0).

Cómo influyen a, b y c en la gráfica#

a decide la concavidad y la abertura. Si |a| > 1, la parábola es más cerrada que y = x²; si |a| < 1, más abierta. Es una homotecia de la parábola básica.
c es la ordenada del punto de corte con el eje y. Cambiar c traslada la parábola verticalmente.
b, junto con a, fija la abscisa del vértice, −b/(2a). Al cambiar b, el vértice se mueve en horizontal y también en vertical. Si b = 0, el vértice está sobre el eje y.

El programa recomienda observar estos cambios con un graficador y apoyarse en las traslaciones y homotecias del plano (ver traslación y homotecia). En la forma f(x) = a(x − h)² + k, el vértice es (h, k): la parábola y = ax² se traslada h unidades en horizontal y k en vertical.

Ejemplo. Una parábola tiene vértice (−1, 4) y pasa por el punto (1, −4). Halla su criterio.

Solución. Se escribe f(x) = a(x + 1)² + 4 y se usa el punto: −4 = a(1 + 1)² + 4 = 4a + 4, de donde a = −2. El criterio es f(x) = −2(x + 1)² + 4 = −2x² − 4x + 2. Comprobación: el eje es x = −(−4)/(2 · (−2)) = −1.

Problemas en contextos reales#

En los problemas, la función cuadrática aparece cuando se busca un valor máximo o mínimo, o cuando algo sube y luego baja. Antes de responder hay que fijar el dominio que tiene sentido en la situación.

Un objeto lanzado hacia arriba#

El programa del MEP propone el modelo h(t) = v₀t − (1/2)gt² para la altura de una bola lanzada hacia arriba con velocidad inicial v₀, con g = 9,8 m/s². La altura se mide desde el punto de lanzamiento y no se toma en cuenta la resistencia del aire. Ese valor de g es un redondeo del valor estándar de la aceleración de la gravedad que publica el NIST: 9,806 65 m/s².

Ejemplo. Se lanza una bola hacia arriba a 19,6 m/s (dato inventado). ¿Cuál es la altura máxima, cuándo la alcanza, cuándo vuelve al punto de partida y en qué momentos está a 14,7 m de altura?

Solución. Con g = 9,8, el modelo es h(t) = 19,6t − 4,9t², una parábola cóncava hacia abajo. El vértice está en t = −19,6/(2 · (−4,9)) = 2 s, y la altura máxima es h(2) = 39,2 − 19,6 = 19,6 m. La bola vuelve al punto de partida cuando h(t) = 0: 4,9t(4 − t) = 0, así que t = 0 o t = 4 s. El dominio con sentido es [0, 4]. Para la altura de 14,7 m se resuelve 19,6t − 4,9t² = 14,7; al pasar todo a un lado y dividir entre 4,9 queda t² − 4t + 3 = 0, con soluciones t = 1 y t = 3. La bola pasa por esa altura dos veces: al subir, al primer segundo, y al bajar, a los 3 segundos.

El precio que da el mayor ingreso#

Ejemplo. Una soda vende 200 casados al día a ₡3000 cada uno. Por cada aumento de ₡100 en el precio, vende 5 casados menos (datos inventados). ¿Qué precio le da el mayor ingreso?

Solución. Si se hacen n aumentos de ₡100, el precio es 3000 + 100n y se venden 200 − 5n casados. El ingreso es I(n) = (3000 + 100n)(200 − 5n) = −500n² + 5000n + 600 000. Es una parábola cóncava hacia abajo, con vértice en n = −5000/(2 · (−500)) = 5. El mejor precio es 3000 + 500 = ₡3500: se venden 175 casados y el ingreso es 3500 · 175 = ₡612 500, mayor que los ₡600 000 iniciales. El dominio con sentido son los enteros n de 0 a 40, porque con n = 40 ya no se vendería ningún casado.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el vértice de la parábola f(x) = x² + 8x + 12 y cuál es su ámbito?#

La abscisa del vértice es −b/(2a) = −8/2 = −4, y f(−4) = 16 − 32 + 12 = −4, así que el vértice es (−4, −4). Como a = 1 > 0, ese es el valor mínimo y el ámbito es [−4, +∞[. Además, Δ = 64 − 48 = 16 > 0, de modo que la parábola corta el eje x en x = (−8 ± 4)/2, es decir, en −6 y en −2.

¿Cuántas veces corta el eje x la gráfica de f(x) = 3x² − 2x + 5?#

Ninguna. El discriminante es Δ = (−2)² − 4 · 3 · 5 = 4 − 60 = −56, que es negativo, así que la ecuación 3x² − 2x + 5 = 0 no tiene soluciones reales. Como a = 3 > 0, la parábola abre hacia arriba y queda toda por encima del eje x: su vértice está en x = 2/6 = 1/3 y su valor mínimo es 14/3. La función es positiva para todo número real.

¿En qué intervalos crece y decrece f(x) = −x² + 4x + 1?#

Como a = −1 < 0, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un máximo. Su abscisa es −4/(2 · (−1)) = 2 y f(2) = −4 + 8 + 1 = 5. La función es creciente en ]−∞, 2] y decreciente en [2, +∞[; su valor máximo es 5 y su ámbito es ]−∞, 5]. En cada uno de esos dos intervalos es inyectiva: como f(x) = −(x − 2)² + 5, dos números distintos del mismo lado del 2 están a distinta distancia del 2 y tienen imágenes distintas.

¿Cuál es el eje de simetría de y = 2x² − 12x + 7 y qué punto es simétrico de (0, 7)?#

El eje de simetría es la recta x = −(−12)/(2 · 2) = 3. El punto (0, 7) está 3 unidades a la izquierda del eje, así que su simétrico está 3 unidades a la derecha, en x = 6, con la misma altura: (6, 7). Se comprueba al evaluar: 2 · 36 − 72 + 7 = 7.

¿Para qué valores de x se cumple x² − 5x + 4 > 0?#

Primero se hallan los ceros de f(x) = x² − 5x + 4: Δ = 25 − 16 = 9 y x = (5 ± 3)/2, o sea, x = 1 y x = 4. La parábola abre hacia arriba, así que está por encima del eje x fuera de los ceros. La solución es ]−∞, 1[ ∪ ]4, +∞[. Por ejemplo, con x = 0 se obtiene 4 > 0, y con x = 2 se obtiene −2, que no cumple.