Operaciones entre eventos: unión, intersección y complemento

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 21 de 22

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 10 min de lectura

Al lanzar un dado, sacar un boleto de una rifa o escoger a un estudiante al azar, muchas veces interesa más de una condición a la vez: que el número sea par y además mayor que 3, o que el estudiante viaje en bus o sea de cierta sección. Para describir estas combinaciones, el programa del MEP de décimo año usa tres operaciones entre eventos: la unión, la intersección y el complemento.

En esta lección vas a repasar qué son el espacio muestral, los puntos muestrales y los eventos; a formar eventos nuevos con estas operaciones; a representarlos con diagramas de Venn y a reconocer eventos mutuamente excluyentes. Es la base de las reglas de probabilidad que vienen después. Los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Definición

Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral S, la unión A ∪ B es el evento formado por los puntos muestrales que están en A, en B o en ambos; la intersección A ∩ B es el evento formado por los puntos muestrales que están a la vez en A y en B, y el complemento de A, que se escribe A^c, es el evento formado por los puntos muestrales de S que no están en A.

Repaso: espacio muestral, puntos muestrales y eventos#

Un experimento aleatorio es una situación cuyo resultado no se puede predecir con certeza, como lanzar un dado. Cada resultado simple es un punto muestral, y el conjunto de todos ellos es el espacio muestral, que se representa con S. Un evento (o suceso) es una agrupación de puntos muestrales: los resultados a favor de cierta condición.

Ejemplo. Se lanza un dado y se anota el número de la cara superior. Escribe el espacio muestral y los eventos A: «sale un número par» y B: «sale un número mayor que 3».

Solución. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, con 6 puntos muestrales. A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6}. Los dos son eventos compuestos, porque tienen más de un punto muestral; un evento con un solo punto muestral, como «sale 5», es un evento simple.

Hay dos eventos especiales: el evento seguro, que contiene todos los puntos muestrales (es S), y el evento imposible, que no contiene ninguno y se representa con ∅ o con { }.

Unión, intersección y complemento#

Con los eventos A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6} del dado:

Operación	Se lee	Significa	Resultado
A ∪ B	A unión B	Ocurre A o B (o ambos): sale par o mayor que 3	{2, 4, 5, 6}
A ∩ B	A intersección B	Ocurren A y B a la vez: sale par y mayor que 3	{4, 6}
A^c	Complemento de A	No ocurre A: no sale par	{1, 3, 5}
B^c	Complemento de B	No ocurre B: sale 3 o menos	{1, 2, 3}

En el lenguaje cotidiano, la unión corresponde a la palabra «o», en sentido incluyente (uno, otro o los dos); la intersección, a la palabra «y», y el complemento, a la palabra «no». Al escribir la unión, los puntos que están en los dos eventos, como el 4 y el 6, se anotan una sola vez.

En el ejemplo se ven algunas propiedades: A ∩ B está contenido en A y en B; A y B están contenidos en A ∪ B; A ∪ A^c = S, porque cada resultado es par o no lo es, y A ∩ A^c = ∅, porque ningún resultado es par e impar a la vez.

Ejemplo. Con el mismo dado, ¿qué evento es A^c ∩ B y qué significa?

Solución. A^c = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6}; el único punto que está en los dos es el 5. Entonces A^c ∩ B = {5}: sale un número que no es par y que es mayor que 3. Es un evento simple, porque tiene un solo punto muestral.

Diagramas de Venn#

Un diagrama de Venn representa el espacio muestral con un rectángulo y cada evento con una figura cerrada, casi siempre un círculo, dibujada dentro de él. Cuando dos eventos tienen puntos en común, los círculos se traslapan y el rectángulo queda dividido en cuatro regiones:

Dentro de A pero fuera de B: es A ∩ B^c, «solo A».
En la parte común de los dos círculos: es A ∩ B.
Dentro de B pero fuera de A: es A^c ∩ B, «solo B».
Fuera de los dos círculos, pero dentro del rectángulo: es (A ∪ B)^c, «ni A ni B».

Al sombrear regiones se ve cada operación: A ∪ B son las tres regiones que quedan dentro de los círculos; A ∩ B, solo la parte común, y A^c, todo lo que queda fuera del círculo de A. El programa del MEP destaca que estos diagramas simplifican el análisis, porque permiten ver con facilidad los puntos muestrales a favor de cada evento y reducen la dependencia de las fórmulas.

Ejemplo. En una rifa escolar hay 20 boletos numerados del 1 al 20, y se saca uno al azar. Sean A: «el número es múltiplo de 3» y B: «el número es mayor que 12». Ubica los 20 números en un diagrama de Venn.

Solución. A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} y B = {13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. En la parte común van el 15 y el 18. Solo en A quedan 3, 6, 9 y 12; solo en B, 13, 14, 16, 17, 19 y 20, y fuera de los dos círculos, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10 y 11. Las cuatro regiones suman 4 + 2 + 6 + 8 = 20 puntos, todo el espacio muestral. A ∪ B tiene 4 + 2 + 6 = 12 números, y A^c, 20 − 6 = 14.

Eventos mutuamente excluyentes#

Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, cuando no tienen puntos muestrales en común: A ∩ B = ∅. Su intersección es el evento imposible. En un diagrama de Venn se dibujan como círculos separados.

Al lanzar un dado, C: «sale 1» y D: «sale un número mayor que 4» = {5, 6} son mutuamente excluyentes: C ∩ D = ∅.
En el mismo dado, A: «sale par» y E: «sale múltiplo de 3» = {3, 6} no lo son, porque comparten el 6.
Un evento y su complemento siempre son mutuamente excluyentes y, además, juntos forman S. Pero dos eventos mutuamente excluyentes no siempre son complementarios: C y D no incluyen el 2, el 3 ni el 4.

Con más de dos eventos se dice que son mutuamente excluyentes dos a dos cuando ningún par de ellos tiene puntos en común. Por ejemplo, en el dado lo son {1, 2}, {3, 4} y {5, 6}.

Ejemplo. En la rifa de 20 boletos, ¿son mutuamente excluyentes los eventos B: «el número es mayor que 12» y F: «el número es menor que 10»?

Solución. Sí. B = {13, 14, …, 20} y F = {1, 2, …, 9} no tienen ningún número en común: un boleto no puede ser a la vez mayor que 12 y menor que 10, así que B ∩ F = ∅. Pero no son complementarios, porque los boletos 10, 11 y 12 no están en ninguno de los dos.

Un problema con datos: el club de ciencias#

Ejemplo. Un club de ciencias tiene 40 integrantes. De ellos, 22 participan en la feria científica, 15 en las olimpiadas de Matemática y 6 en ambas actividades. Se escoge al azar a un integrante; sean F: «participa en la feria» y O: «participa en las olimpiadas». ¿Cuántos integrantes hay en cada región del diagrama de Venn?

Solución. Se empieza por la intersección: F ∩ O tiene 6 integrantes. Solo en la feria quedan 22 − 6 = 16, y solo en las olimpiadas, 15 − 6 = 9. Dentro de los círculos hay 16 + 6 + 9 = 31 personas, así que fuera quedan 40 − 31 = 9, que no participan en ninguna de las dos actividades.

Evento	Descripción	Integrantes
F ∪ O	Participa en la feria o en las olimpiadas	31
F ∩ O	Participa en las dos	6
F^c	No participa en la feria	18
F^c ∩ O	Participa solo en las olimpiadas	9
(F ∪ O)^c	No participa en ninguna	9

Un error frecuente es calcular la unión como 22 + 15 = 37. Así, las 6 personas que hacen las dos cosas se cuentan dos veces: por eso se empieza por la intersección. Esta misma idea lleva a la regla de la probabilidad de la unión.

Eventos en un cuadro de doble entrada#

Los eventos también se leen en cuadros. En un colegio se clasificó a 60 estudiantes de décimo según su sección y su forma de viajar:

Sección	En bus	De otra forma	Total
10-1	18	12	30
10-2	14	16	30
Total	32	28	60

Ejemplo. Se escoge a uno de estos estudiantes al azar. Sean A: «es de la 10-1» y B: «viaja en bus». ¿Cuántos estudiantes incluyen A ∩ B, A ∪ B y (A ∪ B)^c?

Solución. A ∩ B es la casilla de la 10-1 que viaja en bus: 18 estudiantes. A ∪ B reúne a toda la 10-1 y a quienes viajan en bus: 30 + 32 − 18 = 44, lo mismo que sumar las casillas 18 + 12 + 14. (A ∪ B)^c son quienes no son de la 10-1 ni viajan en bus: los 16 de la 10-2 que viajan de otra forma. Se comprueba que 44 + 16 = 60. Los eventos «es de la 10-1» y «es de la 10-2» son mutuamente excluyentes y, además, complementarios.

Ponte a prueba#

¿Cuáles son la unión y la intersección de A y B si se lanza una moneda tres veces, A es «salen al menos dos escudos» y B es «el primer lanzamiento es corona»?#

Con E para escudo y C para corona, S tiene 8 puntos muestrales. A = {EEE, EEC, ECE, CEE} y B = {CEE, CEC, CCE, CCC}. El único punto común es CEE, así que A ∩ B = {CEE}. La unión reúne los puntos de ambos sin repetir: A ∪ B = {EEE, EEC, ECE, CEE, CEC, CCE, CCC}, 7 puntos. Solo ECC queda fuera de los dos eventos.

¿Son mutuamente excluyentes los eventos «sale un número primo» y «sale un número par» al lanzar un dado?#

No. Los números primos del dado son 2, 3 y 5, y los pares, 2, 4 y 6. Los dos eventos comparten el 2, así que su intersección es {2} y no el evento imposible. Pueden ocurrir al mismo tiempo: basta con que salga un 2.

¿Cuántos números tienen la intersección, la unión y el complemento de la unión si se saca un boleto del 1 al 30, A es «el número es par» y B es «el número es múltiplo de 5»?#

A tiene 15 números pares y B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} tiene 6. La intersección son los pares múltiplos de 5: {10, 20, 30}, 3 números. La unión tiene 15 + 6 − 3 = 18 números, porque los 3 comunes no se cuentan dos veces. El complemento de la unión, los que no son pares ni múltiplos de 5, tiene 30 − 18 = 12.

¿Qué región del diagrama de Venn representa la intersección de A con el complemento de B, y cómo se dice en palabras?#

Es la parte del círculo de A que queda fuera del círculo de B. En palabras, es el evento «ocurre A, pero no ocurre B», o sea, «solo A». Por ejemplo, en la rifa de la lección, con A: «múltiplo de 3» y B: «mayor que 12», esa región es {3, 6, 9, 12}.

¿Cuántas personas no toman ni café ni té si de 50 personas, 28 toman café, 20 toman té y 10 toman las dos bebidas?#

Se empieza por la intersección: 10 personas toman las dos. Solo café toman 28 − 10 = 18, y solo té, 20 − 10 = 10. Dentro de los círculos del diagrama de Venn hay 18 + 10 + 10 = 38 personas. Fuera quedan 50 − 38 = 12, que no toman ninguna de las dos bebidas.