La circunferencia en el plano cartesiano: ecuación y traslaciones

En noveno año aprendiste a calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano. En décimo año esa fórmula sirve para algo más: describir con una sola ecuación todos los puntos de una circunferencia. Con esa ecuación se puede dibujar la circunferencia, saber dónde está su centro y cuánto mide su radio, moverla a otro lugar del plano y resolver problemas, como ubicar el epicentro de un sismo a partir de las estaciones que lo registran.

De la distancia entre dos puntos a la ecuación de la circunferencia#

Sea C(h, k) el centro y r el radio. Un punto P(x, y) está en la circunferencia si y solo si la distancia de P a C es igual a r. Con la fórmula de la distancia entre dos puntos, eso se escribe √((x − h)² + (y − k)²) = r. Como ninguno de los dos lados es negativo, se pueden elevar al cuadrado sin perder ni ganar puntos:

Atención con los signos: en la ecuación aparecen x − h y y − k. Por eso un paréntesis como (x + 4) corresponde a h = −4, porque x + 4 = x − (−4). Y el número de la derecha no es el radio, sino el radio al cuadrado.

Ejemplo. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (3, −2) y radio 5, y comprueba si el punto (6, 2) está en ella.

Solución. Con h = 3, k = −2 y r = 5: (x − 3)² + (y − (−2))² = 5², es decir, (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Para el punto (6, 2): (6 − 3)² + (2 + 2)² = 9 + 16 = 25. Como da exactamente 25, el punto (6, 2) está en la circunferencia: su distancia al centro es 5.

Ejemplo. Halla el centro y el radio de la circunferencia (x + 1)² + (y − 4)² = 7.

Solución. Se escribe como (x − (−1))² + (y − 4)² = (√7)². El centro es (−1, 4) y el radio es √7 ≈ 2,65. Un error frecuente es responder que el radio es 7: el 7 es el radio al cuadrado.

Cómo se representa gráficamente una circunferencia#

Para dibujarla a partir del centro y el radio basta con estos pasos:

1. Ubica el centro (h, k) en el plano cartesiano.
2. Desde el centro, cuenta r unidades hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba y hacia abajo. Obtienes cuatro puntos de la circunferencia: (h + r, k), (h − r, k), (h, k + r) y (h, k − r).
3. Abre el compás a la medida del radio, apoya la punta en el centro y traza la curva que pasa por esos cuatro puntos. Si no tienes compás, ubica más puntos y únelos con una curva suave.

Ejemplo. Representa la circunferencia de centro (−1, 2) y radio 3, y escribe su ecuación.

Solución. Los cuatro puntos guía son (−1 + 3, 2) = (2, 2), (−1 − 3, 2) = (−4, 2), (−1, 2 + 3) = (−1, 5) y (−1, 2 − 3) = (−1, −1). Se traza la curva con centro en (−1, 2) que pasa por ellos. La ecuación es (x + 1)² + (y − 2)² = 9. Se comprueba con cualquiera de los puntos; por ejemplo, con (2, 2): (2 + 1)² + (2 − 2)² = 9 + 0 = 9.

Para ubicar más puntos sirven los tríos pitagóricos: como 3² + 4² = 5², en una circunferencia de radio 5 también están los puntos que quedan 3 unidades en horizontal y 4 en vertical desde el centro, o 4 y 3. Con centro en el origen, por ejemplo, (3, 4), (4, 3), (−3, 4) y (3, −4).

La forma general y cómo completar cuadrados#

Si se desarrollan los cuadrados de la ecuación canónica y se pasa todo a un lado, se obtiene otra forma de la ecuación. Por ejemplo, (x − 3)² + (y + 2)² = 25 se desarrolla así: x² − 6x + 9 + y² + 4y + 4 = 25, y queda x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0.

Para hallar el centro y el radio a partir de la forma general se hace el camino inverso: se agrupan los términos en x y los términos en y, y se completan cuadrados. Para completar el cuadrado de x² + bx se suma (b ÷ 2)², porque x² + bx + (b ÷ 2)² = (x + b ÷ 2)². Lo que se suma a un lado de la igualdad se suma también al otro.

Ejemplo. Halla el centro y el radio de x² + y² + 8x − 10y + 32 = 0.

Solución. Se agrupa y se pasa el término independiente: (x² + 8x) + (y² − 10y) = −32. La mitad de 8 es 4 y 4² = 16; la mitad de −10 es −5 y (−5)² = 25. Se suman 16 y 25 a los dos lados: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = −32 + 16 + 25, es decir, (x + 4)² + (y − 5)² = 9. El centro es (−4, 5) y el radio es √9 = 3.

No toda ecuación con esa forma es una circunferencia. Si al completar cuadrados el número de la derecha da 0, la ecuación solo la cumple un punto, el centro; si da negativo, no la cumple ningún punto, porque una suma de cuadrados nunca es negativa.

Ejemplo. ¿Representa x² + y² − 2x + 4y + 10 = 0 una circunferencia?

Solución. Se completan cuadrados: (x² − 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = −10 + 1 + 4, o sea, (x − 1)² + (y + 2)² = −5. Como el lado izquierdo nunca es negativo, ningún punto del plano cumple la ecuación: no es una circunferencia.

Traslaciones de una circunferencia#

Una traslación mueve todos los puntos de una figura la misma distancia y en la misma dirección. Si una circunferencia se traslada a unidades en horizontal y b unidades en vertical, su centro (h, k) pasa a (h + a, k + b) y su radio no cambia, porque la traslación conserva las distancias.

Ejemplo. Traslada la circunferencia x² + y² = 16 cinco unidades a la derecha y dos hacia abajo.

Solución. El centro (0, 0) pasa a (0 + 5, 0 − 2) = (5, −2) y el radio sigue siendo √16 = 4. La nueva ecuación es (x − 5)² + (y + 2)² = 16.

Ejemplo. ¿Qué traslación lleva la circunferencia (x − 1)² + (y + 3)² = 4 a la circunferencia (x + 2)² + (y − 1)² = 4? ¿Adónde va a dar el punto (3, −3)?

Solución. Los centros son (1, −3) y (−2, 1). Para pasar del primero al segundo, la x cambia de 1 a −2 (3 unidades a la izquierda) y la y cambia de −3 a 1 (4 unidades hacia arriba). El punto (3, −3) está en la primera circunferencia, porque (3 − 1)² + (−3 + 3)² = 4, y se traslada a (3 − 3, −3 + 4) = (0, 1), que está en la segunda: (0 + 2)² + (1 − 1)² = 4.

Una traslación nunca cambia el radio. Por eso (x − 1)² + (y + 3)² = 4 no se puede trasladar a una circunferencia de radio 3: para cambiar el tamaño hace falta otra transformación, como una homotecia.

Problemas con la circunferencia y sus representaciones#

Ejemplo. Los extremos de un diámetro son A(−2, 1) y B(6, 7). Escribe la ecuación de la circunferencia.

Solución. El centro es el punto medio de AB: ((−2 + 6) ÷ 2, (1 + 7) ÷ 2) = (2, 4). El diámetro mide √((6 + 2)² + (7 − 1)²) = √(64 + 36) = √100 = 10, así que el radio es 10 ÷ 2 = 5. La ecuación es (x − 2)² + (y − 4)² = 25.

El programa del MEP propone un problema con un sismo. En ese modelo, las estaciones que registran la onda con la misma intensidad están a la misma distancia del epicentro, es decir, sobre una misma circunferencia. Los datos que siguen son inventados.

Ejemplo. Se toma como origen una estación central, con el eje x hacia el este y el eje y hacia el norte, en kilómetros. Tres estaciones registran la misma intensidad: A(7, 15), B(15, 3) y C(−3, −9). ¿Dónde está el epicentro, cuál fue el radio de alcance y qué ecuación lo describe?

Solución. El epicentro E(h, k) está a la misma distancia de las tres estaciones. De EA = EB, al igualar los cuadrados de las distancias y simplificar, se obtiene 16h − 24k + 40 = 0, o sea, 2h − 3k = −5. De EB = EC se obtiene −36h − 24k + 144 = 0, o sea, 3h + 2k = 12. Al resolver el sistema, h = 2 y k = 3: el epicentro está 2 km al este y 3 km al norte de la estación central. El radio es la distancia a cualquiera de las estaciones: √((7 − 2)² + (15 − 3)²) = √(25 + 144) = √169 = 13 km. La ecuación es (x − 2)² + (y − 3)² = 169.

Con la ecuación se puede decidir qué lugares quedan dentro del alcance. Para un pueblo en (−6, 0), (−6 − 2)² + (0 − 3)² = 73, menos que 169: está dentro del círculo y, según el modelo, la onda lo alcanzó. Para otro en (10, −8), 64 + 121 = 185, más que 169: queda fuera.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (−2, 5) y radio 4?#

¿Cuáles son el centro y el radio de la circunferencia x² + y² − 10x + 6y + 25 = 0?#

¿Qué ecuación tiene la circunferencia x² + y² = 9 después de trasladarla 4 unidades a la izquierda y 6 hacia arriba?#

¿Cuál es la ecuación de la circunferencia con centro en (3, 1) que pasa por el punto (−3, 9)?#

¿Representa la ecuación x² + y² + 4x − 2y + 9 = 0 una circunferencia?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)