Problemas con transformaciones en el plano y geometría dinámica

Saber calcular la imagen de un punto es el primer paso; el siguiente es usar las transformaciones para resolver problemas: encontrar el centro de una homotecia, el eje de una reflexión o la transformación que lleva una figura a otra. En esta lección vas a resolver problemas de ese tipo, a explorar las propiedades de las traslaciones, las homotecias y las reflexiones con un programa de geometría dinámica y a plantear tus propios ejercicios.

El programa de Matemáticas del MEP recomienda tratar los problemas iniciales de este tema con software de geometría dinámica, y aclara que no hace falta un laboratorio de cómputo: basta una computadora y un proyector para toda la clase.

Un método para resolver problemas de transformaciones#

1. Identifica la transformación o las transformaciones y sus datos: el vector de una traslación, el eje de una reflexión, el centro y el ángulo de una rotación, el centro y la razón de una homotecia.
2. Si hay varias, anota el orden en que se aplican.
3. Calcula las imágenes de los puntos clave, por ejemplo los vértices, con las reglas de coordenadas.
4. Comprueba con un invariante: longitudes iguales en las isometrías, razón |k| en las homotecias, el eje como mediatriz en las reflexiones, el centro equidistante en las rotaciones.
5. Responde la pregunta y, si puedes, verifica con un dibujo o con geometría dinámica.

Problemas resueltos#

Ejemplo. Encontrar una homotecia. Los puntos A(2, 3) y B(4, 3) tienen como imágenes A′(4, 7) y B′(10, 7) mediante una homotecia. Halla su razón y su centro.

Solución. Como A′B′ = 6 y AB = 2, |k| = 6 ÷ 2 = 3. Los segmentos AB y A′B′ tienen el mismo sentido (los dos van hacia la derecha), así que k = 3. Si el centro es C, entonces A′ = C + 3(A − C), de donde C = (3A − A′) ÷ 2 = ((6 − 4) ÷ 2, (9 − 7) ÷ 2) = (1, 1). Se comprueba con B: (1 + 3 · 3, 1 + 3 · 2) = (10, 7). El centro también se halla de forma gráfica: es el punto donde se cortan las rectas AA′ y BB′.

Ejemplo. Encontrar un eje de reflexión. Una reflexión lleva A(1, 5) a A′(5, 1) y B(0, 2) a B′(2, 0). ¿Cuál es el eje?

Solución. El eje es la mediatriz de AA′. Su punto medio es (3, 3) y la pendiente de AA′ es (1 − 5) ÷ (5 − 1) = −1, así que la mediatriz tiene pendiente 1 y pasa por (3, 3): es la recta y = x. Con B y B′ se comprueba: su punto medio, (1, 1), está sobre y = x, y la pendiente de BB′ también es −1.

Ejemplo. Dos reflexiones con ejes paralelos. Se refleja un punto P(x, y) respecto a la recta x = 1 y luego respecto a la recta x = 4. ¿Qué transformación única equivale a las dos?

Solución. Con x = 1, la abscisa pasa a 2 − x; con x = 4, esa abscisa pasa a 8 − (2 − x) = x + 6. La ordenada no cambia. Las dos reflexiones equivalen a la traslación (x + 6, y): un desplazamiento del doble de la distancia entre los ejes (2 · 3 = 6), perpendicular a ellos. Por ejemplo, (2, 5) → (0, 5) → (8, 5).

Ejemplo. Una ampliación con centro conocido. Un logotipo cuadrado tiene vértices (1, 1), (3, 1), (3, 3) y (1, 3), en centímetros. Se quiere ampliar para que su área sea nueve veces mayor, sin invertirlo y sin mover la esquina (1, 1). ¿Qué homotecia hay que aplicar y dónde quedan los vértices?

Solución. Si el área se multiplica por 9 = k², entonces |k| = 3, y como no debe invertirse, k = 3. Para que (1, 1) no se mueva, ese punto debe ser el centro. Con H(x, y) = (1 + 3(x − 1), 1 + 3(y − 1)): (1, 1) → (1, 1), (3, 1) → (7, 1), (3, 3) → (7, 7) y (1, 3) → (1, 7). El lado pasa de 2 cm a 6 cm y el área, de 4 cm² a 36 cm².

Explorar las transformaciones con geometría dinámica#

Estas actividades se pueden hacer en GeoGebra o en cualquier otro programa de geometría dinámica. Los nombres de las herramientas cambian de un programa a otro, pero en todos se pueden construir puntos, polígonos, rectas, vectores y deslizadores (controles para variar un número), y aplicar a una figura una traslación, una reflexión, una rotación o una homotecia.

Actividad 1: la traslación#

1. Construye un triángulo ABC y un vector v.
2. Traslada el triángulo según v y une cada vértice con su imagen.
3. Arrastra los vértices y el extremo del vector. Observa que los segmentos AA′, BB′ y CC′ siguen siendo paralelos a v, del mismo sentido y de la misma longitud, y que el triángulo imagen sigue siendo congruente con el original.

Actividad 2: la reflexión#

1. Construye un polígono y una recta l, y refleja el polígono respecto a l.
2. Mide la distancia de un vértice a l y la de su imagen a l: son iguales.
3. Arrastra un vértice hasta ponerlo sobre l: su imagen se junta con él. Gira la recta: el segmento que une cada vértice con su imagen sigue siendo perpendicular a l y queda cortado por la mitad.

Actividad 3: la homotecia#

1. Construye un polígono, un punto O y un deslizador k que vaya, por ejemplo, de −3 a 3 (con k = 0 no hay homotecia: sáltalo).
2. Aplica al polígono la homotecia de centro O y razón k, y traza las rectas que unen cada vértice con su imagen.
3. Mueve el deslizador y anota en una tabla el valor de k, la razón entre un lado de la imagen y su homólogo, y la razón entre las áreas. Deberías obtener |k| y k², y ver que todas las rectas pasan por O. Con k = 1 la imagen coincide con la figura, y con k negativo queda del otro lado de O.

Lo que se descubre en la pantalla es una conjetura; para estar seguro hay que justificarla. Por ejemplo, con coordenadas: si H(x, y) = (kx, ky), la distancia entre las imágenes de A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) es √(k²(x₂ − x₁)² + k²(y₂ − y₁)²) = |k| · AB.

Plantear problemas: el camino inverso#

Una buena forma de dominar el tema es crear tus propios ejercicios. En lugar de aplicar una transformación dada, se parte de una figura y de su imagen, y se busca qué transformaciones las relacionan. Casi siempre hay más de una respuesta correcta.

Ejemplo. El cuadrado de vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2) y (0, 2) se transforma en el cuadrado de vértices (4, 0), (8, 0), (8, 4) y (4, 4). Plantea un ejercicio que tenga esa imagen como solución.

Solución. Como el lado pasa de 2 a 4, debe intervenir una homotecia de razón 2. Una posibilidad: «Aplica al cuadrado una homotecia de centro (0, 0) y razón 2 y, después, la traslación (x + 4, y)». Se comprueba con un vértice: (2, 2) → (4, 4) → (8, 4). Otra posibilidad, con una sola transformación: «Aplica al cuadrado una homotecia de centro (−4, 0) y razón 2»; por ejemplo, (2, 2) → (−4 + 2 · 6, 0 + 2 · 2) = (8, 4). Los dos enunciados son correctos.

Un buen enunciado da todos los datos necesarios (centro, razón, eje, vector, ángulo y sentido del giro), indica el orden de las transformaciones y pide algo que se pueda verificar, como las coordenadas de los vértices finales o la comparación de las áreas.

Errores frecuentes#

• Confundir las reglas de los ejes: respecto al eje x cambia el signo de la ordenada, (x, −y), no el de la abscisa.
• Girar en sentido horario cuando se pide un ángulo positivo, que es antihorario.
• Aplicar la homotecia como si el centro fuera el origen cuando no lo es.
• Cambiar el orden de una composición: trasladar y luego ampliar no es lo mismo que ampliar y luego trasladar.
• Creer que una razón negativa reduce la figura: el signo indica de qué lado del centro queda la imagen, y el tamaño lo da |k|.

Ponte a prueba#

¿Qué transformación única equivale a reflejar un punto respecto a la recta x = 2 y luego respecto a la recta x = 7?#

¿Cuál es la razón y cuál el centro de la homotecia que lleva A(0, 2) a A′(3, −4) y B(2, 1) a B′(−1, −2)?#

¿Qué ángulo de rotación con centro en el origen lleva el punto (0, 5) al punto (−5, 0)?#

¿Qué deberías observar en un programa de geometría dinámica al arrastrar un vértice de un triángulo reflejado respecto a una recta?#

¿Qué razón debe tener una homotecia para que el área de una figura se reduzca a la cuarta parte sin invertirla?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)