Estimación de áreas y perímetros de figuras curvas en el plano

Un lago en un mapa, una hoja de árbol o el arco de un puente tienen bordes curvos. Para esas figuras no poligonales no existe una fórmula como «base por altura», pero sí se puede estimar su área y su perímetro: se cubren o se recorren con figuras cuya medida sí se sabe calcular, como cuadrados, rectángulos, trapecios y segmentos.

En esta lección vas a estimar áreas con cuadrículas, rectángulos y trapecios en el plano cartesiano, a estimar perímetros con líneas poligonales y a usar un programa de geometría dinámica para formular conjeturas, con la misma idea con la que Arquímedes acotó el valor de π.

Estimar un área contando cuadros#

La forma más sencilla es dibujar la figura sobre una cuadrícula, como la del plano cartesiano, y contar cuadros. Se cuentan dos cosas:

• Los cuadros que quedan completamente dentro de la figura. Su total es una estimación por defecto: el área real es mayor o igual.
• Los cuadros que tocan la figura, aunque sea en parte. Su total es una estimación por exceso: el área real es menor o igual.

El área queda entre esos dos números. Una buena estimación es su promedio, que equivale a contar los cuadros completos más la mitad de los cuadros del borde.

Ejemplo. En el plano cartesiano, con cuadros de 1 unidad de lado, se dibuja el círculo de centro (0, 0) y radio 4. Estima su área contando cuadros.

Solución. Por la simetría del círculo basta contar en el primer cuadrante y multiplicar por 4. En ese cuadrante hay 8 cuadros completamente dentro y 15 que tocan el círculo (7 de ellos son del borde). En todo el círculo hay 4 · 8 = 32 cuadros completos y 4 · 15 = 60 que lo tocan. El área está entre 32 y 60 unidades cuadradas, y la estimación es (32 + 60) ÷ 2 = 46 u². Como el círculo sí tiene fórmula, se puede comparar: π · 4² = 16π ≈ 50,27 u².

Con una cuadrícula más fina, los cuadros del borde ocupan menos área y la estimación mejora. Para el mismo círculo (cada cuadro de 0,5 de lado mide 0,25 u², y uno de 0,25, 0,0625 u²):

Lado de cada cuadro	Cuadros completos (área)	Cuadros que tocan (área)	Estimación
1	32 (32 u²)	60 (60 u²)	46 u²
0,5	164 (41 u²)	224 (56 u²)	48,5 u²
0,25	732 (45,75 u²)	856 (53,5 u²)	49,625 u²

Rectángulos y trapecios bajo una curva#

Cuando la figura está limitada por una curva y por un segmento del eje x, conviene partir la base en franjas del mismo ancho y aproximar cada franja con un rectángulo o con un trapecio. Toma como ejemplo el arco que forman la parábola y = (9 − x²)/2 y el eje x, entre x = −3 y x = 3. Sus alturas en los valores enteros de x son:

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y	0	2,5	4	4,5	4	2,5	0

Con rectángulos#

Si en cada franja de ancho 1 se usa la altura menor, los rectángulos quedan dentro del arco; si se usa la mayor, lo sobrepasan. La figura es simétrica respecto al eje y, así que basta calcular la mitad derecha y multiplicar por 2:

Franja	Rectángulo con la altura menor	Rectángulo con la altura mayor	Trapecio
de x = 0 a x = 1	4	4,5	4,25
de x = 1 a x = 2	2,5	4	3,25
de x = 2 a x = 3	0	2,5	1,25
Mitad derecha	6,5	11	8,75
Arco completo (× 2)	13	22	17,5

El área queda entre 13 y 22 u²: un margen grande, porque las franjas son anchas.

Con trapecios#

Una mejor aproximación se logra uniendo con un segmento los puntos de la curva en los dos lados de cada franja. Cada pieza es un trapecio rectángulo de ancho 1; en las orillas, donde la altura es 0, la pieza es un triángulo rectángulo. Su área es la semisuma de las dos alturas por el ancho:

Ejemplo. Estima el área bajo el arco y = (9 − x²)/2 con trapecios de ancho 1 y compárala con el valor exacto.

Solución. En la mitad derecha los trapecios miden 4,25 + 3,25 + 1,25 = 8,75, así que el arco mide aproximadamente 2 · 8,75 = 17,5 u². Con franjas de 0,5 de ancho, la misma cuenta da 17,875 u². Como la curva es una parábola, se conoce el valor exacto: el programa del MEP recuerda que Arquímedes demostró que el área de un segmento parabólico es 4/3 del área del triángulo inscrito, que aquí tiene base 6 y altura 4,5. Ese triángulo mide 6 · 4,5 ÷ 2 = 13,5 u², y el arco, 4/3 · 13,5 = 18 u². El error bajó de 0,5 a 0,125 al partir las franjas a la mitad.

Estimar un perímetro con una línea poligonal#

Para estimar la longitud de un borde curvo se marcan varios puntos sobre la curva y se unen con segmentos. La longitud de cada segmento se calcula con la fórmula de la distancia entre dos puntos, que sale del teorema de Pitágoras:

Ejemplo. Estima el perímetro del arco anterior, formado por la parábola y = (9 − x²)/2 y el segmento del eje x que va de −3 a 3.

Solución. En la mitad derecha se usan los puntos (0, 9/2), (1, 4), (2, 5/2) y (3, 0). Entre puntos seguidos, x avanza 1 y y baja 1/2, 3/2 y 5/2, así que los segmentos miden √(1 + 0,25) = √1,25, √(1 + 2,25) = √3,25 y √(1 + 6,25) = √7,25. Su suma es aproximadamente 5,613, de modo que la curva completa mide unas 11,23 unidades. Con la base de 6 unidades, el perímetro del arco es aproximadamente 17,23 unidades.

Una poligonal con sus vértices sobre la curva siempre se queda un poco corta, porque entre dos puntos el camino más corto es el segmento recto. Con puntos cada 0,5 unidades, la curva mide unas 11,29 unidades, y su longitud exacta, que se calcula con métodos que se estudian después del colegio, es de unas 11,31.

El círculo, los polígonos regulares y Arquímedes#

Una idea muy antigua para estimar el área de un círculo y la longitud de su circunferencia es encerrarlo entre dos polígonos regulares: uno inscrito, con los vértices sobre la circunferencia, y otro circunscrito, con los lados tangentes a ella. Según el archivo MacTutor de la Universidad de St Andrews, Arquímedes de Siracusa (287-212 antes de nuestra era) inscribió y circunscribió polígonos regulares de 96 lados a un círculo y concluyó que π está entre 3 10/71 y 3 1/7, es decir, entre 223/71 ≈ 3,1408 y 22/7 ≈ 3,1429. El programa del MEP las imprime como «310/71» y «31/7», sin separar el 3 de la fracción.

En un círculo de radio 1, el área exacta es π ≈ 3,1416 y la circunferencia mide 2π ≈ 6,2832. Con la fórmula del área del polígono regular (perímetro por apotema entre 2) se obtiene:

Lados	Área del polígono inscrito	Área del polígono circunscrito	Perímetro del polígono inscrito
6	2,598	3,464	6
12	3	3,215	6,212
24	3,106	3,160	6,265
96	3,139	3,143	6,282

Ejemplo. Estima el área de un círculo de radio 2 con el hexágono regular inscrito y compárala con el valor exacto.

Solución. El hexágono regular inscrito se forma con 6 triángulos equiláteros cuyo lado es el radio, 2. Cada triángulo mide (√3/4) · 2² = √3, así que el hexágono mide 6√3 ≈ 10,39 u². El área exacta del círculo es π · 2² = 4π ≈ 12,57 u². El hexágono deja fuera unas 2,17 u², cerca del 17 % del círculo; con más lados, la diferencia se achica.

Conjeturas con un programa de geometría dinámica#

Un programa de geometría dinámica repite estas aproximaciones en segundos y muestra qué pasa al cambiar los datos. Una actividad posible:

1. Dibuja una circunferencia de centro (0, 0) y radio 1.
2. Crea un deslizador n que tome valores enteros de 3 a 100 y construye el polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia.
3. Pide al programa el área y el perímetro del polígono y anótalos para varios valores de n.
4. Compara esos valores con π y con 2π y escribe una conjetura.

Con datos como los de la tabla, la conjetura esperada es: a mayor cantidad de lados, el área y el perímetro del polígono inscrito crecen y se acercan cada vez más al área del círculo y a la longitud de la circunferencia, sin llegar a superarlos. El software no demuestra la conjetura, pero ayuda a formularla y a probarla con muchos casos. Con la parábola pasa algo parecido: la suma de los trapecios se acerca a 18 con más franjas.

Un problema con datos inventados: la huerta escolar#

Ejemplo. La huerta de un colegio está limitada por una cerca recta de 10 m y por un sendero curvo. Cada 2 m a lo largo de la cerca se midió la distancia perpendicular hasta el sendero, y se obtuvo: 0 m, 3,2 m, 4,5 m, 4,8 m, 3,6 m y 0 m. Estima el área de la huerta y la longitud de su borde.

Solución. Se toma la cerca como eje x y se usan trapecios de 2 m de ancho: área ≈ 2 · [(0 + 3,2) + (3,2 + 4,5) + (4,5 + 4,8) + (4,8 + 3,6) + (3,6 + 0)] ÷ 2 = 32,2 m². Cada tramo del sendero es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con un cateto de 2 m y otro igual al cambio de distancia: √(2² + 3,2²) + √(2² + 1,3²) + √(2² + 0,3²) + √(2² + 1,2²) + √(2² + 3,6²) ≈ 3,77 + 2,39 + 2,02 + 2,33 + 4,12 = 14,63 m. Con la cerca, el borde mide unos 10 + 14,63 ≈ 24,6 m.

Si cada saco de abono alcanza para 5 m², hacen falta 32,2 ÷ 5 = 6,44 sacos: hay que comprar 7.

Ponte a prueba#

¿Entre qué valores está el área del círculo de radio 3 con centro en el origen si se cuentan cuadros de 1 unidad de lado?#

¿Cuánto mide aproximadamente el área bajo una curva cuyas alturas, medidas cada 1 unidad, son 0, 2, 3, 2 y 0?#

¿Por qué una línea poligonal con los vértices sobre una curva da una longitud menor que la de la curva?#

¿Qué estimaciones del área de un círculo de radio 1 dan el cuadrado inscrito y el cuadrado circunscrito?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)
• MacTutor History of Mathematics, Universidad de St Andrews — Archimedes of Syracuse