Reglas y propiedades básicas de las probabilidades

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 22 de 22

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 9 min de lectura

Desde octavo año sabes calcular la probabilidad de un evento contando casos favorables y casos posibles. En décimo, el programa del MEP pide dar un paso más: deducir las reglas que cumplen todas las probabilidades, usarlas para resolver problemas sin tener que contar cada caso y aprovecharlas para tomar decisiones en situaciones de azar.

En esta lección vas a repasar la definición clásica de probabilidad, a comprobar con dados por qué una probabilidad está entre 0 y 1 y a deducir las reglas de la unión y del complemento. En los ejemplos con dados se supone que son dados equilibrados, en los que todas las caras tienen la misma posibilidad de salir; los demás datos son inventados para practicar.

Definición

Las reglas básicas de las probabilidades son: para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1; la probabilidad del evento seguro es 1 y la del evento imposible es 0; si A y B son mutuamente excluyentes, P(A ∪ B) = P(A) + P(B); en general, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), y la probabilidad del complemento es P(A^c) = 1 − P(A).

Repaso: la definición clásica de probabilidad#

Fórmula

P(A) = (puntos muestrales a favor de A) ÷ (total de puntos muestrales)

Vale solo si todos los puntos muestrales son igualmente probables. Es la definición clásica, o laplaciana, de probabilidad.

Al lanzar dos dados, cada punto muestral es un par: (3, 5) significa un 3 en el primer dado y un 5 en el segundo. Como cada dado tiene 6 caras, hay 6 · 6 = 36 puntos muestrales, todos igualmente probables. Si se ordenan en un cuadro de 6 filas por 6 columnas y se escribe la suma en cada casilla, se obtiene cuántos pares dan cada suma:

Suma	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Pares a favor	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Ejemplo. Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?

Solución. Los pares a favor son (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) y (6, 1): 6 de 36. Entonces P(suma 7) = 6/36, que al simplificar da 1/6 ≈ 0,167.

Cuando no se pueden contar casos igualmente probables (por ejemplo, para saber qué tan probable es que un bus llegue tarde), la probabilidad se aproxima con la frecuencia relativa de muchas observaciones. Las reglas de esta lección valen para las dos formas de calcularla.

La probabilidad está entre 0 y 1#

Si un evento tiene r puntos a favor de un total de n, entonces 0 ≤ r ≤ n. Al dividir entre n se obtiene 0 ≤ r ÷ n ≤ 1. De ahí salen tres reglas:

Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1. Una probabilidad negativa o mayor que 1 indica un error de cálculo.
El evento seguro contiene todos los puntos muestrales, así que su probabilidad es n ÷ n = 1. Con dos dados, «la suma está entre 2 y 12» es seguro.
El evento imposible no tiene puntos a favor, así que su probabilidad es 0 ÷ n = 0. Con dos dados, «la suma es 13» es imposible.

El programa del MEP relaciona estas reglas con los axiomas con que el matemático ruso Andrei N. Kolmogorov ordenó la teoría de probabilidades: cada evento tiene asociado un número no negativo, su probabilidad; la probabilidad del espacio muestral es 1, y la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes dos a dos es la suma de sus probabilidades. Las demás reglas se deducen de estas.

La unión de eventos mutuamente excluyentes#

Si A y B no tienen puntos en común, los puntos a favor de A ∪ B son los de A más los de B, sin que ninguno se cuente dos veces. Al dividir entre el total se obtiene la regla:

Fórmula

P(A ∪ B) = P(A) + P(B), si A ∩ B = ∅

Se aplica solo a eventos mutuamente excluyentes, que no pueden ocurrir a la vez.

Ejemplo. Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7 u 11?

Solución. A: «suma 7» tiene 6 puntos, y B: «suma 11» tiene 2, (5, 6) y (6, 5). No pueden ocurrir a la vez, porque la suma no puede ser 7 y 11 al mismo tiempo. Entonces P(A ∪ B) = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9 ≈ 0,222. Si se cuentan directamente los pares a favor, también son 8 de 36.

La probabilidad de la unión en general#

Si A y B sí tienen puntos en común, al sumar P(A) + P(B) los puntos de la intersección se cuentan dos veces. Para corregirlo se resta una vez la probabilidad de la intersección:

Fórmula

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Si A y B son mutuamente excluyentes, P(A ∩ B) = 0 y se obtiene la regla anterior.

Ejemplo. Se lanzan dos dados. Sean A: «la suma es par» y B: «la suma es mayor que 8». Calcula P(A ∪ B).

Solución. Con el cuadro de sumas: A reúne las sumas 2, 4, 6, 8, 10 y 12, con 1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18 puntos. B reúne las sumas 9, 10, 11 y 12, con 4 + 3 + 2 + 1 = 10 puntos. A ∩ B son las sumas pares mayores que 8, es decir, 10 y 12: 3 + 1 = 4 puntos. Entonces P(A ∪ B) = 18/36 + 10/36 − 4/36 = 24/36 = 2/3 ≈ 0,667. Si se olvidara restar la intersección, se obtendría 28/36, un resultado demasiado alto.

Ejemplo. En un colegio, el 45 % de los estudiantes practica algún deporte, el 30 % toca un instrumento musical y el 12 % hace las dos cosas. Se escoge a un estudiante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que practique un deporte o toque un instrumento? ¿Y de que solo practique un deporte?

Solución. Con D: «practica deporte» e I: «toca un instrumento», P(D ∪ I) = 0,45 + 0,30 − 0,12 = 0,63. En un diagrama de Venn, la región «solo D» vale 0,45 − 0,12 = 0,33 y la región «solo I», 0,30 − 0,12 = 0,18. La suma de las tres regiones, 0,33 + 0,12 + 0,18 = 0,63, confirma el resultado.

La probabilidad del complemento#

Un evento A y su complemento son mutuamente excluyentes y juntos forman el espacio muestral. Por la regla de la unión, P(A) + P(A^c) = P(S) = 1, de donde sale la regla del complemento:

Fórmula

P(A^c) = 1 − P(A)

Es muy útil cuando el complemento es más fácil de contar que el evento, como en los problemas de «al menos uno».

Ejemplo. Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 6?

Solución. El complemento de «al menos un 6» es «ningún 6»: los dos dados muestran de 1 a 5, lo que ocurre en 5 · 5 = 25 pares. Entonces P(ningún 6) = 25/36 y P(al menos un 6) = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 0,306. Contando directamente: hay 6 pares con 6 en el primer dado y 6 con 6 en el segundo, pero el (6, 6) está en los dos grupos, así que son 6 + 6 − 1 = 11.

En el ejemplo del colegio, la probabilidad de que un estudiante no practique deporte ni toque un instrumento es el complemento de D ∪ I: 1 − 0,63 = 0,37.

Probabilidades para tomar decisiones#

Ejemplo. En una feria del colegio, dos juegos cuestan lo mismo y dan el mismo premio. En el juego 1 se gana si, al lanzar dos dados, la suma es 7 u 11. En el juego 2 se gana si sale al menos un 6. ¿Cuál conviene escoger?

Solución. Las dos probabilidades ya se calcularon: P(ganar el juego 1) = 8/36 ≈ 0,222 y P(ganar el juego 2) = 11/36 ≈ 0,306. Como el costo y el premio son iguales, conviene el juego 2. Eso no garantiza ganar en una jugada: significa que, si se jugara muchísimas veces, se ganaría en alrededor del 31 % de las jugadas con el juego 2 y en alrededor del 22 % con el juego 1.

La probabilidad no elimina la incertidumbre, pero permite comparar opciones con argumentos. Antes de decidir, revisa también qué se gana o se pierde en cada caso: una opción menos probable puede convenir si su premio es mucho mayor, y una muy probable puede no valer la pena si lo que se arriesga es mucho.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la probabilidad de que no llueva mañana si la probabilidad de que llueva es 0,35?#

«No llueve» es el complemento de «llueve», porque siempre ocurre uno de los dos y nunca ambos. Por la regla del complemento, P(no llueve) = 1 − 0,35 = 0,65. Es decir, hay un 65 % de probabilidad de que no llueva.

¿Pueden dos eventos mutuamente excluyentes tener probabilidades 0,6 y 0,7?#

No. Si fueran mutuamente excluyentes, la probabilidad de su unión sería 0,6 + 0,7 = 1,3, y ninguna probabilidad puede ser mayor que 1. Por lo tanto, dos eventos con esas probabilidades tienen que compartir puntos muestrales: su intersección tiene una probabilidad de al menos 0,3.

¿Cuánto vale P(A ∩ B) si P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A ∪ B) = 0,7?#

Se despeja de la regla de la unión: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,5 + 0,4 − 0,7 = 0,2. Como la intersección no es cero, A y B no son mutuamente excluyentes: pueden ocurrir al mismo tiempo con probabilidad 0,2.

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par o un número mayor que 4?#

Los pares son 2, 4 y 6, con probabilidad 3/6; los mayores que 4 son 5 y 6, con probabilidad 2/6. Comparten el 6, con probabilidad 1/6. Por la regla de la unión, P = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. Se comprueba contando: los resultados a favor son 2, 4, 5 y 6, cuatro de seis.

¿Cuál es la probabilidad de no ganar una rifa de 50 boletos si compraste 4?#

Si los 50 boletos tienen la misma posibilidad de salir, la probabilidad de ganar es 4/50 = 0,08. No ganar es el complemento, así que su probabilidad es 1 − 0,08 = 0,92. También se obtiene contando los boletos que no son tuyos: 46/50 = 0,92.