Sistemas de dos ecuaciones lineales: métodos, casos y problemas

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Décimo año Lección 17 de 22

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 9 min de lectura

Hay problemas con dos cantidades desconocidas y dos datos que las relacionan: cuántas entradas de cada tipo se vendieron, qué edad tiene cada persona, cuántas unidades hay que vender para no perder dinero. Cada dato se traduce en una ecuación, y las dos juntas forman un sistema de ecuaciones.

El programa del MEP pide trabajar sistemas de la forma a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂, resolverlos por sustitución, por igualación, por suma y resta y en forma gráfica, y reconocer los tres casos posibles: una solución, ninguna o infinitas, con el significado gráfico de cada uno.

Definición

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones de la forma a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂, que deben cumplirse a la vez. Una solución del sistema es un par ordenado (x, y) que satisface las dos ecuaciones. El conjunto de todas las soluciones se llama conjunto solución y suele escribirse S.

La representación gráfica: dos rectas#

Si a y b no son los dos 0, cada ecuación ax + by = c corresponde a una recta, y sus soluciones son los puntos de esa recta. Una solución del sistema tiene que estar en las dos rectas a la vez: es un punto de intersección. Por eso solo hay tres posibilidades:

Posición de las rectas	Pendientes (si ninguna recta es vertical)	Soluciones	Conjunto solución
Se cortan en un punto	Distintas	Una	S = {(x₀, y₀)}
Paralelas, sin punto común	Iguales, con distinta intersección con el eje y	Ninguna	S = ∅
Coincidentes (la misma recta)	Iguales, con la misma intersección con el eje y	Infinitas	Todos los puntos de la recta

Ejemplo. Resuelve gráficamente el sistema x + y = 5, 2x − y = 4.

Solución. Se despeja y en cada ecuación. De la primera, y = −x + 5: la recta pasa por (0, 5) y (5, 0). De la segunda, y = 2x − 4: la recta pasa por (0, −4) y (2, 0). Al trazarlas, se cortan en el punto (3, 2). Se comprueba en las dos ecuaciones: 3 + 2 = 5 y 2 · 3 − 2 = 4. El conjunto solución es S = {(3, 2)}.

Un programa graficador, como recomienda el programa del MEP, muestra el punto de corte con rapidez. Pero si sus coordenadas no son enteras, la gráfica solo da una aproximación y hace falta un método algebraico.

Método de sustitución#

Despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
Sustituye esa expresión en la otra ecuación: queda una ecuación con una sola incógnita.
Resuelve esa ecuación.
Sustituye el valor hallado en el despeje para obtener la otra incógnita.
Comprueba el par en las dos ecuaciones originales.

Ejemplo. Resuelve el sistema y = 2x − 1, 3x + 2y = 12.

Solución. La primera ecuación ya da y despejada. Se sustituye en la segunda: 3x + 2(2x − 1) = 12, es decir, 3x + 4x − 2 = 12, de donde 7x = 14 y x = 2. Entonces y = 2 · 2 − 1 = 3. Comprobación: 3 · 2 + 2 · 3 = 6 + 6 = 12. S = {(2, 3)}.

Método de igualación#

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones obtenidas. El programa señala que aquí se usa la propiedad transitiva de la igualdad: si y = f(x) y además y = g(x), entonces f(x) = g(x).

Ejemplo. Resuelve el sistema 3x − y = 5, x + y = 7.

Solución. Se despeja y en las dos ecuaciones: de la primera, y = 3x − 5; de la segunda, y = 7 − x. Se igualan: 3x − 5 = 7 − x, de donde 4x = 12 y x = 3. Con cualquiera de los despejes, y = 7 − 3 = 4. Comprobación: 3 · 3 − 4 = 5 y 3 + 4 = 7. S = {(3, 4)}.

Método de suma y resta#

También se llama método de reducción o de eliminación. Se multiplican las ecuaciones por números convenientes para que una incógnita quede con coeficientes opuestos; al sumar las ecuaciones, esa incógnita desaparece.

Ejemplo. Resuelve el sistema 2x + 3y = 8, 5x − 2y = 1.

Solución. Para eliminar y se multiplica la primera ecuación por 2 y la segunda por 3: 4x + 6y = 16 y 15x − 6y = 3. Al sumarlas queda 19x = 19, así que x = 1. En la primera ecuación: 2 + 3y = 8, 3y = 6 y y = 2. Comprobación en la segunda: 5 · 1 − 2 · 2 = 1. S = {(1, 2)}.

Los tres métodos llevan a la misma solución; conviene escoger el que pida menos cuentas. Si una incógnita ya está despejada, sustitución; si en las dos ecuaciones es fácil despejar la misma incógnita, igualación; si los coeficientes se igualan multiplicando por números pequeños, suma y resta.

Sistemas sin solución y con infinitas soluciones#

Ejemplo. Resuelve el sistema 2x − y = 3, 4x − 2y = 1.

Solución. Al multiplicar la primera ecuación por −2 queda −4x + 2y = −6. Sumada con la segunda da 0 = −5, una igualdad falsa. El sistema no tiene solución: S = ∅. Gráficamente, al despejar y, las rectas tienen la misma pendiente, 2, pero cortan el eje y en puntos distintos, −3 y −1/2: son paralelas.

Ejemplo. Resuelve el sistema x + 3y = 6, 2x + 6y = 12.

Solución. La segunda ecuación es la primera multiplicada por 2. Al multiplicar la primera por −2 y sumar, queda 0 = 0, una igualdad que siempre se cumple. Las dos ecuaciones representan la misma recta y el sistema tiene infinitas soluciones: todos los pares (x, y) con x = 6 − 3y, como (6, 0), (3, 1) y (0, 2). El conjunto solución se escribe S = {(6 − 3y, y) : y ∈ ℝ}.

Regla práctica: si al eliminar una incógnita desaparecen las dos y queda una igualdad falsa, como 0 = −5, no hay solución; si queda una igualdad verdadera, como 0 = 0, hay infinitas.

Problemas en contextos reales#

Para plantear un problema se nombran las dos incógnitas, se traduce cada dato a una ecuación, se resuelve el sistema y se revisa que la respuesta tenga sentido en la situación. Los datos de estos problemas son inventados.

Ejemplo. El triple de la edad de Andrea, disminuido en la edad de su hermano Luis, es 26 años, y Luis tiene 6 años menos que Andrea. ¿Qué edad tiene cada uno?

Solución. Sea A la edad de Andrea y L la de Luis. Los datos dan 3A − L = 26 y L = A − 6. Por sustitución: 3A − (A − 6) = 26, o sea, 2A + 6 = 26 y A = 10. Entonces L = 10 − 6 = 4. Andrea tiene 10 años y Luis, 4. Comprobación: 3 · 10 − 4 = 26.

Ejemplo. Para una obra de teatro del colegio se vendieron 230 entradas y se recaudaron ₡410 000. La entrada general costaba ₡2000 y la de estudiante, ₡1500. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

Solución. Sea g la cantidad de entradas generales y e la de estudiante. Entonces g + e = 230 y 2000g + 1500e = 410 000. Al multiplicar la primera ecuación por −1500 y sumarla con la segunda: 500g = 65 000, así que g = 130 y e = 230 − 130 = 100. Comprobación: 2000 · 130 + 1500 · 100 = 260 000 + 150 000 = 410 000.

El punto de equilibrio#

El programa propone este tipo de problema: el costo total de producir x unidades tiene un costo inicial fijo y un costo por unidad, y el ingreso es el número de unidades vendidas multiplicado por el precio. El punto de equilibrio se alcanza cuando el ingreso es igual al costo.

Ejemplo. Un taller fabrica bolsos. Producir x bolsos cuesta ₡360 000 fijos, por el local y la máquina, más ₡6000 de materiales por bolso, y cada bolso se vende a ₡15 000. ¿Cuál es el punto de equilibrio?

Solución. El costo es y = 6000x + 360 000 y el ingreso es y = 15 000x. Por igualación: 15 000x = 6000x + 360 000, de donde 9000x = 360 000 y x = 40. Con 40 bolsos, el ingreso y el costo valen lo mismo: 15 000 · 40 = ₡600 000. Si vende menos de 40 bolsos pierde dinero, y si vende más, gana. Gráficamente, es el punto (40, 600 000) donde se cortan la recta del costo y la del ingreso.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la solución del sistema x + 2y = 7 y 3x − y = 7?#

De la segunda ecuación se despeja y = 3x − 7. Al sustituir en la primera: x + 2(3x − 7) = 7, o sea, 7x − 14 = 7, de donde 7x = 21 y x = 3. Entonces y = 9 − 7 = 2. Comprobación: 3 + 2 · 2 = 7 y 3 · 3 − 2 = 7. El conjunto solución es S = {(3, 2)}: las dos rectas se cortan en ese punto.

¿Cuántas soluciones tiene el sistema y = −2x + 5 y 4x + 2y = 3?#

Ninguna. Al despejar y en la segunda ecuación se obtiene y = −2x + 3/2. Las dos rectas tienen la misma pendiente, −2, pero cortan el eje y en puntos distintos, 5 y 3/2: son paralelas. Si se sustituye la primera en la segunda, queda 4x + 2(−2x + 5) = 3, es decir, 10 = 3, una igualdad falsa. S = ∅.

¿Para qué valor de k el sistema 2x + y = 4 y 6x + 3y = k tiene infinitas soluciones?#

Los coeficientes de la segunda ecuación son el triple de los de la primera, porque 6 = 3 · 2 y 3 = 3 · 1. Para que las dos ecuaciones representen la misma recta, el término independiente también debe ser el triple: k = 3 · 4 = 12. Con cualquier otro valor de k, las rectas son paralelas y el sistema no tiene solución.

¿Cuánto cuesta cada producto si 3 empanadas y 2 refrescos cuestan ₡4300, y 2 empanadas y 3 refrescos cuestan ₡4200?#

Sea e el precio de una empanada y r el de un refresco: 3e + 2r = 4300 y 2e + 3r = 4200. Se multiplica la primera por 3 y la segunda por 2, y se restan: 9e − 4e = 12 900 − 8400, así que 5e = 4500 y e = 900. Luego 2r = 4300 − 2700 = 1600 y r = 800. La empanada cuesta ₡900 y el refresco, ₡800 (precios inventados). Comprobación: 1800 + 2400 = 4200.

¿Qué significa gráficamente que un sistema de dos ecuaciones lineales no tenga solución?#

Que las dos rectas son paralelas: tienen la misma pendiente y distinta intersección con el eje y, así que no comparten ningún punto. Por ejemplo, en el sistema x + y = 2, x + y = 5, ningún par de números puede sumar 2 y 5 a la vez. Las dos rectas tienen pendiente −1 y cortan el eje y en 2 y en 5. Al restar las ecuaciones queda 0 = −3, una igualdad falsa: S = ∅.