Medidas de variabilidad: recorrido, variancia y desviación estándar

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 15 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 11 min de lectura

Dos grupos pueden tener el mismo promedio y, sin embargo, ser muy distintos: en uno, todas las notas se parecen; en el otro, hay notas muy altas y muy bajas. El programa del MEP recuerda que el propósito básico de la Estadística es describir y resumir esa variabilidad de los datos, y que todo estudio estadístico parte de reconocer que los datos varían.

En esta lección vas a calcular e interpretar el recorrido, el recorrido intercuartílico, la variancia y la desviación estándar, a decidir cuándo se divide entre n y cuándo entre n − 1, y a usarlas para resolver problemas. Todos los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Definición

Las medidas de variabilidad (o de dispersión) son números que resumen qué tan separados o concentrados están los datos de un grupo. Las principales son el recorrido, el recorrido intercuartílico, la variancia (en muchos libros, varianza) y la desviación estándar. Cuanto mayor es su valor, más variables son los datos; si todos los datos son iguales, valen cero.

Por qué no basta con el promedio#

Dos equipos de cinco estudiantes hicieron la misma prueba. Las notas del equipo A fueron 70, 72, 75, 78 y 80; las del equipo B, 50, 60, 75, 90 y 100. En los dos casos el promedio es 75 y la mediana también es 75. Si solo se mirara el promedio, parecerían equipos iguales.

Pero no lo son: en el equipo A todas las notas están cerca de 75, mientras que en el B hay una diferencia de 50 puntos entre la nota más baja y la más alta. Una medida de posición dice dónde se ubican los datos; una medida de variabilidad dice cuánto se separan unos de otros. Para describir bien un grupo hacen falta las dos.

El recorrido y el recorrido intercuartílico#

Fórmula

Recorrido = máximo − mínimo RI = Q₃ − Q₁

Q₁ y Q₃ son el primer y el tercer cuartil. El recorrido intercuartílico (RI) mide cuánto se extiende la mitad central de los datos.

En el ejemplo anterior, el recorrido del equipo A es 80 − 70 = 10 puntos, y el del equipo B, 100 − 50 = 50 puntos. El recorrido es fácil de calcular, pero solo usa dos datos, y uno solo muy alejado basta para cambiarlo mucho.

Cómo se calculan los cuartiles en esta lección#

Hay varios métodos para calcular cuartiles y dan valores un poco distintos. Aquí se usa el del material de consulta de Estadística del MEP, al que llamaremos método de la posición k(n + 1) ÷ 4: con los n datos ordenados de menor a mayor, se calcula k(n + 1) ÷ 4, con k = 1 para Q₁ y k = 3 para Q₃. Si la posición es entera, el cuartil es el dato que ocupa esa posición. Si no lo es, se toma su parte entera M y el cuartil es el promedio de los datos de las posiciones M y M + 1.

Ejemplo. Diez estudiantes anotaron cuántos minutos tardan en llegar al colegio: 8, 10, 12, 12, 15, 18, 20, 25, 30 y 45. Calcula el recorrido y el recorrido intercuartílico.

Solución. Los datos ya están ordenados y n = 10. El recorrido es 45 − 8 = 37 minutos. Para Q₁, la posición es 1 · 11 ÷ 4 = 2,75; la parte entera es 2, así que Q₁ es el promedio de los datos 2.º y 3.º: (10 + 12) ÷ 2 = 11. Para Q₃, la posición es 3 · 11 ÷ 4 = 8,25, así que Q₃ es el promedio de los datos 8.º y 9.º: (25 + 30) ÷ 2 = 27,5. Entonces RI = 27,5 − 11 = 16,5 minutos: la mitad central del grupo tarda entre 11 y 27,5 minutos.

Si el último estudiante tardara 90 minutos en vez de 45, el recorrido saltaría a 82 minutos, pero Q₁, Q₃ y el RI no cambiarían. Por eso el RI es más resistente a los valores extremos. Ojo: otros métodos dan cuartiles algo distintos. Si en vez de promediar se interpola (se avanza entre los dos datos vecinos la parte decimal de la posición), resulta Q₁ = 11,5 y Q₃ = 26,25. Al comparar grupos, lo importante es usar el mismo método en todos.

La variancia y la desviación estándar#

El recorrido y el RI usan pocos datos. La variancia y la desviación estándar, en cambio, usan todos: miden cuánto se aleja, en promedio, cada dato de la media aritmética. Para que las distancias por encima y por debajo de la media no se cancelen, se elevan al cuadrado.

Fórmula

Población: σ² = Σ(x − μ)² ÷ N Muestra: s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)

μ y x̄ son la media de la población y de la muestra; N y n, la cantidad de datos; Σ indica que se suman los cuadrados de las diferencias de todos los datos con la media. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la variancia: σ = √σ² y s = √s².

Ejemplo. Calcula la variancia y la desviación estándar de las notas del equipo A (70, 72, 75, 78 y 80). Los cinco estudiantes son todo el equipo, así que se trata de una población.

Solución. La media es μ = 375 ÷ 5 = 75. Las diferencias con la media son −5, −3, 0, 3 y 5, y sus cuadrados, 25, 9, 0, 9 y 25, que suman 68. Como es una población, se divide entre N = 5: σ² = 68 ÷ 5 = 13,6 puntos al cuadrado. La desviación estándar es σ = √13,6 ≈ 3,69 puntos. Con el mismo procedimiento, el equipo B da σ² = 1700 ÷ 5 = 340 y σ ≈ 18,44 puntos: su desviación estándar es cinco veces la del equipo A, porque 340 ÷ 13,6 = 25 y √25 = 5.

La variancia queda en unidades al cuadrado (puntos al cuadrado, minutos al cuadrado), que son difíciles de interpretar. La desviación estándar vuelve a las unidades de los datos y se lee como la distancia típica entre un dato y la media: en el equipo A, las notas se apartan de 75 unos 3,7 puntos.

¿Población o muestra? Cuándo se divide entre n − 1#

El programa del MEP de 2012 no escribe la fórmula de la variancia; sus ejemplos hablan de muestras, como la de 12 días de temperaturas. El material de consulta de Estadística del MEP aclara la regla: si los datos son toda la población que interesa, la suma de los cuadrados se divide entre N (variancia poblacional); si son una muestra tomada de una población más grande, se divide entre n − 1 (variancia muestral). El enunciado del problema es el que dice si los datos son una población o una muestra.

Ejemplo. Para estudiar las temperaturas máximas de un mes en un pueblo, se escogieron 6 días al azar: 28, 30, 31, 29, 33 y 29 °C. Calcula la desviación estándar.

Solución. Los 6 días son una muestra del mes, así que se usa n − 1. La media es x̄ = 180 ÷ 6 = 30 °C. Las diferencias son −2, 0, 1, −1, 3 y −1; sus cuadrados, 4, 0, 1, 1, 9 y 1, suman 16. La variancia muestral es s² = 16 ÷ 5 = 3,2 y la desviación estándar, s = √3,2 ≈ 1,79 °C. Si por error se dividiera entre 6, se obtendría 16 ÷ 6 ≈ 2,67 y una desviación de 1,63 °C, un poco menor.

La diferencia entre las dos fórmulas es grande con pocos datos y casi desaparece con muchos. Dividir entre n − 1 compensa que, si se dividiera entre n, la variancia de una muestra tendería a quedar por debajo de la de la población, porque las distancias se miden desde la media de la propia muestra y no desde la de la población.

Con calculadora u hoja de cálculo#

El programa pide usar la calculadora o la computadora para agilizar estos cálculos, porque lo importante es interpretar los resultados. El procedimiento general es:

Pon la calculadora en su modo de estadística (el manual indica cómo) o escribe los datos en una columna de la hoja de cálculo.
Introduce los datos uno por uno.
Pide la media y la desviación estándar. Las calculadoras con funciones estadísticas suelen dar dos desviaciones con símbolos distintos, una para población y otra para muestra; las hojas de cálculo tienen una función para cada caso.
Escoge la que corresponde según el enunciado y redondea al final, no en los pasos intermedios.

Una buena costumbre es revisar si el resultado es razonable: la desviación estándar nunca es negativa y no puede ser mayor que el recorrido.

Un problema del contexto estudiantil#

Ejemplo. La profesora debe escoger a quien representará a la sección en una competencia de cálculo mental. Las cinco notas del trimestre de Carla fueron 78, 80, 82, 80 y 80; las de Diego, 60, 95, 70, 100 y 75. ¿Quién es más constante?

Solución. Son todas las notas del trimestre de cada estudiante, así que se usan las fórmulas de población. Los dos tienen promedio 80, de modo que la media no permite decidir. Recorridos: Carla, 82 − 78 = 4; Diego, 100 − 60 = 40. Desviaciones estándar: para Carla, los cuadrados de las diferencias con 80 suman 4 + 0 + 4 + 0 + 0 = 8, y σ = √(8 ÷ 5) ≈ 1,26 puntos; para Diego suman 400 + 225 + 100 + 400 + 25 = 1150, y σ = √(1150 ÷ 5) ≈ 15,17 puntos. Carla es mucho más constante; Diego alcanza notas más altas, pero también más bajas.

La respuesta depende de lo que se busque: si interesa un rendimiento seguro, Carla; si se prefiere arriesgar por una nota muy alta, Diego. Las medidas de variabilidad no deciden solas, pero dan argumentos para decidir.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el recorrido de las estaturas 1,52 m; 1,60 m; 1,58 m; 1,71 m y 1,65 m?#

El recorrido es la diferencia entre el dato mayor y el menor. La estatura máxima es 1,71 m y la mínima, 1,52 m, así que el recorrido es 1,71 − 1,52 = 0,19 m, es decir, 19 cm. Significa que entre la persona más alta y la más baja del grupo hay 19 centímetros de diferencia.

¿Cuál es la desviación estándar poblacional de los datos 4, 6, 8, 10 y 12?#

La media es (4 + 6 + 8 + 10 + 12) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8. Las diferencias con la media son −4, −2, 0, 2 y 4, y sus cuadrados, 16, 4, 0, 4 y 16, que suman 40. Como es una población, se divide entre 5: la variancia es 8. La desviación estándar es √8 ≈ 2,83.

¿Cuánto valen la variancia y la desviación estándar de una muestra formada por los datos 3, 5 y 7?#

La media de la muestra es 15 ÷ 3 = 5. Las diferencias con la media son −2, 0 y 2, y la suma de sus cuadrados es 4 + 0 + 4 = 8. Como es una muestra, se divide entre n − 1 = 2: la variancia muestral es 8 ÷ 2 = 4, y la desviación estándar, √4 = 2.

¿Cuál es el recorrido intercuartílico de los datos 12, 15, 17, 20, 22, 26 y 30?#

Hay n = 7 datos ordenados. Con el método de la posición k(n + 1) ÷ 4, el primer cuartil está en la posición 8 ÷ 4 = 2, que es entera: Q₁ = 15. El tercer cuartil está en la posición 24 ÷ 4 = 6: Q₃ = 26. El recorrido intercuartílico es 26 − 15 = 11.

¿Qué le pasa a la desviación estándar si a todas las notas de un grupo se les suman 5 puntos?#

No cambia. Al sumar 5 a cada dato, la media también aumenta 5, así que las diferencias entre cada dato y la media siguen siendo las mismas. Por ejemplo, 4, 6, 8, 10 y 12 tienen desviación estándar poblacional de unos 2,83, y 9, 11, 13, 15 y 17 también. Lo que cambia es la posición del grupo, no su variabilidad.