Funciones y modelización: cómo elegir el modelo para una situación

Modelizar es traducir una situación real al lenguaje de las funciones: decidir qué cantidad depende de cuál, escoger el tipo de función que mejor describe esa relación y usarla para responder preguntas. En undécimo año se integran todas las funciones estudiadas en secundaria: lineal, cuadrática, raíz cuadrada, exponencial y logarítmica.

En esta lección vas a reconocer cada tipo de función a partir de una tabla o de una descripción, a plantear el modelo y a revisar si el resultado tiene sentido. Todos los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Los pasos para modelizar una situación#

1. Identifica las variables: qué cantidad depende de cuál y en qué unidades se mide cada una.
2. Observa el patrón: en una tabla, calcula diferencias o cocientes; en un texto, busca frases como «aumenta lo mismo cada…», «se duplica cada…» o «llega a un máximo».
3. Escoge el tipo de función y encuentra sus parámetros con los datos.
4. Resuelve la pregunta con el modelo.
5. Verifica: ¿el resultado tiene sentido? ¿Para qué valores de la variable es válido el modelo?

El programa del MEP insiste en el último paso: no basta con obtener un número, hay que interpretarlo y comprobar que el modelo es factible para la situación.

Cómo reconocer cada tipo de función en una tabla#

Si los valores de x avanzan con un paso fijo, cada tipo de función deja una huella distinta en los valores de y:

Función	Criterio	Huella en la tabla	Situaciones típicas
Lineal	f(x) = mx + b	Las diferencias entre valores seguidos de y son constantes.	Tarifas con un cargo fijo más un monto por unidad.
Cuadrática	f(x) = ax2 + bx + c	Las segundas diferencias (diferencias de las diferencias) son constantes.	Áreas y situaciones con un máximo o un mínimo.
Exponencial	f(x) = k · ax	El cociente entre valores seguidos de y es constante.	Crecimiento de poblaciones, interés compuesto.
Logarítmica	f(x) = a + b · log x	y cambia en la misma cantidad cada vez que x se multiplica por un mismo número.	Escalas como el pH o los decibeles.
Raíz cuadrada	f(x) = a√x	Para que y se duplique, x tiene que multiplicarse por 4.	El lado de un cuadrado o el radio de un círculo a partir de su área.

Con datos medidos, las diferencias o los cocientes casi nunca son exactamente iguales, sino parecidos. Por eso la decisión final se toma con la tabla y con lo que se sabe de la situación.

Ejemplos: de la tabla al modelo#

Ejemplo. Una fotocopiadora cobra por imprimir los folletos de una feria científica. Por 10, 20, 30 y 40 folletos cobra ₡4500, ₡6000, ₡7500 y ₡9000. ¿Qué modelo sigue el costo C según la cantidad x de folletos?

Solución. Cada vez que x aumenta 10, el costo aumenta ₡1500: las diferencias son constantes, así que el modelo es lineal. La pendiente es 1500 ÷ 10 = 150 colones por folleto. Para hallar b se usa un punto: 4500 = 150 · 10 + b, de donde b = 3000. El modelo es C(x) = 150x + 3000, un cargo fijo de ₡3000 más ₡150 por folleto. Con él, 75 folletos cuestan 150 · 75 + 3000 = ₡14 250.

Ejemplo. Con 40 m de malla se quiere cercar un corral rectangular. Si un lado mide x metros, el área A es: con x = 2, A = 36 m²; con x = 4, 64 m²; con x = 6, 84 m²; con x = 8, 96 m². ¿Qué modelo sigue el área y cuál es el área máxima?

Solución. Las primeras diferencias son 28, 20 y 12; las segundas, −8 y −8: el modelo es cuadrático. También sale de la geometría: si un lado mide x, el otro mide 20 − x (la mitad del perímetro menos x), y A(x) = x(20 − x) = −x² + 20x. Es una parábola que abre hacia abajo, con vértice en x = −20 ÷ (2 · (−1)) = 10. El área máxima es A(10) = 100 m²: el mejor corral es un cuadrado de 10 m de lado.

Ejemplo. En un cultivo de laboratorio hay 300, 600, 1200 y 2400 bacterias a las 0, 2, 4 y 6 horas. ¿Qué modelo sigue la cantidad N de bacterias y cuándo habrá 10 000?

Solución. Las diferencias (300, 600, 1200) no son constantes, pero los cocientes sí: 600 ÷ 300 = 1200 ÷ 600 = 2400 ÷ 1200 = 2. La cantidad se duplica cada 2 horas, así que el modelo es exponencial: N(t) = 300 · 2^t/2. Para la pregunta se resuelve 300 · 2^t/2 = 10 000 con logaritmos: t = 2 · log(10 000 ÷ 300) ÷ log 2 ≈ 10,1 horas.

Ejemplo. En un juego de computadora, el nivel N de una jugadora depende de sus puntos P: con 1, 10, 100 y 1000 puntos, el nivel es 2, 5, 8 y 11. ¿Qué modelo sigue el nivel y cuántos puntos necesita para el nivel 14?

Solución. Cada vez que los puntos se multiplican por 10, el nivel sube 3: es la huella de una función logarítmica. El modelo es N(P) = 2 + 3 log P, porque log 1 = 0 da N = 2 y cada factor 10 suma 3. Para el nivel 14: 2 + 3 log P = 14, así que log P = 4 y P = 10⁴ = 10 000 puntos.

Ejemplo. Una mancha circular de pintura se extiende sobre un papel. Cuando su área A vale π, 4π, 9π y 16π cm², su radio r vale 1, 2, 3 y 4 cm. ¿Qué modelo relaciona r con A y cuál es el radio cuando el área es 50 cm²?

Solución. Cuando el área se multiplica por 4 (de π a 4π), el radio se duplica (de 1 a 2): es la huella de la raíz cuadrada. De A = πr² se despeja r(A) = √(A ÷ π). Para A = 50, r = √(50 ÷ π) ≈ 3,99 cm.

Un problema completo: la ley de Newton de enfriamiento#

Para estas habilidades, el programa propone el modelo de la ley de Newton de enfriamiento. La temperatura u de un cuerpo en el instante t es:

Ejemplo. Una taza de café a 90 °C se deja en una habitación a 25 °C. A los 10 minutos está a 60 °C. ¿Cuándo llegará a 40 °C?

Solución. Con T = 25 y u₀ = 90, el modelo es u(t) = 25 + 65e^−kt. Para hallar k se usa el dato de los 10 minutos: 60 = 25 + 65e^−10k, así que e^−10k = 35 ÷ 65 = 7 ÷ 13 y k = ln(13 ÷ 7) ÷ 10 ≈ 0,0619 por minuto. Ahora se resuelve 40 = 25 + 65e^−kt: e^−kt = 15 ÷ 65 = 3 ÷ 13, y t = ln(13 ÷ 3) ÷ k ≈ 23,7 minutos.

El resultado es razonable: el café pierde 30 °C en los primeros 10 minutos, pero después se enfría cada vez más despacio, porque la diferencia con el ambiente es menor. Además, el modelo nunca da una temperatura por debajo de 25 °C, como pasa en la realidad.

Verificar la factibilidad del modelo#

Un modelo sirve dentro de ciertos límites. Antes de dar una respuesta, conviene revisar:

• El dominio con sentido: el tiempo, las longitudes y las cantidades de objetos no pueden ser negativos. En el corral, x tiene que estar entre 0 y 20.
• Si la respuesta debe ser entera: no se imprimen 7,3 folletos, y una cantidad de personas se redondea según lo que pida el problema.
• Si el modelo se puede extender: una población de bacterias no crece de forma exponencial para siempre, porque se acaban el espacio y el alimento. Para esos casos, el programa menciona la curva logística, cuya gráfica tiene forma de S.
• Qué tan lejos se predice: una predicción cercana a los datos medidos es más confiable que una muy alejada de ellos.

Ejemplo. Con el modelo lineal de los folletos, ¿cuánto costarían 0 folletos? ¿Tiene sentido?

Solución. C(0) = 150 · 0 + 3000 = ₡3000. Matemáticamente es el cargo fijo, pero en la práctica nadie paga por no imprimir nada: el modelo solo se aplica cuando se encargan folletos. Esta es la clase de reflexión que pide el programa al interpretar un modelo.

Ponte a prueba#

¿Qué tipo de función modela una tabla en la que x vale 0, 1, 2 y 3, y y vale 5, 15, 45 y 135?#

¿Qué modelo describe los datos x = 1, 2, 3, 4 con y = 3, 9, 19, 33?#

¿A partir de cuántos minutos conviene un plan de ₡9000 más ₡25 por minuto frente a otro de ₡6000 más ₡40 por minuto?#

¿Cuánto tarda en llegar a 1000 individuos una población que sigue el modelo N(t) = 200 · 1,5 elevado a t, con t en años?#

¿Cuál es el área máxima de un corral rectangular que se cerca con 60 m de malla?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)