Ángulos, apotema y radio de los polígonos regulares

Muchos mosaicos, tuercas y logotipos tienen forma de polígono regular. Conocer sus ángulos permite explicar, por ejemplo, por qué con hexágonos regulares se puede cubrir un piso sin dejar huecos y con pentágonos regulares no; conocer su apotema y su radio permite calcular su área y sus medidas en cualquier contexto.

En esta lección vas a determinar los ángulos internos y externos de un polígono y el ángulo central de uno regular, y a calcular la apotema y el radio de los polígonos regulares con el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas, como indica el programa del MEP.

La suma de los ángulos internos de un polígono#

Desde un vértice de un polígono convexo de n lados se pueden trazar n − 3 diagonales, que lo dividen en n − 2 triángulos. Como los ángulos de cada triángulo suman 180°, los ángulos internos del polígono suman:

Polígono	n	Suma de los ángulos internos
Triángulo	3	180°
Cuadrilátero	4	360°
Pentágono	5	540°
Hexágono	6	720°
Octágono	8	1080°
Decágono	10	1440°

Ejemplo. Cuatro de los ángulos internos de un pentágono miden 100°, 110°, 95° y 120°. ¿Cuánto mide el quinto?

Solución. Los ángulos internos de un pentágono suman (5 − 2) · 180° = 540°. Los cuatro conocidos suman 100° + 110° + 95° + 120° = 425°, así que el quinto mide 540° − 425° = 115°.

Ángulo interno, externo y central de un polígono regular#

En un polígono regular los n ángulos internos son iguales, así que cada uno mide la suma dividida entre n. El ángulo externo es el suplemento del interno (entre los dos suman 180°), y los n ángulos externos, uno por vértice, suman siempre 360°: al recorrer el borde se da exactamente una vuelta completa. El ángulo central también mide 360° ÷ n, porque los n ángulos centrales completan la vuelta alrededor del centro.

Polígono regular	n	Ángulo interno	Ángulo externo y central
Triángulo equilátero	3	60°	120°
Cuadrado	4	90°	90°
Pentágono	5	108°	72°
Hexágono	6	120°	60°
Octágono	8	135°	45°
Decágono	10	144°	36°
Dodecágono	12	150°	30°

El ángulo central indica, además, cuánto hay que girar el polígono, como mínimo, alrededor de su centro para que coincida consigo mismo: un hexágono regular rotado 60° queda igual que antes.

Ejemplo. El ángulo interno de un polígono regular mide 140°. ¿Cuántos lados tiene? ¿Existe un polígono regular con un ángulo interno de 130°?

Solución. Si el interno mide 140°, el externo mide 180° − 140° = 40°, y n = 360° ÷ 40° = 9: es un eneágono. Con un interno de 130°, el externo mediría 50° y n = 360 ÷ 50 = 7,2, que no es un número entero: no existe ese polígono regular.

Ejemplo. ¿Con cuáles polígonos regulares, todos iguales, se puede cubrir un piso sin dejar huecos ni encimar piezas?

Solución. Alrededor de cada vértice, los ángulos internos de las piezas que se juntan tienen que sumar 360°, así que el ángulo interno debe caber un número entero de veces en 360°. Funciona con triángulos equiláteros (6 · 60° = 360°), cuadrados (4 · 90°) y hexágonos (3 · 120°). No funciona con pentágonos, porque 360 ÷ 108 ≈ 3,33 no es entero, ni con polígonos de más de seis lados, cuyo ángulo interno está entre 120° y 180°: dos piezas no alcanzan y tres se pasan.

La apotema y el radio: el triángulo clave#

Si se unen el centro O, un vértice V y el punto medio M de uno de los lados que llegan a V, se forma un triángulo rectángulo con el ángulo recto en M. Su hipotenusa OV es el radio r, el cateto OM es la apotema a, el cateto MV es la mitad del lado, l ÷ 2, y el ángulo en el centro mide la mitad del ángulo central, 180° ÷ n.

En tres casos basta con Pitágoras. En el cuadrado, a = l ÷ 2 y r = l√2 ÷ 2. En el hexágono regular, como el ángulo central mide 60°, los seis triángulos con vértice en el centro son equiláteros, así que r = l y a = l√3 ÷ 2. En el triángulo equilátero, a = l√3 ÷ 6 y r = l√3 ÷ 3, el doble de la apotema.

Ejemplo. Halla el radio, la apotema y el área de un hexágono regular de 8 cm de lado.

Solución. En el hexágono regular, r = l = 8 cm. La apotema sale de Pitágoras: a = √(8² − 4²) = √48 = 4√3 ≈ 6,93 cm. El perímetro es 6 · 8 = 48 cm y el área es P · a ÷ 2 = 48 · 4√3 ÷ 2 = 96√3 ≈ 166,28 cm².

Ejemplo. Halla la apotema, el radio y el área de un pentágono regular de 10 cm de lado.

Solución. El ángulo central mide 360° ÷ 5 = 72°; en el triángulo clave, el ángulo en el centro es la mitad, 36°, y el cateto opuesto mide 5 cm. Entonces a = 5 ÷ tan 36° ≈ 6,88 cm y r = 5 ÷ sen 36° ≈ 8,51 cm. Se comprueba con Pitágoras: con los valores sin redondear, a² + 5² y r² dan los dos ≈ 72,36. El área es P · a ÷ 2 = 50 · 6,882 ÷ 2 ≈ 172,05 cm².

Ejemplo. Un octágono regular está inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio. ¿Cuánto miden su lado, su apotema y su área?

Solución. La mitad del ángulo central es 360° ÷ 8 ÷ 2 = 22,5°. En el triángulo clave la hipotenusa es r = 10 cm, así que la mitad del lado es 10 · sen 22,5° ≈ 3,83 cm y el lado mide l ≈ 7,65 cm; la apotema es a = 10 · cos 22,5° ≈ 9,24 cm. Con los valores sin redondear, el área es P · a ÷ 2 ≈ 282,84 cm².

Datos que tienen que casar#

En un polígono regular, una sola medida lo determina todo: con el número de lados y el lado, la apotema y el radio quedan fijos. Por eso un problema no puede dar el lado y una apotema cualquiera. Por ejemplo, un hexágono regular de 6 cm de lado no puede tener una apotema de 6 cm: su apotema mide 6√3 ÷ 2 = 3√3 ≈ 5,20 cm. Antes de resolver un problema con datos de más, conviene comprobar que casen.

Ejemplo. Una tuerca tiene forma de hexágono regular, y la distancia entre dos de sus lados paralelos, que es la medida que importa para escoger la llave, es de 13 mm. ¿Cuánto mide su lado y cuál es la distancia entre dos esquinas opuestas?

Solución. La distancia entre lados paralelos es el doble de la apotema, así que a = 13 ÷ 2 = 6,5 mm. En el hexágono, a = l√3 ÷ 2, de donde l = 2a ÷ √3 = 13 ÷ √3 ≈ 7,51 mm. La distancia entre esquinas opuestas es el doble del radio, y en el hexágono r = l, así que mide 2l = 26 ÷ √3 ≈ 15,01 mm.

Problemas en contexto#

Ejemplo. Un blanco para dardos tiene forma de octágono regular de 10 cm de lado, con una diana circular de 4 cm de diámetro en el centro. Si un dardo cae al azar en algún punto del blanco, ¿cuál es la probabilidad de que dé en la diana?

Solución. La mitad del ángulo central es 22,5°, así que la apotema es a = 5 ÷ tan 22,5° ≈ 12,07 cm. El área del octágono es P · a ÷ 2 = 80 · 12,071 ÷ 2 ≈ 482,84 cm². La diana tiene 2 cm de radio y un área de π · 2² ≈ 12,57 cm². La probabilidad es el cociente de las áreas: 12,57 ÷ 482,84 ≈ 0,026, cerca de un 2,6 %.

Ejemplo. El piso de un quiosco de un parque es un hexágono regular de 3 m de radio. ¿Cuánto mide su área?

Solución. En el hexágono regular el lado mide lo mismo que el radio, 3 m, y la apotema es a = 3√3 ÷ 2 ≈ 2,60 m. El perímetro es 6 · 3 = 18 m y el área es P · a ÷ 2 = 18 · (3√3 ÷ 2) ÷ 2 ≈ 23,38 m².

Ponte a prueba#

¿Cuánto mide cada ángulo interno y cada ángulo externo de un decágono regular?#

¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo externo mide 24°?#

¿Cuánto miden la apotema y el radio de un cuadrado de 12 cm de lado?#

¿Cuál es el área de un hexágono regular de 12 cm de lado?#

¿Puede un pentágono regular tener 8 cm de lado y 4 cm de apotema?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)