Reflexión y rotación de figuras: cómo trazar su imagen en el plano

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 3 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 9 min de lectura

Un espejo y una rueda que gira producen dos de los movimientos más comunes de la geometría: la reflexión y la rotación. Las dos son isometrías: mueven una figura sin deformarla, así que la imagen tiene los mismos lados y los mismos ángulos que la original.

En esta lección vas a aprender a trazar la imagen reflejada de una figura con respecto a una recta y la imagen de una figura sometida a una rotación, primero con instrumentos de dibujo y después con coordenadas. Las reglas que verás sirven también para comprobar a mano lo que muestra un programa de geometría dinámica.

Definición

La reflexión respecto a una recta l lleva cada punto P a un punto P′ tal que l es la mediatriz del segmento PP′; si P está en l, P′ = P. La rotación de centro O y ángulo α lleva cada punto P a un punto P′ tal que OP′ = OP y el ángulo POP′ mide α; el centro O no se mueve. Por convención, un ángulo positivo indica un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj (antihorario) y uno negativo, en el sentido de las manecillas (horario).

Cómo trazar la reflexión de una figura respecto a una recta#

La reflexión conserva las distancias y la relación de «estar entre»: si C está entre A y B, su imagen C′ está entre A′ y B′. Por eso la imagen del segmento AB es el segmento A′B′, y para reflejar un polígono basta con reflejar sus vértices:

Desde cada vértice traza, con la escuadra, una perpendicular a la recta l.
Mide la distancia del vértice a l y marca, sobre la perpendicular y del otro lado de l, un punto a la misma distancia. Ese es el vértice imagen.
Repite con todos los vértices y únelos en el mismo orden.
Comprueba: cada lado de la imagen mide lo mismo que su homólogo, y el sentido de recorrido de los vértices queda invertido.

Si un vértice está sobre la recta, es su propia imagen. Si la figura corta la recta, la parte que queda de cada lado pasa al otro lado.

La reflexión en el plano cartesiano#

Con coordenadas, las reflexiones respecto a las rectas más usadas tienen reglas sencillas:

Recta de reflexión	Imagen de P(x, y)	Ejemplo con P(5, 2)
Eje x (y = 0)	(x, −y)	(5, −2)
Eje y (x = 0)	(−x, y)	(−5, 2)
Recta y = x	(y, x)	(2, 5)
Recta y = −x	(−y, −x)	(−2, −5)
Recta vertical x = a	(2a − x, y)	Recta x = 1 (a = 1): (−3, 2)
Recta horizontal y = b	(x, 2b − y)	Recta y = 4 (b = 4): (5, 6)

Ejemplo. Refleja el triángulo de vértices A(1, 4), B(3, 1) y C(5, 3) respecto a la recta y = x.

Solución. Con la recta y = x se intercambian las coordenadas: A′(4, 1), B′(1, 3) y C′(3, 5). Para comprobarlo, el punto medio de AA′ es (5/2, 5/2), que está sobre y = x, y el segmento AA′ tiene pendiente (1 − 4) ÷ (4 − 1) = −1, así que es perpendicular a la recta y = x, de pendiente 1. Los lados se conservan; por ejemplo, AB = A′B′ = √13.

Ejemplo. Refleja el segmento de extremos P(−1, 3) y Q(2, 6) respecto a la recta y = 2.

Solución. Con una recta horizontal y = b, la ordenada pasa a ser 2b − y. Aquí 2b = 4, así que P′(−1, 4 − 3) = P′(−1, 1) y Q′(2, 4 − 6) = Q′(2, −2). La imagen es el segmento P′Q′, que mide lo mismo que PQ: √(3² + 3²) = √18 = 3√2.

Cómo trazar una rotación con compás y transportador#

Une el centro O con un vértice A mediante un segmento.
Con el transportador, a partir de OA, mide el ángulo de giro en el sentido indicado y traza una semirrecta desde O.
Con el compás, toma la distancia OA y márcala sobre esa semirrecta: ese punto es A′.
Repite con los demás vértices y únelos en el mismo orden.

A diferencia de la reflexión, la rotación no invierte el sentido de recorrido de los vértices. Cada vértice describe un arco de circunferencia con centro en O, y todos giran el mismo ángulo. Una rotación de 360° deja todo como estaba, y girar −90° (horario) es lo mismo que girar 270° (antihorario).

Rotaciones de 90°, 180° y 270° con centro en el origen#

Fórmula

90°: (x, y) → (−y, x) · 180°: (x, y) → (−x, −y) · 270°: (x, y) → (y, −x)

Ángulos medidos en sentido antihorario y centro en el origen (0, 0).

Para recordar la regla de 90°, piensa en el punto (1, 0): al girar un cuarto de vuelta en sentido antihorario llega a (0, 1), y la regla (−y, x) da justamente (0, 1).

Ejemplo. Rota el triángulo A(2, 1), B(5, 1), C(5, 3) 90° y 180° en sentido antihorario, con centro en el origen.

Solución. Con 90°, (x, y) → (−y, x): A′(−1, 2), B′(−1, 5) y C′(−3, 5). Con 180°, (x, y) → (−x, −y): A″(−2, −1), B″(−5, −1) y C″(−5, −3). El origen está a la misma distancia de cada vértice y de su imagen; por ejemplo, OC = OC′ = √34. El lado AB, que era horizontal, queda vertical con el giro de 90° y vuelve a ser horizontal con el de 180°.

Rotar alrededor de otro centro#

Si el centro es C(a, b) y no el origen, se trabaja en tres pasos: se calcula la posición del punto respecto al centro (restando a y b), se aplica la regla del giro y se vuelven a sumar a y b.

Ejemplo. Rota P(4, 3) 90° en sentido antihorario alrededor de C(1, 1).

Solución. Respecto a C, el punto está en (4 − 1, 3 − 1) = (3, 2). Al girar 90°, (3, 2) → (−2, 3). Se suman otra vez las coordenadas del centro: P′ = (−2 + 1, 3 + 1) = (−1, 4). Se comprueba que CP = CP′ = √13 y que los segmentos CP y CP′ son perpendiculares: sus pendientes son 2/3 y −3/2, cuyo producto es −1.

Dos reflexiones seguidas forman una rotación#

Reflexión y rotación están muy relacionadas. Si un punto se refleja respecto a dos rectas que se cortan en O, el resultado es una rotación de centro O cuyo ángulo es el doble del ángulo entre las rectas.

Ejemplo. Refleja P(3, 1) primero respecto al eje x y luego respecto al eje y. ¿Qué transformación equivale a las dos?

Solución. Respecto al eje x, P(3, 1) → (3, −1); respecto al eje y, (3, −1) → (−3, −1). En general, (x, y) → (x, −y) → (−x, −y), que es la rotación de 180° con centro en el origen. Los ejes forman un ángulo de 90°, y el giro es el doble: 180°.

El orden importa cuando el ángulo entre las rectas no es de 90°. Reflejar primero respecto al eje x y luego respecto a la recta y = x, que forman 45°, da (x, y) → (x, −y) → (−y, x): una rotación de 90°. En el orden contrario se obtiene (x, y) → (y, x) → (y, −x): una rotación de −90°.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la imagen del punto (−3, 5) al reflejarlo respecto a la recta y = x?#

Con la recta y = x se intercambian las coordenadas, así que la imagen es (5, −3). Se comprueba que la recta es la mediatriz del segmento: el punto medio de (−3, 5) y (5, −3) es (1, 1), que está sobre y = x, y la pendiente del segmento es (−3 − 5) ÷ (5 + 3) = −1, perpendicular a la recta, cuya pendiente es 1.

¿Cuál es la imagen del punto (4, −2) al rotarlo 90° en sentido antihorario alrededor del origen?#

La regla de la rotación de 90° antihoraria con centro en el origen es (x, y) → (−y, x). Con x = 4 e y = −2 se obtiene (−(−2), 4) = (2, 4). Se comprueba que la distancia al origen no cambia: √(4² + 2²) = √20 para los dos puntos, y que los segmentos que los unen con el origen son perpendiculares.

¿Qué punto se obtiene al rotar (6, 2) 180° alrededor del punto (3, 0)?#

Respecto al centro, el punto está en (6 − 3, 2 − 0) = (3, 2). Al girar 180°, (3, 2) → (−3, −2). Se suman de nuevo las coordenadas del centro: (−3 + 3, −2 + 0) = (0, −2). Se comprueba que el centro (3, 0) es el punto medio entre (6, 2) y (0, −2), como ocurre siempre en un giro de media vuelta.

¿Respecto a qué recta se refleja el punto (1, 7) para obtener el punto (5, 7)?#

Los dos puntos tienen la misma ordenada, así que el segmento que los une es horizontal y la recta de reflexión, que es su mediatriz, es vertical. Pasa por el punto medio, de abscisa (1 + 5) ÷ 2 = 3. La recta es x = 3. Se comprueba con la regla 2a − x: 2 · 3 − 1 = 5.

¿Qué vértices tiene la imagen del cuadrado (1, 1), (3, 1), (3, 3), (1, 3) al rotarlo 270° en sentido antihorario alrededor del origen?#

La regla de 270° antihorario (igual a 90° horario) es (x, y) → (y, −x). Los vértices imagen son (1, −1), (1, −3), (3, −3) y (3, −1). La rotación es una isometría, así que la imagen sigue siendo un cuadrado de lado 2 y área 4, y sus vértices se recorren en el mismo sentido que los del original.