Perímetro y área de polígonos, también en el plano cartesiano

Cercar un lote, saber cuánta pintura lleva una pared o cuánto zacate se necesita para un jardín son problemas de perímetro y área. En décimo año se retoman las fórmulas conocidas desde la primaria y se aplican a polígonos de todo tipo, también a los irregulares, que se descomponen en figuras más simples o se ubican en el plano cartesiano.

En esta lección vas a repasar los elementos de un polígono, a calcular perímetros y áreas en distintos contextos, a usar el teorema de Pitágoras para hallar las medidas que faltan y a medir polígonos dados por las coordenadas de sus vértices.

Los elementos de un polígono#

• Lados, vértices y ángulos: un polígono de n lados tiene n vértices y n ángulos internos.
• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Desde cada vértice salen n − 3 diagonales y cada diagonal une dos vértices, así que el total es n(n − 3) ÷ 2.
• Altura: en triángulos y cuadriláteros, es el segmento perpendicular a una base que se usa para calcular el área.

Ejemplo. ¿Cuántas diagonales tienen un pentágono, un hexágono y un octágono?

Solución. Con n(n − 3) ÷ 2: el pentágono tiene 5 · 2 ÷ 2 = 5 diagonales, el hexágono 6 · 3 ÷ 2 = 9 y el octágono 8 · 5 ÷ 2 = 20.

Fórmulas de las figuras conocidas y relaciones métricas#

Figura	Área	Qué es cada dato
Triángulo	A = b · h ÷ 2	b: base; h: altura sobre esa base
Rectángulo	A = b · h	b: base; h: altura
Cuadrado	A = l²	l: lado
Paralelogramo	A = b · h	h: distancia entre los lados paralelos
Trapecio	A = (B + b) · h ÷ 2	B y b: bases paralelas; h: altura
Rombo	A = D · d ÷ 2	D y d: diagonales
Polígono regular	A = P · a ÷ 2	P: perímetro; a: apotema

Cuando falta la medida de un lado o de una altura, casi siempre hay un triángulo rectángulo escondido, y el teorema de Pitágoras, a² + b² = c², permite calcularla. Esas relaciones entre las medidas de una figura se llaman relaciones métricas.

Ejemplo. Un lote tiene forma de trapecio rectángulo: sus bases paralelas miden 18 m y 12 m, y el lado perpendicular a ellas mide 8 m. Calcula su perímetro y su área.

Solución. El lado inclinado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 18 − 12 = 6 m y 8 m: √(6² + 8²) = √100 = 10 m. El perímetro es 18 + 12 + 8 + 10 = 48 m. El área es (18 + 12) · 8 ÷ 2 = 120 m².

Ejemplo. Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 12 cm. Calcula su lado, su perímetro y su área.

Solución. Las diagonales de un rombo se cortan en su punto medio y son perpendiculares, así que cada lado es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 8 cm y 6 cm: √(8² + 6²) = 10 cm. El perímetro es 4 · 10 = 40 cm y el área es 16 · 12 ÷ 2 = 96 cm².

Polígonos irregulares: descomponer en figuras conocidas#

El programa del MEP recomienda descomponer un polígono irregular en triángulos cuyas medidas se conozcan o se puedan averiguar, calcular el área de cada parte y sumar. También sirve descomponerlo en rectángulos y triángulos. El perímetro, en cambio, se calcula solo con los lados del borde, no con los segmentos que se trazaron por dentro.

Ejemplo. La fachada de una casa tiene forma de pentágono: un rectángulo de 8 m de ancho y 3 m de alto, con un triángulo encima cuyo vértice está 2 m por encima del rectángulo, justo en el centro. Calcula el área y el perímetro de la fachada.

Solución. Área del rectángulo: 8 · 3 = 24 m². Área del triángulo: 8 · 2 ÷ 2 = 8 m². Área total: 24 + 8 = 32 m². Para el perímetro hacen falta los lados inclinados del techo: cada uno es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de 4 m (la mitad del ancho) y 2 m, así que mide √(4² + 2²) = √20 ≈ 4,47 m. El perímetro es 8 + 3 + 3 + 2 · √20 ≈ 22,94 m: la base, las dos paredes y los dos lados del techo.

Ejemplo. Se quiere cercar el lote con forma de trapecio del ejemplo anterior con una malla que cuesta ₡3500 el metro (precio inventado para practicar). ¿Cuánto cuesta la malla?

Solución. El perímetro del lote es 48 m, así que la malla cuesta 48 · 3500 = ₡168 000. Para cercar se usa el perímetro, no el área: el área, 120 m², serviría en cambio para saber cuánto zacate se necesita para cubrir el lote.

Polígonos en el plano cartesiano#

Si se conocen las coordenadas de los vértices, el perímetro se obtiene lado por lado con la fórmula de la distancia entre dos puntos. Para el área hay un método que solo usa restas: se encierra el polígono en el rectángulo más pequeño con lados paralelos a los ejes, y al área de ese rectángulo se le restan las de las figuras que sobran, que suelen ser triángulos rectángulos.

Ejemplo. Calcula el área y el perímetro del triángulo con vértices A(1, 1), B(7, 3) y C(3, 6).

Solución. El rectángulo que lo encierra va de x = 1 a x = 7 y de y = 1 a y = 6: mide 6 por 5 y su área es 30. Sobran tres triángulos rectángulos: el del lado AB, con catetos 6 y 2 (área 6); el del lado BC, con catetos 4 y 3 (área 6), y el del lado CA, con catetos 2 y 5 (área 5). El área del triángulo es 30 − 6 − 6 − 5 = 13 unidades cuadradas. Los lados miden AB = √(6² + 2²) = √40 ≈ 6,32, BC = √(4² + 3²) = 5 y CA = √(2² + 5²) = √29 ≈ 5,39, así que el perímetro es de unas 16,71 unidades.

Ejemplo. Un jardín tiene forma de cuadrilátero, con vértices A(0, 0), B(8, 0), C(10, 6) y D(2, 8), en metros. ¿Cuál es su área?

Solución. El rectángulo que lo encierra va de x = 0 a x = 10 y de y = 0 a y = 8: su área es 80 m². Sobran tres triángulos rectángulos: entre B, C y la esquina (10, 0), con catetos 2 y 6 (área 6); entre C, D y la esquina (10, 8), con catetos 8 y 2 (área 8), y entre D, A y la esquina (0, 8), con catetos 2 y 8 (área 8). El lado AB está sobre el borde del rectángulo, así que ahí no sobra nada. El área del jardín es 80 − 6 − 8 − 8 = 58 m².

Para comprobarlo se puede seguir otro camino: la diagonal AC divide el jardín en dos triángulos. El triángulo ABC tiene base AB = 8 sobre el eje x y altura 6, así que su área es 24 m². El triángulo ACD, con el método del rectángulo, tiene área 80 − 30 − 8 − 8 = 34 m². En total, 24 + 34 = 58 m²: los dos caminos dan lo mismo.

Problemas con polígonos regulares#

En un polígono regular de n lados que miden l, el perímetro es P = n · l. Su área se calcula con la apotema a, que es la distancia del centro al punto medio de un lado: A = P · a ÷ 2. La fórmula sale de dividir el polígono en n triángulos iguales con vértice en el centro, cada uno de base l y altura a.

Ejemplo. Un piso se va a cubrir con mosaicos en forma de hexágono regular de 10 cm de lado. ¿Cuál es el área de cada mosaico y cuántos se necesitan, como mínimo, para cubrir 2 m² sin contar desperdicio?

Solución. En el hexágono regular el radio mide lo mismo que el lado, 10 cm, y la apotema es un cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa 10 cm y el otro cateto de 5 cm (la mitad del lado): a = √(10² − 5²) = √75 ≈ 8,66 cm. El perímetro es 6 · 10 = 60 cm y el área es 60 · √75 ÷ 2 ≈ 259,8 cm². Como 2 m² son 20 000 cm², hacen falta 20 000 ÷ 259,8 ≈ 76,98, es decir, al menos 77 mosaicos.

La apotema no es un dato libre: un hexágono regular de 10 cm de lado solo puede tener una apotema, √75 cm. Si un problema da el lado y una apotema que no casan, la figura no existe. Cómo calcular la apotema y el radio de cualquier polígono regular se estudia en la lección sobre sus ángulos, apotema y radio.

Ponte a prueba#

¿Cuántas diagonales tiene un decágono?#

¿Cuáles son el perímetro y el área de un rombo con diagonales de 10 cm y 24 cm?#

¿Cuáles son el área y el perímetro del triángulo con vértices (−2, 1), (4, 1) y (1, 7)?#

¿Cuánto cuesta cercar un terreno rectangular de 30 m por 18 m si el metro de malla cuesta ₡4000?#

¿Qué área tiene el cuadrilátero de vértices (0, 0), (6, 0), (6, 4) y (2, 7)?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)