Traslación, homotecia y composición de transformaciones en el plano

Q: ¿Cuál es la imagen del punto (−4, 6) mediante la traslación (x + 5, y − 8)?

Se suma 5 a la abscisa y se resta 8 a la ordenada: (−4 + 5, 6 − 8) = (1, −2). El punto se movió 5 unidades a la derecha y 8 hacia abajo, una distancia de √(5² + 8²) = √89. Todos los puntos del plano se mueven igual con esa traslación.

Q: ¿Cuál es la imagen del punto (3, −2) con una homotecia de centro (1, 2) y razón 2?

Respecto al centro, el punto está en (3 − 1, −2 − 2) = (2, −4). Se multiplica por la razón: (4, −8). Se suma de nuevo el centro: (1 + 4, 2 − 8) = (5, −6). La imagen está sobre la recta que une el centro con el punto, al doble de distancia del centro.

Q: ¿Qué traslación lleva el punto (−1, 4) al punto (3, −2)?

El vector de traslación es la diferencia entre las coordenadas de la imagen y las de la preimagen: (3 − (−1), −2 − 4) = (4, −6). La traslación es (x + 4, y − 6): 4 unidades a la derecha y 6 hacia abajo. La distancia recorrida es √(4² + 6²) = √52 = 2√13.

Q: ¿Da lo mismo trasladar el punto (1, 0) con (x + 2, y) y luego rotarlo 90° antihorario alrededor del origen, que hacerlo en el orden contrario?

No. Trasladando primero: (1, 0) → (3, 0) y, al rotar 90°, (3, 0) → (0, 3). Rotando primero: (1, 0) → (0, 1) y, al trasladar, (0, 1) → (2, 1). Como (0, 3) y (2, 1) son distintos, el orden cambia el resultado: la rotación también gira el desplazamiento de la traslación cuando se aplica después.

Q: ¿Qué perímetro y qué área tiene la imagen de un cuadrado de lado 3 con una homotecia de razón −2?

Con una homotecia de razón k, cada longitud se multiplica por |k| = 2, así que el lado de la imagen mide 6 y su perímetro, 4 · 6 = 24. El área se multiplica por k² = 4: pasa de 9 a 36. El signo negativo solo indica que la imagen queda del otro lado del centro.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 4 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 9 min de lectura

En el plano cartesiano, cada transformación se puede escribir como una regla que dice qué les pasa a las coordenadas de un punto. Con esa regla se calcula la imagen de cualquier punto y, uniendo las imágenes de los vértices, se traza la figura que resulta. En esta lección vas a trabajar con la traslación y la homotecia, a repasar la rotación y a aplicar varias transformaciones seguidas, lo que se llama una composición.

La homotecia de puntos y de polígonos ya se trabajó en octavo año; en undécimo se combina con las demás transformaciones. Se usa la notación g(A) = A′ para indicar que A′ es la imagen del punto A mediante la transformación g.

Definición

La traslación de vector v = (a, b) es la transformación T(x, y) = (x + a, y + b). La homotecia de centro C(c₁, c₂) y razón k ≠ 0 es H(x, y) = (c₁ + k(x − c₁), c₂ + k(y − c₂)): cada punto se aleja del centro, o se acerca a él, en un factor |k|. La composición de dos transformaciones f y g consiste en aplicar primero f y luego g a la imagen obtenida: P → f(P) → g(f(P)).

La traslación en el plano cartesiano#

En una traslación de vector (a, b), cada punto se mueve a unidades en horizontal (a la derecha si a > 0, a la izquierda si a < 0) y b unidades en vertical (hacia arriba si b > 0, hacia abajo si b < 0). Se suele escribir como (x + a, y + b); por ejemplo, (x − 2, y + 3) significa «2 unidades a la izquierda y 3 hacia arriba».

Ejemplo. Traslada el cuadrilátero de vértices A(1, 1), B(4, 1), C(5, 3) y D(2, 3) mediante (x − 2, y + 3).

Solución. Se resta 2 a cada abscisa y se suma 3 a cada ordenada: A′(−1, 4), B′(2, 4), C′(3, 6) y D′(0, 6). La figura imagen es congruente con la original; por ejemplo, AB = A′B′ = 3. Además, los segmentos AA′, BB′, CC′ y DD′ son paralelos y miden lo mismo, √(2² + 3²) = √13, porque todos representan el mismo vector.

Ejemplo. ¿Qué traslación lleva el punto P(3, −2) a P′(7, 1)? ¿Cuál es la imagen de Q(−5, 0) con esa misma traslación?

Solución. El vector es la diferencia de las coordenadas: (7 − 3, 1 − (−2)) = (4, 3), es decir, la traslación (x + 4, y + 3). Cada punto se desplaza √(4² + 3²) = 5 unidades. La imagen de Q es (−5 + 4, 0 + 3) = (−1, 3).

La homotecia en el plano cartesiano#

Fórmula

Centro en el origen: H(x, y) = (kx, ky) · Centro C(c₁, c₂): H(x, y) = (c₁ + k(x − c₁), c₂ + k(y − c₂))

Las longitudes se multiplican por |k| y las áreas por k². Si k < 0, la imagen queda del otro lado del centro.

Ejemplo. Aplica al triángulo A(2, 1), B(4, 1), C(2, 4) una homotecia de centro en el origen y razón 2, y otra de centro en el origen y razón −1/2.

Solución. Con k = 2 se duplican las coordenadas: A′(4, 2), B′(8, 2) y C′(4, 8). Con k = −1/2 se multiplican por −1/2: A″(−1, −1/2), B″(−2, −1/2) y C″(−1, −2). El área del triángulo original es 2 · 3 ÷ 2 = 3; la de A′B′C′ es 2² · 3 = 12, y la de A″B″C″, (−1/2)² · 3 = 3/4.

Ejemplo. Halla la imagen de P(5, 3) con una homotecia de centro C(1, 1) y razón 3.

Solución. Se calcula la posición de P respecto al centro: (5 − 1, 3 − 1) = (4, 2). Se multiplica por 3: (12, 6). Se suma de nuevo el centro: P′(1 + 12, 1 + 6) = P′(13, 7). Se comprueba que C, P y P′ están alineados y que CP′ = 3 · CP, porque CP = √20 y CP′ = √180 = 3√20.

Repaso: la rotación con coordenadas#

Para combinar transformaciones también se usan las rotaciones con centro en el origen: de 90° antihorario, (x, y) → (−y, x); de 180°, (x, y) → (−x, −y), y de 270° antihorario, (x, y) → (y, −x). Si el centro es otro punto, se resta el centro, se gira y se vuelve a sumar el centro, igual que en la homotecia.

Ejemplo. Rota el punto A(3, −1) 90° en sentido antihorario alrededor de B(1, 2).

Solución. Respecto a B, el punto está en (3 − 1, −1 − 2) = (2, −3). Al girar 90°, (2, −3) → (3, 2). Se suma el centro: A′(3 + 1, 2 + 2) = A′(4, 4). Se comprueba que BA = BA′ = √13.

Composición de transformaciones: el orden importa#

Para aplicar varias transformaciones seguidas a una figura, se transforma cada vértice paso a paso: la imagen del primer paso es la preimagen del segundo, y así sucesivamente. En general, el orden cambia el resultado.

Ejemplo. Al punto P(2, 1) se le aplican la traslación (x + 3, y) y la homotecia de centro en el origen y razón 2. Compara el resultado en los dos órdenes posibles.

Solución. Primero la traslación y luego la homotecia: (2, 1) → (5, 1) → (10, 2). Primero la homotecia y luego la traslación: (2, 1) → (4, 2) → (7, 2). Los resultados son distintos: en el primer orden, la homotecia también duplica el desplazamiento de 3 unidades, que se vuelve de 6.

Hay casos en que el orden no importa. Una reflexión respecto a una recta que pasa por el origen y una homotecia con centro en el origen dan el mismo resultado en cualquier orden. Y dos traslaciones seguidas equivalen siempre a una sola, cuyo vector es la suma: (x + 2, y − 1) seguida de (x − 5, y + 4) es (x − 3, y + 3).

Ejemplo. Al triángulo A(1, 1), B(3, 1), C(1, 4) aplícale, en este orden: a) la traslación (x + 2, y − 1); b) una homotecia de centro D(3, 0) y razón 2; c) una reflexión respecto al eje x.

Solución. a) A₁(3, 0), B₁(5, 0) y C₁(3, 3). b) Respecto a D, esos puntos están en (0, 0), (2, 0) y (0, 3); al multiplicar por 2 quedan (0, 0), (4, 0) y (0, 6), y al sumar D se obtiene A₂(3, 0), B₂(7, 0) y C₂(3, 6). c) Se cambia el signo de las ordenadas: A₃(3, 0), B₃(7, 0) y C₃(3, −6). El triángulo original tiene área 2 · 3 ÷ 2 = 3 y el final, 4 · 6 ÷ 2 = 12 = 2² · 3, porque solo la homotecia cambia las medidas.

Escribir una composición como una sola regla#

Cuando las transformaciones tienen reglas sencillas, se puede encontrar la regla de la composición sustituyendo una en la otra. Así se calcula de una vez la imagen de cualquier punto.

Ejemplo. Halla la regla de la composición «primero la traslación (x + 1, y + 2) y luego la rotación de 90° antihoraria con centro en el origen» y úsala con el punto (3, 0).

Solución. La traslación lleva (x, y) a (x + 1, y + 2). La rotación cambia (u, v) por (−v, u); con u = x + 1 y v = y + 2 queda (−(y + 2), x + 1) = (−y − 2, x + 1). Para (3, 0): (−0 − 2, 3 + 1) = (−2, 4). Se comprueba paso a paso: (3, 0) → (4, 2) → (−2, 4).

Cómo trazar la figura que resulta#

Escribe las coordenadas de los vértices de la figura original.
Aplica a cada vértice la primera transformación y anota las imágenes; luego aplica la segunda a esas imágenes, y así hasta terminar.
Ubica los vértices finales y únelos en el mismo orden que los originales.
Revisa: con traslaciones, reflexiones y rotaciones los lados no cambian; con una homotecia de razón k, cada lado se multiplica por |k|.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la imagen del punto (−4, 6) mediante la traslación (x + 5, y − 8)?#

Se suma 5 a la abscisa y se resta 8 a la ordenada: (−4 + 5, 6 − 8) = (1, −2). El punto se movió 5 unidades a la derecha y 8 hacia abajo, una distancia de √(5² + 8²) = √89. Todos los puntos del plano se mueven igual con esa traslación.

¿Cuál es la imagen del punto (3, −2) con una homotecia de centro (1, 2) y razón 2?#

Respecto al centro, el punto está en (3 − 1, −2 − 2) = (2, −4). Se multiplica por la razón: (4, −8). Se suma de nuevo el centro: (1 + 4, 2 − 8) = (5, −6). La imagen está sobre la recta que une el centro con el punto, al doble de distancia del centro.

¿Qué traslación lleva el punto (−1, 4) al punto (3, −2)?#

El vector de traslación es la diferencia entre las coordenadas de la imagen y las de la preimagen: (3 − (−1), −2 − 4) = (4, −6). La traslación es (x + 4, y − 6): 4 unidades a la derecha y 6 hacia abajo. La distancia recorrida es √(4² + 6²) = √52 = 2√13.

¿Da lo mismo trasladar el punto (1, 0) con (x + 2, y) y luego rotarlo 90° antihorario alrededor del origen, que hacerlo en el orden contrario?#

No. Trasladando primero: (1, 0) → (3, 0) y, al rotar 90°, (3, 0) → (0, 3). Rotando primero: (1, 0) → (0, 1) y, al trasladar, (0, 1) → (2, 1). Como (0, 3) y (2, 1) son distintos, el orden cambia el resultado: la rotación también gira el desplazamiento de la traslación cuando se aplica después.

¿Qué perímetro y qué área tiene la imagen de un cuadrado de lado 3 con una homotecia de razón −2?#

Con una homotecia de razón k, cada longitud se multiplica por |k| = 2, así que el lado de la imagen mide 6 y su perímetro, 4 · 6 = 24. El área se multiplica por k² = 4: pasa de 9 a 36. El signo negativo solo indica que la imagen queda del otro lado del centro.