Propiedades de los logaritmos y cómo simplificar expresiones

Q: ¿Cómo se desarrolla log₂(8x⁵) si x es positivo?

Primero se separa el producto: log2(8x5) = log2 8 + log2(x5). Luego, log2 8 = 3 porque 23 = 8, y por la propiedad de la potencia, log2(x5) = 5 log2 x. El resultado es 3 + 5 log2 x.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 12 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 8 min de lectura

Un logaritmo es un exponente: log_a M = m significa que a^m = M. Por eso los logaritmos heredan las leyes de las potencias, y de ahí salen sus propiedades. Con ellas, una expresión complicada se puede desarrollar en varios logaritmos sencillos o, al revés, compactar en uno solo.

El escocés John Napier (1550-1617) publicó su estudio de los logaritmos en 1614, en la obra Mirifici logarithmorum canonis descriptio. En el prefacio explicaba que su método cambiaba las multiplicaciones, las divisiones y las extracciones de raíces cuadradas y cúbicas de números grandes por operaciones mucho más simples: sumas y restas, y divisiones entre dos o entre tres. Eso es justamente lo que hacen las propiedades que vas a estudiar: convierten productos en sumas y cocientes en restas.

Idea clave

Para una base a > 0, a ≠ 1, y números positivos M y N, se cumplen las propiedades que pide el programa del MEP: log_a 1 = 0 (logaritmo de la unidad); log_a a = 1 (logaritmo de la base); log_a(M^k) = k · log_a M (logaritmo de una potencia); log_a(M · N) = log_a M + log_a N (logaritmo de un producto); log_a(M/N) = log_a M − log_a N (logaritmo de un cociente), y log_a M = log_b M / log_b a (cambio de base, con b > 0 y b ≠ 1).

De dónde salen: las leyes de potencias#

El programa del MEP pide deducir las propiedades de los logaritmos a partir de las de las potencias. La idea siempre es la misma: se escriben los números como potencias de la base, se aplica la ley de potencias y se vuelve a la forma logarítmica.

Ley de potencias	Propiedad del logaritmo
a⁰ = 1	log_a 1 = 0
a¹ = a	log_a a = 1
(a^m)^k = a^{m · k}	log_a(M^k) = k · log_a M
a^m · aⁿ = a^{m + n}	log_a(M · N) = log_a M + log_a N
a^m ÷ aⁿ = a^{m − n}	log_a(M/N) = log_a M − log_a N

Ejemplo. Deduce la propiedad del logaritmo de un producto.

Solución. Sean m = log_a M y n = log_a N. En forma exponencial, M = a^m y N = aⁿ. Entonces M · N = a^m · aⁿ = a^{m + n} y, al volver a la forma logarítmica, log_a(M · N) = m + n = log_a M + log_a N. El producto de los números se convirtió en una suma de logaritmos.

Logaritmo de la unidad, de la base y de una potencia#

Las dos primeras propiedades son inmediatas: log_a 1 = 0 porque a⁰ = 1, y log_a a = 1 porque a¹ = a. Así, log₇ 1 = 0, log 10 = 1, ln e = 1 y log_2/3(2/3) = 1. Al juntar la propiedad de la potencia con la de la base se obtiene otra muy útil: log_a(a^k) = k · log_a a = k.

Ejemplo. Calcula log₂(8⁵), log₅ √5 y log₄ ∛16.

Solución. log₂(8⁵) = 5 · log₂ 8 = 5 · 3 = 15. Una raíz es una potencia de exponente fraccionario: √5 = 5^1/2, así que log₅ √5 = (1/2) · log₅ 5 = 1/2. Del mismo modo, ∛16 = 16^1/3, y log₄ ∛16 = (1/3) · log₄ 16 = (1/3) · 2 = 2/3.

Logaritmo de un producto y de un cociente#

El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, y el logaritmo de un cociente es el logaritmo del dividendo menos el del divisor. Estas propiedades sirven en los dos sentidos: para separar un logaritmo en varios y para juntar varios en uno.

Ejemplo. Calcula log₂(8 · 32) con la propiedad del producto y comprueba el resultado.

Solución. log₂(8 · 32) = log₂ 8 + log₂ 32 = 3 + 5 = 8. Comprobación: 8 · 32 = 256 y 2⁸ = 256.

Ejemplo. Calcula log₆ 4 + log₆ 9 y log₂ 80 − log₂ 5.

Solución. Ninguno de esos logaritmos es exacto por separado, pero juntos sí: log₆ 4 + log₆ 9 = log₆(4 · 9) = log₆ 36 = 2, y log₂ 80 − log₂ 5 = log₂(80/5) = log₂ 16 = 4.

Cambio de base#

Fórmula

log_a M = log_b M / log_b a

Con b > 0 y b ≠ 1. Lo más práctico es usar b = 10 o b = e, que tienen tecla en la calculadora.

Se deduce así: si x = log_a M, entonces a^x = M. Al tomar logaritmo en base b en los dos lados, log_b(a^x) = log_b M, y por la propiedad de la potencia, x · log_b a = log_b M. Al despejar x se obtiene la fórmula.

Ejemplo. Calcula log₂ 10 y log₃ 50 con calculadora, y log₈ 32 sin calculadora.

Solución. log₂ 10 = log 10 / log 2 = 1/log 2 ≈ 3,322. log₃ 50 = log 50 / log 3 ≈ 3,561; con ln se obtiene lo mismo, ln 50 / ln 3 ≈ 3,561. Para log₈ 32 conviene la base 2: log₈ 32 = log₂ 32 / log₂ 8 = 5/3.

Cómo simplificar expresiones algebraicas#

En una expresión con variables, las propiedades valen siempre que los argumentos sean positivos. Por eso, en estos ejemplos se supone que x > 0, y > 0 y z > 0.

Ejemplo. Desarrolla log_a(x³y/z²).

Solución. Primero el cociente, después el producto y por último las potencias: log_a(x³y/z²) = log_a(x³y) − log_a(z²) = log_a(x³) + log_a y − log_a(z²) = 3 log_a x + log_a y − 2 log_a z.

Ejemplo. Desarrolla log(√x/(10y)).

Solución. log(√x/(10y)) = log √x − log(10y) = (1/2) log x − (log 10 + log y) = (1/2) log x − 1 − log y. Ojo con el paréntesis: el signo menos afecta a todo el logaritmo del divisor.

Ejemplo. Escribe como un solo logaritmo: 2 log₃ x + log₃ y − (1/2) log₃ z.

Solución. Primero los coeficientes pasan a ser exponentes: log₃(x²) + log₃ y − log₃ √z. Luego la suma se convierte en producto y la resta, en cociente: log₃(x²y/√z).

Ejemplo. Simplifica log₂ 12 + log₂ 6 − log₂ 9 y 2 log 5 + log 4.

Solución. En el primero, log₂(12 · 6/9) = log₂(72/9) = log₂ 8 = 3. En el segundo, 2 log 5 + log 4 = log 25 + log 4 = log 100 = 2.

Errores frecuentes#

El logaritmo de una suma no es la suma de los logaritmos: log(2 + 8) = log 10 = 1, pero log 2 + log 8 = log 16 ≈ 1,204. No hay ninguna propiedad para log(M + N).
El logaritmo de un cociente no es el cociente de los logaritmos: log₂(64/4) = log₂ 16 = 4, pero log₂ 64 / log₂ 4 = 6/2 = 3.
Un exponente sobre el logaritmo no se baja: (log 1000)² = 3² = 9, mientras que log(1000²) = 2 log 1000 = 6.
Los argumentos tienen que ser positivos: log((−2)(−5)) = log 10 = 1 existe, pero no se puede separar como log(−2) + log(−5), porque esos logaritmos no existen.

Ponte a prueba#

¿Cuánto vale log₃ 18 − log₃ 2?#

Por la propiedad del cociente, la resta de logaritmos de igual base es el logaritmo del cociente: log₃ 18 − log₃ 2 = log₃(18/2) = log₃ 9. Como 3² = 9, el resultado es 2. Por separado, ninguno de los dos logaritmos es exacto, pero su diferencia sí.

¿Cómo se desarrolla log₂(8x⁵) si x es positivo?#

Primero se separa el producto: log₂(8x⁵) = log₂ 8 + log₂(x⁵). Luego, log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8, y por la propiedad de la potencia, log₂(x⁵) = 5 log₂ x. El resultado es 3 + 5 log₂ x.

¿Es cierto que log(3 + 7) = log 3 + log 7?#

No. A la izquierda, log(3 + 7) = log 10 = 1. A la derecha, por la propiedad del producto, log 3 + log 7 = log 21, que con calculadora da aproximadamente 1,322. Como los resultados son distintos, la igualdad es falsa: la suma de logaritmos corresponde a un producto, no a una suma.

¿Cuánto vale log₄ 32?#

32 no es una potencia entera de 4, pero 4 y 32 son potencias de 2. Con el cambio de base a la base 2: log₄ 32 = log₂ 32 / log₂ 4 = 5/2. Se comprueba en forma exponencial: 4^5/2 = (√4)⁵ = 2⁵ = 32.

¿Cómo se escribe 3 log x − 2 log y como un solo logaritmo?#

Con x > 0 e y > 0, primero los coeficientes pasan a ser exponentes: 3 log x = log(x³) y 2 log y = log(y²). Luego la resta se convierte en cociente: 3 log x − 2 log y = log(x³/y²). Por ejemplo, con x = y = 10 los dos lados valen 3 − 2 = 1 y log(1000/100) = log 10 = 1.