Ecuaciones exponenciales y modelos de crecimiento y decrecimiento

En una ecuación exponencial la incógnita está en un exponente, como en 3^x = 81. Este tipo de ecuación aparece cuando se pregunta cuándo una cantidad que crece o decrece de forma exponencial alcanza cierto valor: cuántas horas tarda un cultivo de bacterias en llegar a un tamaño, o cuántos años tarda un ahorro en duplicarse.

En esta lección vas a resolver ecuaciones de la forma a^f(x) = a^g(x), donde f y g son expresiones lineales o cuadráticas, y a usar modelos exponenciales ya dados, como lo pide el programa del MEP: se da el modelo y se trata de aplicarlo, interpretar el resultado y discutir su sentido.

El método: igualar las bases y después los exponentes#

El método se justifica con la inyectividad de f(x) = a^x: como esta función no repite valores, si dos potencias de base a dan el mismo resultado, sus exponentes tienen que ser iguales. Para usarlo, los dos lados de la ecuación deben escribirse como potencias de la misma base, con ayuda de las leyes de potencias.

1. Escribe cada lado como una potencia de la misma base (por ejemplo, 8 = 2³, 1/9 = 3⁻² y √5 = 5^1/2).
2. Usa las leyes de potencias para que cada lado quede como una sola potencia.
3. Iguala los exponentes.
4. Resuelve la ecuación lineal o cuadrática que resulta.
5. Comprueba cada solución en la ecuación original.

Base	Primeras potencias
2	2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
3	3, 9, 27, 81, 243, 729
5	5, 25, 125, 625, 3125

Ecuaciones con exponentes lineales#

Ejemplo. Resuelve 3^{2x − 1} = 27.

Solución. Como 27 = 3³, la ecuación es 3^{2x − 1} = 3³. Se igualan los exponentes: 2x − 1 = 3, así que x = 2. Comprobación: 3^{2 · 2 − 1} = 3³ = 27.

Ejemplo. Resuelve 4^{x + 1} = 8^x.

Solución. Las dos bases son potencias de 2: 4 = 2² y 8 = 2³. Entonces (2²)^{x + 1} = (2³)^x, es decir, 2^{2x + 2} = 2^3x. Se igualan los exponentes: 2x + 2 = 3x, de donde x = 2. Comprobación: 4³ = 64 y 8² = 64.

Ejemplo. Resuelve (1/5)^x = 125.

Solución. Como 1/5 = 5⁻¹ y 125 = 5³, queda 5^−x = 5³. Entonces −x = 3 y x = −3. Comprobación: (1/5)⁻³ = 5³ = 125.

Ejemplo. Resuelve 9^x = √27.

Solución. Se escribe todo en base 3: 9 = 3² y √27 = (3³)^1/2 = 3^3/2. Queda 3^2x = 3^3/2, así que 2x = 3/2 y x = 3/4.

Ecuaciones con exponentes cuadráticos#

Si un exponente es cuadrático, al igualar los exponentes se obtiene una ecuación de segundo grado, que puede tener dos soluciones, una o ninguna.

Ejemplo. Resuelve 2^{x² − 3x} = 1/4.

Solución. Como 1/4 = 2⁻², se igualan los exponentes: x² − 3x = −2, o sea, x² − 3x + 2 = 0. Al factorizar, (x − 1)(x − 2) = 0, así que x = 1 o x = 2. Comprobación: 2^{1 − 3} = 2⁻² = 1/4 y 2^{4 − 6} = 2⁻² = 1/4.

Ejemplo. Resuelve 5^x² = 25^{x + 4}.

Solución. Como 25 = 5², el lado derecho es 5^{2x + 8}. Se igualan los exponentes: x² = 2x + 8, es decir, x² − 2x − 8 = 0, que se factoriza como (x − 4)(x + 2) = 0. Las soluciones son x = 4 y x = −2.

Ejemplo. Resuelve 3^{x² + 1} = 1/3.

Solución. Como 1/3 = 3⁻¹, se tiene x² + 1 = −1, o sea, x² = −2. Ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo, así que la ecuación no tiene solución en ℝ. También se ve sin calcular: el exponente x² + 1 vale al menos 1, así que el lado izquierdo vale al menos 3 y nunca 1/3.

Errores frecuentes#

• Igualar exponentes con bases distintas: en 2^x = 3^{x + 1} no se puede escribir x = x + 1. Si los dos lados no se pueden escribir con la misma base, hacen falta los logaritmos.
• Igualar antes de despejar la potencia: en 2^x + 3 = 11, primero se resta 3 para obtener 2^x = 8 = 2³, y entonces x = 3.
• Sumar exponentes en una suma de potencias: 2^x + 2^x no es 2^2x, sino 2 · 2^x = 2^{x + 1}.

Modelos de crecimiento exponencial#

El programa del MEP indica que en esta habilidad el modelo se proporciona: hay que reconocerlo, usarlo y analizar el resultado. Muchos modelos de crecimiento tienen la forma N(t) = N₀ · a^t/T, donde N₀ es la cantidad inicial (cuando t = 0) y la cantidad se multiplica por a cada T unidades de tiempo. Los datos de los problemas de esta lección son inventados para practicar.

Ejemplo. Un cultivo de laboratorio empieza con 500 bacterias y la población se duplica cada 3 horas, según el modelo N(t) = 500 · 2^t/3, con t en horas. ¿Cuántas bacterias hay a las 6 y a las 12 horas? ¿Cuándo habrá 32 000?

Solución. N(6) = 500 · 2² = 2000 y N(12) = 500 · 2⁴ = 8000. Para la última pregunta se plantea 500 · 2^t/3 = 32 000 y se divide entre 500: 2^t/3 = 64 = 2⁶. Se igualan los exponentes: t/3 = 6, así que t = 18. Habrá 32 000 bacterias a las 18 horas.

Ejemplo. Un ahorro de ₡300 000 se duplica cada 8 años según el modelo C(t) = 300 000 · 2^t/8. ¿En cuántos años llega a ₡2 400 000?

Solución. Se plantea 300 000 · 2^t/8 = 2 400 000, de donde 2^t/8 = 8 = 2³. Entonces t/8 = 3 y t = 24 años. Tiene sentido: en 24 años el ahorro se duplica tres veces, de ₡300 000 a ₡600 000, a ₡1 200 000 y a ₡2 400 000.

Algunos modelos usan la base e. Si un cultivo sigue el modelo N(t) = 1000e^0,2t, con t en horas, a las 5 horas hay N(5) = 1000e¹ ≈ 2718 bacterias. Una pregunta como «¿cuándo habrá 5000?» no se resuelve igualando bases: para esa hacen falta los logaritmos.

Modelos de decrecimiento: la semivida#

Cuando la base está entre 0 y 1, el modelo describe una cantidad que disminuye. En una sustancia radiactiva, por ejemplo, la cantidad de material radiactivo se reduce a la mitad cada cierto tiempo fijo, llamado semivida o periodo de semidesintegración. Si la semivida es T y la masa inicial es m₀, la masa que queda después de un tiempo t es m(t) = m₀ · (1/2)^t/T.

Ejemplo. Una sustancia ficticia tiene una semivida de 5 días y una muestra empieza con 80 g, así que m(t) = 80 · (1/2)^t/5. ¿Cuánto queda a los 10 días? ¿Cuándo quedarán 2,5 g?

Solución. m(10) = 80 · (1/2)² = 20 g. Para la segunda pregunta: 80 · (1/2)^t/5 = 2,5, de donde (1/2)^t/5 = 2,5/80 = 1/32 = (1/2)⁵. Entonces t/5 = 5 y t = 25 días.

Ejemplo. El valor de un carro baja un 20 % cada año, según el modelo V(t) = 8 000 000 · 0,8^t, en colones. ¿Cuánto vale a los 2 años? ¿Cuándo valdrá ₡4 096 000?

Solución. V(2) = 8 000 000 · 0,64 = ₡5 120 000. Para la segunda pregunta: 0,8^t = 4 096 000/8 000 000 = 0,512. Como 0,512 = 0,8³, se igualan los exponentes y t = 3 años.

El sentido del resultado#

Al resolver un problema con un modelo hay que preguntarse si la respuesta tiene sentido. Un modelo exponencial describe bien una situación solo durante cierto tiempo: un cultivo de bacterias no puede duplicarse para siempre, porque se acaban el espacio y el alimento. Para esos casos, el programa del MEP menciona la curva logística, cuya gráfica tiene forma de S. Además, en estos problemas el tiempo se mide desde t = 0, y si el resultado es una cantidad de objetos, como bacterias, se redondea a un número entero.

Ejemplo. En el modelo N(t) = 500 · 2^t/3 de las bacterias, ¿cuánto da N(−3) y qué significaría?

Solución. N(−3) = 500 · 2⁻¹ = 250. Matemáticamente es correcto: sería la cantidad de bacterias 3 horas antes de empezar a medir, si el cultivo hubiera crecido igual. Pero el modelo se planteó a partir de t = 0, así que ese valor no es un dato del problema y no se puede afirmar que haya ocurrido.

Ponte a prueba#

¿Qué valor de x cumple que 2 elevado a la (3x − 1) es igual a 32?#

¿Qué valores de x cumplen que 3 elevado a la (x² − 4) es igual a 243?#

¿Cuántas horas tardan 200 bacterias en llegar a 6400 si la población se duplica cada 4 horas?#

¿Cuántos gramos quedan de una muestra de 120 g de una sustancia con una semivida de 6 días después de 18 días?#

¿Se pueden igualar directamente los exponentes en la ecuación 4ˣ = 8?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)