La función logarítmica: inversa de la exponencial y su gráfica

¿A qué exponente hay que elevar 2 para obtener 32? La respuesta es 5, porque 2⁵ = 32. Ese exponente se llama logaritmo en base 2 de 32, y se escribe log₂ 32 = 5. Los logaritmos responden la pregunta contraria a la de las potencias: en lugar de calcular el resultado, buscan el exponente.

Como la función exponencial es inyectiva, tiene inversa, y esa inversa es la función logarítmica. En esta lección vas a pasar de la forma exponencial a la logarítmica y al revés, a ver por qué una función es la inversa de la otra y a analizar la gráfica y las características de f(x) = log_a x.

De la forma exponencial a la logarítmica, y al revés#

Las dos formas dicen lo mismo, pero ponen el énfasis en un dato distinto: la forma exponencial da el resultado de la potencia y la logarítmica, el exponente.

Forma exponencial	Forma logarítmica
25 = 32	log2 32 = 5
103 = 1000	log10 1000 = 3
5−2 = 1/25	log5 (1/25) = −2
91/2 = 3	log9 3 = 1/2
70 = 1	log7 1 = 0

Dos logaritmos tienen notación propia: el logaritmo común, de base 10, se escribe log x, sin la base, y el logaritmo natural, de base e, se escribe ln x. Las calculadoras científicas tienen una tecla para cada uno.

Ejemplo. Calcula log₃ 81, log₄ (1/64), log₈ 2 y log_1/2 16.

Solución. log₃ 81 = 4, porque 3⁴ = 81. log₄ (1/64) = −3, porque 4⁻³ = 1/64. log₈ 2 = 1/3, porque 8^1/3 = ∛8 = 2. log_1/2 16 = −4, porque (1/2)⁻⁴ = 2⁴ = 16.

Ejemplo. Halla x en log_x 49 = 2 y en log₆ x = 3.

Solución. log_x 49 = 2 significa x² = 49; como la base tiene que ser positiva, x = 7 (el −7 se descarta). log₆ x = 3 significa x = 6³ = 216.

La base y el argumento: qué valores se permiten#

• La base cumple a > 0 y a ≠ 1, las mismas condiciones que la base de la función exponencial. Por ejemplo, log₁ 5 no existe, porque 1 elevado a cualquier exponente da 1 y nunca 5.
• El argumento debe ser positivo. Como a^x siempre es positivo, no hay ningún exponente que dé 0 o un número negativo: log₂ 0 y log₂ (−8) no existen.
• El logaritmo sí puede ser negativo o cero: log₂ (1/8) = −3 y log₂ 1 = 0. Lo que no puede ser negativo ni cero es el número del que se calcula el logaritmo.

La función logarítmica como inversa de la exponencial#

El programa del MEP muestra la relación con una tabla de potencias de 3. La primera columna tiene los exponentes y la segunda, las potencias; leída al revés, la primera columna da los logaritmos en base 3 de los números de la segunda:

x	3x	log3(3x)
0	1	0
1	3	1
2	9	2
3	27	3
4	81	4
5	243	5

La composición de funciones confirma que f(x) = log_a x y g(x) = a^x son inversas, porque cada una deshace lo que hace la otra:

Como en toda pareja de funciones inversas, se intercambian el dominio y el ámbito: el dominio de log_a x es el ámbito de a^x, ]0, +∞[, y su ámbito es el dominio de a^x, ℝ. Además, las gráficas de y = a^x y de y = log_a x son simétricas respecto a la recta y = x: el punto (0, 1) de la exponencial pasa a ser el punto (1, 0) de la logarítmica, y la asíntota horizontal de la exponencial (el eje x) pasa a ser una asíntota vertical (el eje y).

Gráfica y características de f(x) = logₐ x#

Para trazar la gráfica conviene elegir valores de x que sean potencias de la base. Con las bases 2 y 1/2:

x	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8
log2 x	−3	−2	−1	0	1	2	3
log1/2 x	3	2	1	0	−1	−2	−3

Característica	Si a > 1	Si 0 < a < 1
Dominio	]0, +∞[	]0, +∞[
Ámbito	ℝ	ℝ
Intersección con el eje x	(1, 0)	(1, 0)
Intersección con el eje y	No tiene	No tiene
Crecimiento	Creciente	Decreciente
Signo	Negativa en ]0, 1[ y positiva en ]1, +∞[	Positiva en ]0, 1[ y negativa en ]1, +∞[
Asíntota vertical	El eje y; la gráfica baja al acercarse a x = 0	El eje y; la gráfica sube al acercarse a x = 0
Otro punto fácil	(a, 1)	(a, 1)

Para a > 1, la gráfica crece muy despacio: log x apenas vale 6 cuando x = 1 000 000. Y como en todo su dominio es creciente o decreciente, sin tramos horizontales, la función logarítmica es inyectiva.

Logaritmos de expresiones: dominio, ceros e intersecciones#

Cuando el argumento es una expresión, como en f(x) = log_a(x − h), el dominio se obtiene al exigir que esa expresión sea positiva, y los ceros salen de igualar el argumento a 1, porque log_a 1 = 0.

Ejemplo. Analiza f(x) = log₃(x − 2).

Solución. Dominio: x − 2 > 0, es decir, ]2, +∞[. La gráfica es la de log₃ x trasladada 2 unidades a la derecha, así que su asíntota vertical es la recta x = 2. Cero: x − 2 = 1, x = 3, el punto (3, 0). No corta el eje y, porque 0 no está en el dominio. Como la base 3 es mayor que 1, es creciente; por ejemplo, f(11) = log₃ 9 = 2.

Ejemplo. Analiza h(x) = log₂(x + 4).

Solución. Dominio: x + 4 > 0, es decir, ]−4, +∞[, con asíntota vertical x = −4. Intersección con el eje y: h(0) = log₂ 4 = 2, el punto (0, 2). Cero: x + 4 = 1, así que x = −3, el punto (−3, 0). Es creciente y su ámbito es ℝ.

Ejemplo. ¿Dónde corta el eje x la gráfica de g(x) = log₂ x + 3?

Solución. Se resuelve log₂ x + 3 = 0, o sea, log₂ x = −3. En forma exponencial, x = 2⁻³ = 1/8. La gráfica corta el eje x en (1/8, 0). Es la gráfica de log₂ x subida 3 unidades.

Logaritmos con calculadora#

Los logaritmos que no son exactos se aproximan con las teclas log (base 10) y ln (base e) de la calculadora. Redondeados a tres decimales, log 2 ≈ 0,301, log 50 ≈ 1,699 y ln 10 ≈ 2,303. Antes de calcular conviene estimar: como 10² = 100 y 10³ = 1000, el logaritmo de 500 está entre 2 y 3; la calculadora da log 500 ≈ 2,699.

Ejemplo. Resuelve 10^x = 50 y e^x = 5.

Solución. Ni 50 es una potencia entera de 10 ni 5 una potencia entera de e, así que no se pueden igualar bases. Pero, por la definición de logaritmo, 10^x = 50 significa x = log 50 ≈ 1,699, y e^x = 5 significa x = ln 5 ≈ 1,609. Se comprueba con la calculadora: 10^1,699 ≈ 50,0 y e^1,609 ≈ 5,0.

Ponte a prueba#

¿Cuánto vale log₂ 64 y cómo se comprueba?#

¿Cuál es el dominio de f(x) = log₃(x − 5) y dónde corta al eje x?#

¿Cómo se escribe 10⁴ = 10 000 en forma logarítmica?#

¿Por qué no existe log₅(−25)?#

¿Es creciente o decreciente la función logaritmo en base 1/3?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)