La función raíz cuadrada: gráfica y análisis de a√(x − b) + c

La función raíz cuadrada aparece cada vez que se conoce un área y se busca una longitud: si un terreno cuadrado mide 196 m², su lado mide √196 = 14 m. Para calcular raíces exactas ayuda conocer los cuadrados perfectos.

En esta lección vas a construir la gráfica de f(x) = √x con una tabla, a ver cómo la cambian los parámetros a, b y c en f(x) = a√(x − b) + c y a analizar algebraicamente su dominio, su ámbito, sus intersecciones con los ejes y su crecimiento.

La función básica f(x) = √x: tabla y gráfica#

El programa del MEP recomienda construir una tabla de pares ordenados, ubicarlos en el plano cartesiano y unirlos con una curva suave. Conviene escoger valores de x que sean cuadrados perfectos, porque su raíz es exacta:

x	0	1	4	9	16	25
√x	0	1	2	3	4	5

Al unir los puntos (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4) y (25, 5) se obtiene una curva que empieza en el origen y sube hacia la derecha: es media parábola «acostada». Para valores que no son cuadrados perfectos se usa la calculadora: √2 ≈ 1,41 y √10 ≈ 3,16.

• Dominio: [0, +∞[. Un número negativo no tiene raíz cuadrada real, porque ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo.
• Ámbito: [0, +∞[.
• Intersecciones: su único cero es x = 0, así que la gráfica toca los dos ejes en el origen.
• Crecimiento: es creciente en todo su dominio, sin tramos horizontales: si x₁ < x₂, entonces √x₁ < √x₂. Por eso es inyectiva.
• Forma: crece cada vez más despacio. Para que y pase de 0 a 1, x avanza 1 unidad; de 1 a 2, avanza 3; de 2 a 3, avanza 5.

Un error frecuente#

La raíz no se reparte en una suma: √(9 + 16) = √25 = 5, mientras que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. En cambio, sí se reparte en un producto de números no negativos: √(4 · 9) = √36 = 6, igual que √4 · √9 = 2 · 3.

Cómo cambian la gráfica los parámetros a, b y c#

La gráfica de f(x) = a√(x − b) + c se obtiene de la de f₀(x) = √x mediante homotecias y traslaciones, como indica el programa del MEP:

Parámetro	Efecto sobre la gráfica de √x
b, en √(x − b)	Traslación horizontal: b unidades a la derecha si b > 0, o |b| unidades a la izquierda si b < 0.
c, en √x + c	Traslación vertical: c unidades hacia arriba si c > 0, o |c| unidades hacia abajo si c < 0.
a, con |a| > 1	Estira la gráfica en dirección vertical.
a, con 0 < |a| < 1	Encoge la gráfica en dirección vertical.
a < 0	Además, refleja la gráfica respecto al eje x: la curva baja en lugar de subir.

El punto (0, 0), donde empieza la gráfica de √x, se convierte en el punto (b, c). Desde ese punto inicial, la curva sale hacia la derecha: hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

Ejemplo. Describe cómo se obtiene la gráfica de g(x) = √(x + 3) − 2 a partir de la de √x.

Solución. Como x + 3 = x − (−3), se tiene b = −3: la gráfica se traslada 3 unidades a la izquierda. Como c = −2, baja 2 unidades. Como a = 1, no se estira ni se refleja. El punto inicial pasa de (0, 0) a (−3, −2), y cada punto (x, y) de √x pasa a (x − 3, y − 2). Por ejemplo, (4, 2) pasa a (1, 0), y en efecto g(1) = √4 − 2 = 0.

Análisis algebraico de f(x) = a√(x − b) + c#

• Dominio: lo que está dentro de la raíz no puede ser negativo: x − b ≥ 0, es decir, x ≥ b. El dominio es [b, +∞[.
• Ámbito: si a > 0, es [c, +∞[; si a < 0, es ]−∞, c].
• Crecimiento: si a > 0, la función es creciente; si a < 0, es decreciente. En los dos casos es inyectiva.
• Intersección con el eje y: solo existe si 0 está en el dominio, es decir, si b ≤ 0. Es el punto (0, f(0)).
• Ceros: se resuelve a√(x − b) + c = 0. Se despeja la raíz, √(x − b) = −c/a, y se elevan al cuadrado ambos lados. Solo hay cero si −c/a ≥ 0, porque una raíz cuadrada nunca es negativa.

Ejemplo. Analiza la función f(x) = 2√(x − 1) − 4.

Solución. Aquí a = 2, b = 1 y c = −4. Dominio: x − 1 ≥ 0, así que es [1, +∞[. Punto inicial: (1, −4). Como a > 0, es creciente y su ámbito es [−4, +∞[. No corta el eje y, porque 0 no está en el dominio. Cero: 2√(x − 1) = 4, √(x − 1) = 2, x − 1 = 4 y x = 5; corta el eje x en (5, 0). Es negativa en [1, 5[ y positiva en ]5, +∞[. Otros puntos para graficarla: f(2) = −2, f(10) = 2 y f(17) = 4.

Ejemplo. Analiza la función g(x) = −√(x + 4) + 3.

Solución. Aquí a = −1, b = −4 y c = 3. Dominio: x + 4 ≥ 0, es decir, [−4, +∞[. Punto inicial: (−4, 3). Como a < 0, es decreciente y su ámbito es ]−∞, 3]. Intersección con el eje y: g(0) = −√4 + 3 = 1, el punto (0, 1). Cero: √(x + 4) = 3, x + 4 = 9 y x = 5. La función es positiva en [−4, 5[ y negativa en ]5, +∞[.

Si a y c tienen el mismo signo, no hay ceros. En h(x) = 3√(x + 1) + 2, la raíz nunca es negativa, así que h(x) ≥ 2 en todo el dominio [−1, +∞[, y la ecuación √(x + 1) = −2/3 no tiene solución.

La raíz cuadrada como función inversa#

El programa del MEP presenta la raíz cuadrada como la inversa de f(x) = x² con dominio [0, +∞[. Al componerlas, √(x²) = x cuando x ≥ 0. Sin esa restricción no funciona: √((−3)²) = √9 = 3, que no es −3. Por eso, para cualquier número real x, √(x²) = |x|.

Como f(x) = a√(x − b) + c es inyectiva, también tiene inversa, y el dominio de la inversa es el ámbito de f.

Ejemplo. Halla la inversa de f(x) = 2√(x − 1) − 4.

Solución. De y = 2√(x − 1) − 4 se obtiene √(x − 1) = (y + 4)/2. Al elevar al cuadrado, x − 1 = (y + 4)²/4, así que x = (y + 4)²/4 + 1. La inversa es f⁻¹(x) = (x + 4)²/4 + 1, pero solo con dominio [−4, +∞[, que es el ámbito de f: su gráfica es media parábola. Comprobación: f(5) = 0 y f⁻¹(0) = 16/4 + 1 = 5.

Problemas con la función raíz cuadrada#

Los datos de estos problemas son inventados para practicar.

Ejemplo. El área de un terreno cuadrado es A metros cuadrados. Escribe el lado y el perímetro como funciones de A y calcúlalos para A = 196 y para A = 50.

Solución. El lado es l(A) = √A y el perímetro es P(A) = 4√A, con A > 0. Para A = 196, l = 14 m y P = 56 m. Para A = 50, l = √50 ≈ 7,07 m y P ≈ 28,28 m. Observa que si el área se multiplica por 4, el lado solo se duplica, porque √4 = 2: un terreno de 784 m² tiene 28 m de lado.

Ejemplo. Una empresa fabrica recipientes cilíndricos de 10 cm de altura, así que su volumen es V(r) = 10πr², con r el radio de la base en centímetros. Expresa el radio en función del volumen y halla el radio de un recipiente de 640π cm³.

Solución. Se despeja r de V = 10πr²: r² = V/(10π) y, como el radio es positivo, r(V) = √(V/(10π)). Para V = 640π, r = √(640π/(10π)) = √64 = 8 cm. Es una función raíz cuadrada, la inversa de V(r) para r > 0, como en el problema con que el programa del MEP introduce las funciones inversas.

Ponte a prueba#

¿Cuáles son el dominio y el ámbito de f(x) = 3√(x + 2) − 6?#

¿En qué punto corta al eje x la gráfica de g(x) = −2√(x − 3) + 8?#

¿Por qué la gráfica de h(x) = √(x − 5) + 1 no corta ninguno de los dos ejes?#

¿Es cierto que √(36 + 64) = √36 + √64?#

¿Cuánto mide el lado de un terreno cuadrado de 400 m² y cuánto mediría si el área fuera cuatro veces mayor?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)