Funciones inversas: cuándo existen y cómo se grafican

Q: ¿Es lo mismo f⁻¹(x) que 1/f(x)?

No. Con f(x) = x + 3, la inversa es f−1(x) = x − 3, porque deshace la suma. Así, f−1(5) = 2, ya que f(2) = 5. En cambio, 1/f(5) = 1/8. El −1 de f−1 indica la función que hace el camino de regreso, no una potencia ni un inverso multiplicativo.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 7 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 27 de octubre de 2026 11 min de lectura

En décimo año estudiaste el dominio, el ámbito, la inyectividad y la composición de funciones. En undécimo esas ideas se juntan para responder una pregunta práctica: si una función transforma cada valor de x en un valor y, ¿existe otra función que haga el camino de regreso, de y a x? Esa función de regreso se llama función inversa.

Por ejemplo, si una fórmula convierte grados Celsius en grados Fahrenheit, su inversa convierte grados Fahrenheit en grados Celsius. Aquí verás cuándo existe la inversa, cómo se grafica y cómo se calcula la de f(x) = mx + b.

Definición

Sea f una función con dominio D_f y con codominio igual a su ámbito A_f. Si f es inyectiva, su función inversa es la función f⁻¹: A_f → D_f que a cada y del ámbito le asigna el único x del dominio tal que f(x) = y. Es decir, f⁻¹(y) = x si y solo si f(x) = y. Por eso f⁻¹(f(x)) = x para todo x de D_f, y f(f⁻¹(y)) = y para todo y de A_f.

Qué hace una función inversa#

Piensa en la función f(x) = 2x + 1. Si se le da un 3, devuelve 2 · 3 + 1 = 7. La inversa responde la pregunta contraria: ¿qué número entró si salió un 7? La respuesta es 3, así que f⁻¹(7) = 3. Para la inversa, las entradas y las salidas cambian de papel:

Entra x en f	Sale f(x) = 2x + 1	Entra y en f⁻¹	Sale f⁻¹(y)
0	1	1	0
1	3	3	1
2	5	5	2
3	7	7	3
4	9	9	4

De ahí salen dos hechos: el dominio de f⁻¹ es el ámbito de f, y el ámbito de f⁻¹ es el dominio de f. Además, si se aplica f y luego f⁻¹, se vuelve al número de partida: f⁻¹(f(3)) = f⁻¹(7) = 3.

Cuidado con la notación#

El −1 de f⁻¹ no es un exponente: f⁻¹(x) no significa 1/f(x), que sería el inverso multiplicativo de f(x). Con f(x) = 2x + 1, se tiene f⁻¹(3) = 1, porque f(1) = 3; en cambio, 1/f(3) = 1/7.

La condición para tener inversa: que la función sea inyectiva#

Una función es inyectiva cuando a valores distintos del dominio les corresponden imágenes distintas: si a ≠ b, entonces f(a) ≠ f(b). Esa es la condición para que exista la inversa. Si dos valores distintos tuvieran la misma imagen, la inversa no sabría a cuál regresar.

Como el programa del MEP toma como codominio de cada función su ámbito, para saber si hay inversa basta con revisar la inyectividad.

Un ejemplo de función que no es inyectiva es f(x) = x² definida en todos los números reales: f(−3) = 9 y f(3) = 9. Si existiera f⁻¹(9), tendría que valer −3 y 3 a la vez, y eso es imposible.

La prueba de la recta horizontal#

En una gráfica, la inyectividad se revisa con rectas horizontales: si alguna corta la gráfica en dos o más puntos, hay dos valores de x con la misma imagen y la función no es inyectiva; si ninguna la corta más de una vez, sí lo es. Una recta no horizontal pasa esta prueba; una parábola completa, no.

Ejemplo. ¿Cuál de estas funciones, dadas por sus valores, tiene inversa? La función g cumple g(1) = 5, g(2) = 8, g(3) = 5 y g(4) = 10. La función h cumple h(1) = 2, h(2) = 4, h(3) = 6 y h(4) = 8.

Solución. g no es inyectiva, porque g(1) = g(3) = 5, así que no tiene inversa. h sí es inyectiva, porque sus cuatro imágenes son distintas. Su inversa se obtiene al intercambiar entradas y salidas: h⁻¹(2) = 1, h⁻¹(4) = 2, h⁻¹(6) = 3 y h⁻¹(8) = 4. El dominio de h⁻¹ es {2, 4, 6, 8} y su ámbito es {1, 2, 3, 4}.

Intervalos en los que una función tiene inversa#

Cuando una función no es inyectiva en todo su dominio, se puede restringir el dominio a un intervalo donde sí lo sea. Una forma segura de hacerlo es usar un intervalo en el que la gráfica solo suba o solo baje: ahí no repite valores.

Ejemplo. La gráfica de una función f, definida en [−3, 6], sube sin saltos desde el punto (−3, −2) hasta el punto (1, 4), luego baja hasta el punto (4, 0) y vuelve a subir hasta el punto (6, 5). ¿En qué intervalos tiene inversa?

Solución. f es estrictamente creciente en [−3, 1], estrictamente decreciente en [1, 4] y estrictamente creciente en [4, 6] (la gráfica sube o baja sin tramos horizontales). Restringida a cualquiera de esos tres intervalos es inyectiva, así que tiene inversa. En todo [−3, 6], no: la recta horizontal y = 2 corta la gráfica tres veces, una en cada tramo. Tampoco sirve juntar [−3, 1] y [4, 6], porque en los dos tramos f toma los valores que hay entre 0 y 4.

La inversa de una función cuadrática#

Para hallar la inversa de una función cuadrática se elige un dominio en el que sea inyectiva, se despeja x con una ecuación de segundo grado y se escoge el signo que corresponde a ese dominio. Para f(x) = x², si se toma x ≥ 0 y como codominio el ámbito, y ≥ 0, la inversa es la raíz cuadrada: f⁻¹(x) = √x. Se comprueba con la composición: √(x²) = x, porque x ≥ 0.

Ejemplo. Halla la inversa de f(x) = (x − 2)² + 1 en el intervalo [2, +∞[.

Solución. El vértice es (2, 1) y a su derecha la función crece, así que en [2, +∞[ es inyectiva y su ámbito es [1, +∞[. De y = (x − 2)² + 1 se obtiene (x − 2)² = y − 1, y entonces x − 2 = √(y − 1) o x − 2 = −√(y − 1). Como x ≥ 2, se toma el signo positivo: f⁻¹(x) = 2 + √(x − 1), con dominio [1, +∞[ y ámbito [2, +∞[. Comprobación: f(4) = 2² + 1 = 5 y f⁻¹(5) = 2 + √4 = 4. En el intervalo ]−∞, 2] se tomaría el signo negativo: f⁻¹(x) = 2 − √(x − 1).

La gráfica de la inversa: simetría respecto a la recta y = x#

Si el punto (a, b) está en la gráfica de f, entonces f(a) = b y, por lo tanto, f⁻¹(b) = a: el punto (b, a) está en la gráfica de f⁻¹. Intercambiar las coordenadas de un punto equivale a reflejarlo respecto a la recta y = x. Por eso la gráfica de f⁻¹ es la imagen de la gráfica de f por la simetría axial cuyo eje es la recta y = x.

Traza la recta y = x junto a la gráfica de f.
Toma varios puntos de f e intercambia sus coordenadas.
Ubica los puntos nuevos y únelos con la forma reflejada.

El programa del MEP sugiere dibujar la gráfica de f en papel transparente y doblarlo por la recta y = x: lo que se ve del otro lado es la gráfica de f⁻¹.

Ejemplo. La gráfica de f(x) = 2x + 1 pasa por (−1, −1), (0, 1) y (1, 3). ¿Por qué puntos pasa la gráfica de su inversa? ¿Dónde se cortan las dos?

Solución. Se intercambian las coordenadas: la inversa pasa por (−1, −1), (1, 0) y (3, 1). El punto (−1, −1) aparece en las dos listas porque está sobre la recta y = x (al resolver 2x + 1 = x se obtiene x = −1): ahí se cortan las dos gráficas.

La inversa de la función lineal f(x) = mx + b#

Una función lineal con m ≠ 0 siempre es inyectiva: si x₁ ≠ x₂, entonces mx₁ + b ≠ mx₂ + b, porque m ≠ 0. Por eso tiene inversa en todo ℝ. Si m = 0, la función es constante y no tiene inversa. Para hallar la inversa:

Escribe y = mx + b.
Despeja x: x = (y − b)/m.
Escribe la inversa con la variable x: f⁻¹(x) = (x − b)/m.
Comprueba con una composición o con un punto.

Fórmula

f(x) = mx + b, m ≠ 0 ⟹ f⁻¹(x) = (x − b)/m = (1/m)x − b/m

La inversa también es una función lineal, y su pendiente es 1/m, el inverso multiplicativo de la pendiente de f.

Ejemplo. Halla la inversa de f(x) = 3x − 6 y describe las dos gráficas.

Solución. Se escribe y = 3x − 6 y se despeja x: 3x = y + 6, así que x = (y + 6)/3. Entonces f⁻¹(x) = (x + 6)/3 = x/3 + 2. Comprobación: f⁻¹(f(x)) = (3x − 6 + 6)/3 = x. La gráfica de f corta los ejes en (0, −6) y (2, 0); la de f⁻¹, en los puntos con las coordenadas intercambiadas: (−6, 0) y (0, 2). Las dos son rectas crecientes, con pendientes 3 y 1/3.

Ejemplo. Halla la inversa de f(x) = −x/2 + 4.

Solución. De y = −x/2 + 4 se obtiene x/2 = 4 − y, y luego x = 8 − 2y. La inversa es f⁻¹(x) = −2x + 8. Se comprueba con un punto: f(2) = −1 + 4 = 3 y f⁻¹(3) = −6 + 8 = 2. Como la pendiente de f es negativa, las dos funciones son decrecientes.

Un caso real: grados Celsius y grados Fahrenheit#

Según el NIST, el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de Estados Unidos, los grados Celsius se pasan a Fahrenheit al multiplicar por 1,8 y sumar 32, y los Fahrenheit se pasan a Celsius al restar 32 y dividir entre 1,8. Son funciones inversas: F(C) = 1,8C + 32 y C(F) = (F − 32)/1,8. El programa del MEP propone este ejemplo con 9/5 en lugar de 1,8.

Ejemplo. Un termómetro marca 77 °F. ¿Cuántos grados Celsius son? Comprueba también que 212 °F, la temperatura de ebullición del agua al nivel del mar, son 100 °C.

Solución. C(77) = (77 − 32)/1,8 = 45/1,8 = 25, así que 77 °F son 25 °C. Del mismo modo, C(212) = (212 − 32)/1,8 = 180/1,8 = 100. Al aplicar F a ese resultado se regresa al dato inicial: F(100) = 1,8 · 100 + 32 = 212.

Ponte a prueba#

¿Cuál es la inversa de f(x) = 4x − 8 y cuánto vale f⁻¹(12)?#

Se escribe y = 4x − 8 y se despeja x: 4x = y + 8, así que x = (y + 8)/4. La inversa es f⁻¹(x) = (x + 8)/4 = x/4 + 2. Entonces f⁻¹(12) = 20/4 = 5. Se comprueba con f: f(5) = 4 · 5 − 8 = 12, que es el número de partida.

¿Tiene inversa la función f(x) = x² − 6x definida en todos los números reales?#

No, porque no es inyectiva: f(0) = 0 y f(6) = 36 − 36 = 0, dos valores distintos de x con la misma imagen. Su gráfica es una parábola con vértice en x = 3, donde f(3) = 9 − 18 = −9. Si se restringe el dominio a [3, +∞[, la función es estrictamente creciente (a la derecha del vértice la parábola solo sube), sí tiene inversa y su ámbito es [−9, +∞[.

¿Qué punto está en la gráfica de la inversa de f si el punto (2, 7) está en la gráfica de f, que es invertible?#

El punto (7, 2). Que (2, 7) esté en la gráfica de f significa que f(2) = 7, y entonces f⁻¹(7) = 2. Las gráficas de una función y de su inversa son simétricas respecto a la recta y = x, y esa simetría intercambia las dos coordenadas de cada punto.

¿Es lo mismo f⁻¹(x) que 1/f(x)?#

No. Con f(x) = x + 3, la inversa es f⁻¹(x) = x − 3, porque deshace la suma. Así, f⁻¹(5) = 2, ya que f(2) = 5. En cambio, 1/f(5) = 1/8. El −1 de f⁻¹ indica la función que hace el camino de regreso, no una potencia ni un inverso multiplicativo.

¿Cuántos grados Celsius son 50 °F?#

Se usa la función inversa de F(C) = 1,8C + 32, que es C(F) = (F − 32)/1,8, la conversión que da el NIST. Entonces C(50) = (50 − 32)/1,8 = 18/1,8 = 10. Así, 50 °F son 10 °C. Se comprueba al revés: F(10) = 1,8 · 10 + 32 = 18 + 32 = 50.