La función exponencial: tabla, gráfica y características

Q: ¿Por qué la base de una función exponencial no puede ser 1?

Porque 1 elevado a cualquier exponente da 1: 12 = 1, 15 = 1 y 1−3 = 1. La función f(x) = 1x sería la función constante f(x) = 1, cuya gráfica es una recta horizontal. No crecería ni decrecería, no sería inyectiva y no tendría inversa, así que no tendría ninguna de las características de una exponencial.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 9 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 8 min de lectura

Si un ahorro gana intereses sobre los intereses, o si una población se duplica cada cierto tiempo, la cantidad no aumenta lo mismo en cada periodo: se multiplica por el mismo factor. Esas situaciones se describen con la función exponencial, en la que la variable está en el exponente.

En esta lección vas a ver por qué su base tiene que ser positiva y distinta de 1, cómo se grafica a partir de una tabla, en qué se diferencia una base mayor que 1 de una base entre 0 y 1, y qué es el número e. Para todo esto conviene repasar las potencias y sus leyes.

Definición

Una función exponencial es una función de la forma f(x) = a^x, donde la base a es un número real fijo, con a > 0 y a ≠ 1, y el exponente x es la variable. Su dominio es el conjunto de todos los números reales, ℝ, y su ámbito es ]0, +∞[. No hay que confundirla con f(x) = x²: allí la variable es la base y el exponente está fijo.

Repaso: potencias con exponente cero, negativo y fraccionario#

Para evaluar a^x con cualquier valor de x hay que recordar qué significan los exponentes cero, negativos y fraccionarios, y cómo se operan las potencias de igual base:

Ley	Ejemplo
a⁰ = 1	5⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8
a^1/2 = √a	9^1/2 = √9 = 3
a^1/3 = ∛a	8^1/3 = ∛8 = 2
a^m · aⁿ = a^{m + n}	2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
(a^m)ⁿ = a^{m · n}	(3²)³ = 3⁶ = 729

Ejemplo. Si f(x) = 4^x, calcula f(2), f(−2), f(1/2) y f(3/2).

Solución. f(2) = 4² = 16. f(−2) = 1/4² = 1/16. f(1/2) = √4 = 2. f(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8. Todos los resultados son positivos, aunque el exponente sea negativo.

Por qué la base debe cumplir a > 0 y a ≠ 1#

Si a = 1, entonces 1^x = 1 para todo x: la función sería constante, no exponencial, y no tendría inversa.
Si a = 0, la expresión 0^x no está definida para x ≤ 0; por ejemplo, 0⁻¹ sería 1/0.
Si a < 0, muchas potencias no son números reales: (−4)^1/2 sería √(−4), que no existe en ℝ.

Con a > 0 y a ≠ 1, la potencia a^x existe para todo número real x, siempre es positiva y la función es inyectiva: no repite valores.

Tabla y gráfica de 2ˣ y de (1/2)ˣ#

El programa del MEP sugiere construir una tabla de valores para trazar una gráfica aproximada y comparar una base mayor que 1 con una base entre 0 y 1:

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
2^x	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8
(1/2)^x	8	4	2	1	1/2	1/4	1/8

Al ubicar los puntos y unirlos con una curva suave se observa lo siguiente:

Las dos gráficas pasan por el punto (0, 1), porque a⁰ = 1.
2^x es creciente: cada vez que x aumenta 1, el valor se duplica.
(1/2)^x es decreciente: cada vez que x aumenta 1, el valor se reduce a la mitad.
Ninguna toca el eje x: los valores se acercan a 0 tanto como se quiera, pero nunca llegan a 0. Por eso el eje x es una asíntota horizontal, una recta a la que la gráfica se aproxima cada vez más.
Las dos gráficas son simétricas respecto al eje y, porque (1/2)^x = 2^−x.

Características de f(x) = aˣ#

Característica	Si a > 1	Si 0 < a < 1
Dominio	ℝ	ℝ
Ámbito	]0, +∞[	]0, +∞[
Intersección con el eje y	(0, 1)	(0, 1)
Ceros	No tiene	No tiene
Crecimiento	Creciente	Decreciente
Asíntota horizontal	El eje x, hacia la izquierda	El eje x, hacia la derecha
Otro punto fácil	(1, a)	(1, a)

Como en todo ℝ es creciente o decreciente, sin tramos horizontales, la función exponencial es inyectiva y, por lo tanto, tiene inversa: la función logarítmica.

Ejemplo. Compara 3^x y 5^x para x = 2 y para x = −1. ¿Cuál gráfica va por encima?

Solución. Para x = 2: 3² = 9 y 5² = 25, así que 5^x es mayor. Para x = −1: 3⁻¹ = 1/3 y 5⁻¹ = 1/5, y ahora 5^x es menor. Las dos gráficas se cruzan en (0, 1): a la derecha del eje y va por encima la de base mayor, y a la izquierda, la de base menor.

Cómo reconocer una función exponencial en una tabla#

En una tabla con valores de x que aumentan de 1 en 1, una función lineal suma siempre la misma cantidad, mientras que una exponencial multiplica siempre por el mismo factor. Una función de la forma y = k · a^x vale k cuando x = 0, y a es el factor por el que se multiplica en cada paso.

x	0	1	2	3
Tabla A	5	15	45	135
Tabla B	80	40	20	10
Tabla C	5	15	25	35

Ejemplo. ¿Cuáles de las tablas A, B y C corresponden a una función exponencial y cuál es su criterio?

Solución. En la tabla A cada valor es el triple del anterior: y = 5 · 3^x, una exponencial creciente. En la B cada valor es la mitad del anterior: y = 80 · (1/2)^x, una exponencial decreciente. En la C se suma 10 en cada paso: y = 10x + 5, que es lineal, no exponencial.

El número e y la función exponencial natural#

Según el programa del MEP, la base más importante para las funciones exponenciales es el número irracional e, a veces llamado número de Euler. El programa lo presenta con los números de la forma (1 + 1/n)ⁿ, que se acercan a e cuando n es muy grande:

n	(1 + 1/n)ⁿ, aproximado
1	2
10	2,5937
100	2,7048
1000	2,7169
10 000	2,7181

Su valor aproximado es e ≈ 2,718281828. Como e > 1, la función f(x) = e^x, llamada exponencial natural, es creciente y tiene todas las características de la columna «a > 1». Con calculadora: e¹ ≈ 2,718, e² ≈ 7,389 y e⁻¹ ≈ 0,368.

Una aplicación: el interés compuesto#

Los montos y la tasa de este ejemplo son inventados para practicar. Con interés compuesto, cada año los intereses se suman al capital y el año siguiente también ganan intereses. Si se depositan C₀ colones a una tasa anual i, el capital después de t años es C(t) = C₀(1 + i)^t, una función exponencial de base 1 + i.

Ejemplo. Andrea deposita ₡500 000 a un interés compuesto del 5 % anual. ¿Cuánto tendrá al cabo de 1, 2 y 10 años? Compáralo con un interés simple del 5 %, que paga ₡25 000 cada año.

Solución. El modelo es C(t) = 500 000 · 1,05^t. Después de 1 año tendrá ₡525 000; después de 2 años, 500 000 · 1,05² = ₡551 250, y después de 10 años, 500 000 · 1,05¹⁰ ≈ ₡814 447,31. Con interés simple el modelo sería lineal, S(t) = 500 000 + 25 000t, y a los 10 años daría ₡750 000. La diferencia crece con el tiempo, porque la exponencial multiplica y la lineal solo suma.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el ámbito de f(x) = 3ˣ y por qué nunca vale cero?#

El ámbito es ]0, +∞[. Con exponentes positivos se multiplican treses y el resultado es positivo; 3⁰ = 1, y con exponentes negativos se obtiene un cociente positivo, como 3⁻⁵ = 1/243. Cuanto más negativo es x, más se acerca 3^x a 0, pero nunca llega: el eje x es una asíntota horizontal.

¿Es creciente o decreciente la función g(x) = (2/5)ˣ?#

Es decreciente, porque su base, 2/5, está entre 0 y 1. Se ve con algunos valores: g(−1) = 5/2, g(0) = 1 y g(1) = 2/5. Al aumentar x, el valor se multiplica cada vez por 2/5 y disminuye. Como toda exponencial, pasa por (0, 1) y su ámbito es ]0, +∞[.

¿Qué criterio de la forma y = k · aˣ corresponde a una tabla en la que x = 0, 1, 2, 3 da y = 2, 8, 32, 128?#

Cuando x = 0, y = 2, así que k = 2. Cada valor es el cuádruple del anterior (8 = 2 · 4, 32 = 8 · 4, 128 = 32 · 4), así que el factor es a = 4. El criterio es y = 2 · 4^x. Se comprueba con x = 3: 2 · 4³ = 2 · 64 = 128.

¿Cuánto vale f(−1/2) si f(x) = 9ˣ?#

Se usan dos leyes de potencias. El exponente negativo indica el recíproco: 9^−1/2 = 1/9^1/2. El exponente 1/2 indica raíz cuadrada: 9^1/2 = √9 = 3. Entonces f(−1/2) = 1/3. El resultado es positivo, como todos los valores de una función exponencial.

¿Por qué la base de una función exponencial no puede ser 1?#

Porque 1 elevado a cualquier exponente da 1: 1² = 1, 1⁵ = 1 y 1⁻³ = 1. La función f(x) = 1^x sería la función constante f(x) = 1, cuya gráfica es una recta horizontal. No crecería ni decrecería, no sería inyectiva y no tendría inversa, así que no tendría ninguna de las características de una exponencial.