Para decidir qué equipo saca primero en un partido del colegio, se lanza una moneda. Nadie sabe si caerá escudo o corona, y justamente por eso es una forma justa de decidir. En cambio, si hoy es lunes, todo el mundo sabe que dentro de siete días volverá a ser lunes: no hace falta esperar para comprobarlo. Son situaciones aleatorias y deterministas: en la primera interviene el azar; en la segunda, no.
Definición
Una situación aleatoria es aquella que tiene dos o más resultados posibles y en la que no se puede saber con certeza cuál ocurrirá antes de que ocurra: el resultado depende del azar. Una situación determinista es aquella cuyo resultado se puede conocer de antemano, sin necesidad de llevarla a cabo, porque en las mismas condiciones ocurre siempre lo mismo.
¿Qué es el azar?#
Para el programa del MEP, que lo define en su glosario, el azar «hace referencia a la casualidad, a lo fortuito, a una combinación de circunstancias que no se pueden prever ni evitar». Está en más lugares de los que parece:
- el número que sale al lanzar un dado;
- el papelito que se saca sin ver en una rifa de la sección;
- cuántas personas habrá en la fila de la soda cuando llegues en el recreo;
- si lloverá mañana en la tarde en tu comunidad;
- la primera canción que suena cuando el reproductor está en orden aleatorio.
Ojo: azar no significa que pueda pasar cualquier cosa. Al lanzar un dado se sabe cuáles son los resultados posibles, del 1 al 6; lo que no se sabe es cuál de ellos saldrá. En una situación aleatoria, la lista de posibilidades puede ser conocida, pero el resultado de cada vez no se puede anticipar.
Situaciones deterministas#
En una situación determinista, las condiciones fijan el resultado. El glosario del programa la describe como aquella cuyo resultado es «previsible sin necesidad de llevar a cabo la experiencia». Muchas son cálculos o reglas que no cambian:
- el día de la semana que será dentro de cierta cantidad de días;
- lo que cuestan 4 entradas a ₡1500 cada una: siempre ₡6000;
- cuánto suman los tres ángulos internos de cualquier triángulo: siempre 180°;
- el color de la bola que se saca de una bolsa en la que todas las bolas son verdes.
Ejemplo. Hoy es miércoles. ¿Qué día será dentro de 10 días? ¿Por qué la situación es determinista?
Solución. Los nombres de los días vuelven a empezar cada semana, o sea, cada 7 días. Como 10 = 7 + 3, dentro de 10 días será el mismo día que dentro de 3: jueves, viernes, sábado. Será sábado. Es determinista porque la respuesta se obtiene con un cálculo, sin esperar, y si alguien repite el razonamiento llega siempre al mismo día.
Cómo distinguirlas: tres preguntas#
Para clasificar una situación, hazte estas preguntas:
- ¿Cuáles son los resultados posibles? Si hay uno solo, la situación es determinista.
- Con la información que se tiene, ¿se puede saber el resultado antes de que ocurra? Si se puede, es determinista.
- Si se repitiera en las mismas condiciones, ¿saldría siempre lo mismo? Si el resultado puede cambiar de una vez a otra, es aleatoria.
| Situación | Tipo | Por qué |
|---|---|---|
| Sacar sin ver una bola de una bolsa con 3 bolas verdes y 2 blancas, y anotar su color | Aleatoria | Puede salir verde o blanca, y no se sabe antes |
| Sacar sin ver una bola de una bolsa con 5 bolas verdes, y anotar su color | Determinista | Solo puede salir verde |
| Contar cuántas ventanas tiene tu aula | Determinista | El número ya está fijado; basta contar |
| Cuántas ventanas del aula estarán abiertas mañana a las 10 a. m. | Aleatoria | Depende de lo que hagan muchas personas |
| Cuántos estudiantes de la sección faltarán el próximo lunes | Aleatoria | Puede ser 0, 1, 2… y no se sabe hasta ese día |
| El resultado de 37 · 3 en una calculadora que funciona bien | Determinista | Siempre da 111 |
Casos que engañan#
Juegos de conteo: parecen azar, pero no lo son#
El programa del MEP advierte que juegos como «zapatito cochinito» o «de tin marín» se suelen creer aleatorios, cuando en realidad se puede saber quién saldrá. Cada sílaba marcada es un golpe que pasa de una persona a la siguiente; si se conocen la rima, la cantidad de jugadores y quién empieza, el final se puede calcular.
Ejemplo. Supón una rima de 11 golpes. Cuatro amigos, Ana, Beto, Carla y Dani, se sientan en ese orden en círculo, y la cuenta empieza siempre por Ana. ¿En quién cae el último golpe?
Solución. Cada 4 golpes la cuenta vuelve a Ana. Como 11 = 4 · 2 + 3, después de dos vueltas completas quedan 3 golpes: Ana, Beto y Carla. El último golpe cae en Carla, y caerá en ella todas las veces que se juegue igual. Es una situación determinista. Si alguien quiere que salga otra persona, le basta cambiar el punto de partida.
Piedra, papel o tijera es distinto: cada jugador escoge en el mismo instante, sin conocer lo que hará el otro, y el resultado solo se sabe al jugar. Por eso el programa del MEP lo pone como contraste: para saber quién gana, hay que jugar.
No saber no es lo mismo que azar#
¿Cuántas ventanas tiene tu aula? Tal vez no lo sabes de memoria, pero la respuesta ya está fijada y se puede averiguar con certeza contándolas: es determinista. Lo aleatorio es aquello cuyo resultado no se puede conocer antes de que se produzca: no basta con averiguar, hay que esperar a que ocurra.
La misma experiencia, dos preguntas#
Si se deja caer una hoja de papel desde el segundo piso, que caiga al suelo es determinista: siempre pasa. Pero el punto exacto donde caerá es aleatorio, porque una pequeña corriente de aire la desvía de forma distinta cada vez. Por eso, antes de clasificar, hay que fijarse bien en qué se pregunta.
El azar y la variabilidad de los datos#
El programa del MEP relaciona el azar con la variabilidad que se estudia en Estadística. Compara estas dos situaciones:
Ejemplo. Para un paseo, cada uno de los 28 estudiantes de una sección paga una cuota de ₡500. En otra sección, también de 28 estudiantes, cada quien aporta lo que puede. ¿Cuánto se reúne en cada una?
Solución. En la primera se reúnen 28 · 500 = ₡14 000: todos los aportes son iguales, no hay variabilidad y el total se conoce de antemano. Es determinista. En la segunda, cada estudiante puede dar una cantidad diferente, y el total solo se conoce al contar el dinero: es aleatoria.
Si todos los datos fueran iguales y previsibles, no haría falta recolectarlos ni resumirlos. Como en muchas situaciones no se sabe de antemano qué dato dará cada persona, cada día o cada medición, la Estadística los recoge, los ordena y los resume.
El azar como herramienta#
El azar también se usa a propósito, cuando se quiere que nadie pueda predecir ni influir en un resultado: para decidir quién empieza un juego, para repartir turnos o para escoger a quién se le aplica una encuesta. En noveno año verás cómo se usa para seleccionar muestras aleatorias.
Y aunque el resultado de una situación aleatoria no se puede anticipar, sí se puede estudiar: hacer la lista de todos los resultados posibles, ver cuáles favorecen lo que interesa y comparar cuáles tienen más posibilidades de ocurrir. Ese es el camino de las próximas lecciones de octavo: el espacio muestral, los eventos y la probabilidad.
Ponte a prueba#
¿Por qué sacar una bola de una bolsa que solo contiene bolas rojas es una situación determinista?#
Porque tiene un único resultado posible: la bola será roja. Se sabe antes de sacarla, sin necesidad de hacer la extracción, y aunque se haga cien veces igual, siempre saldrá roja. Si en la bolsa hubiera al menos una bola de otro color, la situación pasaría a ser aleatoria, porque ya no se podría saber el color antes de sacarla.
¿Qué día de la semana caerá 30 días después de un martes, y por qué es una situación determinista?#
Los días de la semana vuelven a empezar cada 7 días; por eso se divide 30 entre 7: 30 = 7 · 4 + 2. Después de 4 semanas completas vuelve a ser martes, y quedan 2 días más: miércoles y jueves. Será jueves. Es determinista porque se obtiene con un cálculo, sin esperar los 30 días, y el resultado es siempre el mismo.
¿Por qué un juego de conteo con una rima fija no es un juego de azar?#
Porque si se conocen la cantidad de golpes de la rima, la cantidad de jugadores y la persona por la que empieza la cuenta, se puede calcular en quién terminará. Por ejemplo, con 11 golpes y 4 jugadores, después de dos vueltas sobran 3 golpes, y siempre sale el tercero. Un resultado que se puede predecir así corresponde a una situación determinista.
¿Es aleatoria o determinista la cantidad de goles que meterá la selección de tu colegio en su próximo partido?#
Es aleatoria. Hay varios resultados posibles (0, 1, 2 o más goles) y no hay forma de saber con certeza cuál ocurrirá antes de jugar el partido, aunque se conozca bien al equipo. Si el mismo partido se pudiera repetir, el marcador podría ser distinto. Conocer al equipo ayuda a imaginar qué es más posible, pero no elimina el azar.
¿Cómo puede una misma experiencia dar una pregunta determinista y otra aleatoria?#
Depende de lo que se pregunte. Al lanzar un dado común, «¿saldrá un número entre 1 y 6?» tiene respuesta segura: sí, siempre. En cambio, «¿qué número saldrá?» no se puede responder antes de lanzar. Lo mismo pasa con una hoja que se deja caer: que llegue al suelo es seguro, pero el punto exacto donde caerá depende del azar.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año