Muchas preguntas de la vida diaria se convierten en problemas con ecuaciones de primer grado: cuántas semanas hay que ahorrar para alcanzar a un hermano, cuánto costaba un par de tenis antes de un descuento, cuánto mide cada franja de la bandera. La dificultad casi nunca está en resolver la ecuación, sino en plantearla: traducir el enunciado al lenguaje del álgebra.
En los problemas de compras y ahorro, los precios y montos son datos de ejercicio, elegidos para practicar; los datos de la bandera y de las escalas de temperatura son reales y llevan su fuente al final.
Idea central
Plantear un problema es elegir una letra para la cantidad desconocida, escribir con ella las demás cantidades y formar una ecuación con la relación que da el enunciado. La solución de la ecuación sirve como respuesta solo si encaja con la situación: no hay edades negativas, y un grupo no puede tener 12,5 estudiantes.
Un método en cuatro pasos#
- Entender. ¿Qué cantidad se busca? ¿Qué datos trae el enunciado y cómo se relacionan entre sí? Un dibujo o una tabla pequeña suelen aclararlo.
- Plantear. Se nombra con una letra la cantidad desconocida («sea x el precio de…»), se escriben con esa letra las demás cantidades y la relación del enunciado se convierte en una igualdad.
- Resolver. Se resuelve la ecuación con los pasos de siempre.
- Comprobar y responder. El resultado se prueba en el enunciado, no solo en la ecuación, porque un error de planteamiento no se ve en la ecuación. La respuesta se da en una frase, con las unidades.
Para plantear hay que traducir frases comunes al álgebra. Si x es el número desconocido:
| En palabras | En álgebra |
|---|---|
| El doble de un número | 2x |
| Un número aumentado en 7 | x + 7 |
| Cinco unidades menos que un número | x − 5 |
| Cinco menos un número | 5 − x |
| La tercera parte de un número | x/3 |
| Tres números enteros consecutivos | x, x + 1, x + 2 |
| Dos números que suman 30 | x y 30 − x |
Fíjate en las filas tercera y cuarta: en una resta, el orden importa. «Cinco unidades menos que un número» es x − 5, pero «cinco menos un número» es 5 − x. Con x = 12, la primera vale 7 y la segunda, −7.
Problemas con números y edades#
Ejemplo. La suma de tres números enteros consecutivos es 147. Halla los tres números.
Solución. Si el primero, el menor, es n, los siguientes son n + 1 y n + 2. Ecuación: n + (n + 1) + (n + 2) = 147, es decir, 3n + 3 = 147. Se resta 3: 3n = 144; se divide entre 3: n = 48. Los números son 48, 49 y 50. Comprobación: 48 + 49 + 50 = 147.
Ejemplo. Una madre tiene 41 años y su hija, 13. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el doble de la de su hija?
Solución. Sea t el número de años que faltan. Dentro de t años, la madre tendrá 41 + t y la hija, 13 + t. Ecuación: 41 + t = 2(13 + t). Se quita el paréntesis: 41 + t = 26 + 2t. Se resta t y se resta 26: 15 = t. Dentro de 15 años la madre tendrá 56 y la hija 28, y 56 es el doble de 28.
Ahora un problema que no tiene solución: ¿hay tres enteros consecutivos que sumen 100? La ecuación 3n + 3 = 100 da n = 97/3, que no es un número entero. La ecuación sí tiene solución, pero el problema no: no existen tres enteros consecutivos que sumen 100. Por eso el último paso es comprobar contra el enunciado.
Problemas con dinero#
Ejemplo. Para una actividad del colegio, un grupo compra 18 enchiladas y 12 vasos de fresco, y paga ₡18 900. Cada vaso de fresco cuesta ₡300 menos que una enchilada. ¿Cuánto cuesta cada cosa?
Solución. Si una enchilada cuesta x colones, un vaso de fresco cuesta x − 300. Ecuación: 18x + 12(x − 300) = 18 900. Se quita el paréntesis: 18x + 12x − 3600 = 18 900, es decir, 30x − 3600 = 18 900. Se suma 3600: 30x = 22 500, y x = 750. La enchilada cuesta ₡750 y el vaso de fresco, ₡450. Comprobación: 18 · 750 + 12 · 450 = 13 500 + 5400 = 18 900.
Ejemplo. Mateo tiene ₡12 000 ahorrados y guarda ₡1 500 cada semana. Daniela tiene ₡30 000 y guarda ₡600 cada semana. ¿En cuántas semanas tendrán la misma cantidad?
Solución. Sea s el número de semanas. Mateo tendrá 12 000 + 1500s y Daniela, 30 000 + 600s. Ecuación: 12 000 + 1500s = 30 000 + 600s. Se resta 600s y se resta 12 000: 900s = 18 000, así que s = 20. Dentro de 20 semanas los dos tendrán ₡42 000: 12 000 + 1500 · 20 = 42 000 y 30 000 + 600 · 20 = 42 000.
Ejemplo. Después de un descuento del 15 %, un par de tenis cuesta ₡29 750. ¿Cuál era el precio original?
Solución. Sea p el precio original. Con un descuento del 15 % se paga el 85 % del precio: 0,85p = 29 750. Se divide entre 0,85: p = 35 000. El precio original era ₡35 000. Comprobación: el 15 % de 35 000 es 5250, y 35 000 − 5250 = 29 750. Un error común es sumarle el 15 % a 29 750: eso da 34 212,50, que no es el precio original.
Problemas de geometría#
Ejemplo. Un terreno rectangular tiene 92 m de perímetro. Su largo mide 2 m menos que el triple del ancho. ¿Cuánto miden el largo y el ancho?
Solución. Si el ancho mide a metros, el largo mide 3a − 2. El perímetro es dos veces el ancho más dos veces el largo: 2a + 2(3a − 2) = 92. Queda 2a + 6a − 4 = 92, es decir, 8a = 96, y a = 12. El ancho mide 12 m y el largo, 3 · 12 − 2 = 34 m. Comprobación: 2 · 12 + 2 · 34 = 24 + 68 = 92.
Ejemplo. En un triángulo, un ángulo mide el doble que el menor, y el tercero mide 40° más que el menor. ¿Cuánto mide cada ángulo?
Solución. Sea x el ángulo menor; los otros miden 2x y x + 40. Los ángulos internos de un triángulo suman 180°: x + 2x + x + 40 = 180. Entonces 4x = 140 y x = 35. Los ángulos miden 35°, 70° y 75°. Comprobación: 35 + 70 + 75 = 180, y 35° es de verdad el menor de los tres.
Con datos reales: la bandera y la temperatura#
Ejemplo. La Ley N.º 10178 dice que la bandera de Costa Rica tiene cinco franjas horizontales y que la roja, en el centro, tiene «un ancho dos veces mayor que las demás» (artículo 1); es decir, mide el doble que cada una de las otras cuatro. La misma ley fija las medidas: «dos metros de largo por un metro veinte centímetros de ancho» (artículo 2). ¿Cuánto mide de ancho cada franja?
Solución. El ancho de la bandera es su altura: 120 cm. Sea f el ancho de una franja azul o blanca; la roja mide 2f. Las cinco franjas cubren toda la altura: f + f + 2f + f + f = 120, es decir, 6f = 120, y f = 20. Cada franja azul o blanca tiene 20 cm de ancho, y la roja, 40 cm. Comprobación: 20 + 20 + 40 + 20 + 20 = 120.
Ejemplo. El artículo 2 de esa ley pide que las banderas más grandes o más pequeñas guarden esas proporciones. Para un acto del colegio se quiere una bandera pequeña cuyo largo mida 32 cm más que su ancho. ¿Qué medidas debe tener?
Solución. Sea w el ancho, en centímetros; el largo es w + 32. La proporción se guarda si el largo entre el ancho da lo mismo que en la bandera de la ley: (w + 32)/w = 200/120. Al multiplicar en cruz: 120(w + 32) = 200w, o sea, 120w + 3840 = 200w. Se resta 120w: 3840 = 80w, y w = 48. La bandera debe medir 80 cm de largo y 48 cm de ancho. Comprobación: 80 − 48 = 32 y 80/48 = 5/3, igual que 200/120.
Ejemplo. Según la tabla de conversiones exactas del NIST, la temperatura en grados Fahrenheit se obtiene así: tF = 1,8 · tC + 32. ¿A qué temperatura el número de grados Fahrenheit es exactamente el doble del número de grados Celsius?
Solución. Sea x la temperatura en grados Celsius; el número de grados Fahrenheit tiene que ser 2x. Ecuación: 2x = 1,8x + 32. Se resta 1,8x a los dos miembros: 0,2x = 32. Se divide entre 0,2: x = 160. A 160 °C, un termómetro en Fahrenheit marca 320 °F, que es el doble. Comprobación: 1,8 · 160 + 32 = 288 + 32 = 320 = 2 · 160.
Ponte a prueba#
¿Cuáles son los dos números pares consecutivos que suman 86?#
Dos números pares consecutivos se diferencian en 2, así que se pueden escribir n y n + 2. Ecuación: n + (n + 2) = 86, es decir, 2n + 2 = 86. Se resta 2: 2n = 84, y n = 42. Los números son 42 y 44, que son pares, son consecutivos entre los pares y suman 86.
¿Cuántos años tiene Sofía si dentro de 6 años tendrá el triple de la edad que tenía hace 4 años?#
Sea x la edad actual. Dentro de 6 años tendrá x + 6, y hace 4 años tenía x − 4. Ecuación: x + 6 = 3(x − 4). Se quita el paréntesis: x + 6 = 3x − 12. Se resta x y se suma 12: 18 = 2x, así que x = 9. Sofía tiene 9 años. Comprobación: dentro de 6 años tendrá 15, y hace 4 años tenía 5; 15 es el triple de 5.
¿Cuánto miden los lados de un triángulo isósceles de 51 cm de perímetro si la base mide 6 cm menos que cada uno de los lados iguales?#
Sea x la medida de cada uno de los dos lados iguales; la base mide x − 6. El perímetro es la suma de los tres lados: x + x + (x − 6) = 51, es decir, 3x − 6 = 51. Se suma 6: 3x = 57, y x = 19. Los lados iguales miden 19 cm y la base, 13 cm. Comprobación: 19 + 19 + 13 = 51. Además, esas medidas sí forman un triángulo: 19 < 19 + 13 y 13 < 19 + 19.
¿Cómo se reparten ₡150 000 entre tres personas si la segunda recibe el doble que la primera y la tercera ₡10 000 más que la segunda?#
Sea x lo que recibe la primera; la segunda recibe 2x y la tercera 2x + 10 000. Ecuación: x + 2x + 2x + 10 000 = 150 000, es decir, 5x = 140 000, y x = 28 000. La primera recibe ₡28 000, la segunda ₡56 000 y la tercera ₡66 000. Comprobación: 28 000 + 56 000 + 66 000 = 150 000.
¿Qué hay que revisar si en un problema sobre cantidad de estudiantes la ecuación da x = 12,5?#
Una cantidad de estudiantes tiene que ser un número entero, así que 12,5 no puede ser la respuesta. Primero se revisa el planteamiento y las cuentas, sustituyendo en la ecuación y releyendo el enunciado. Si todo está bien, la conclusión es que el problema no tiene solución con esos datos: la ecuación tiene solución, pero la situación no.
Fuentes#
- Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)
- SINALEVI (Procuraduría General de la República) — Ley N.º 10178, Ley que regula el uso del pabellón, la bandera y el escudo nacionales (artículos 1 y 2)
- NIST (Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de EE. UU.) — SI Units: Temperature (conversiones exactas entre escalas)
También en Matemáticas 8ºOctavo año
