En una clase de Educación Física, doce estudiantes contaron sus pulsaciones durante un minuto, primero en reposo y después de un minuto de saltos. Al final tenían dos listas de doce números cada una. Para describir cada lista sin leerla entera, y decir en pocas palabras en qué cambió el pulso, existen las medidas de resumen: unos pocos valores que caracterizan a todo el grupo de datos.
Definición
Las medidas de resumen son valores que describen un grupo de datos numéricos. La moda es el valor con mayor frecuencia; la media aritmética (o promedio) es la suma de los datos dividida entre la cantidad de datos; el máximo y el mínimo son el mayor y el menor de los datos, y el recorrido es la diferencia entre ellos: recorrido = máximo − mínimo.
Qué dice cada medida#
Cada medida responde una pregunta distinta sobre los datos. Ninguna lo dice todo; juntas dan una buena descripción del grupo.
| Medida | Pregunta que responde | Cómo se obtiene |
|---|---|---|
| Moda | ¿Cuál valor aparece más veces? | Se cuenta cuántas veces aparece cada valor |
| Media aritmética | ¿Alrededor de qué valor se equilibran los datos? | Se suman los datos y se divide entre cuántos son |
| Mínimo y máximo | ¿Dónde empiezan y dónde terminan los datos? | Se buscan el menor y el mayor |
| Recorrido | ¿Qué tan separados están los extremos? | Se resta: máximo − mínimo |
La moda, la media, el mínimo y el máximo dicen dónde se ubican los datos; el recorrido, en cambio, mide cuánto varían. Más que memorizar esa diferencia, lo que importa es interpretar qué dice cada medida en el problema.
Mínimo, máximo y recorrido#
Ejemplo. Las pulsaciones por minuto en reposo de los doce estudiantes fueron: 72, 80, 76, 68, 84, 76, 88, 74, 76, 70, 82 y 78. ¿Cuáles son el mínimo, el máximo y el recorrido?
Solución. Conviene ordenar los datos de menor a mayor: 68, 70, 72, 74, 76, 76, 76, 78, 80, 82, 84, 88. El mínimo es 68 y el máximo, 88. El recorrido es 88 − 68 = 20 pulsaciones: entre el pulso menor y el mayor del grupo hay una diferencia de 20 pulsaciones por minuto.
El recorrido tiene las mismas unidades que los datos. Si es pequeño, los datos están cerca unos de otros; si es grande, hay al menos dos datos muy separados. Como solo usa los dos extremos, es una primera aproximación a la variabilidad: no dice cómo se reparten los datos del medio.
La moda: el valor más frecuente#
En la lista ordenada de pulsaciones en reposo, el 76 aparece tres veces y los demás valores, una sola vez. La moda es 76 pulsaciones por minuto.
- Hay grupos con dos modas o más. En la lista 3, 5, 5, 6, 9, 9, 10, el 5 se repite dos veces, igual que el 9, y los demás valores salen una sola vez: las modas son 5 y 9.
- Cuando cada valor tiene la misma frecuencia, no hay uno más repetido que los otros, y se dice que el grupo no tiene moda.
- Con datos cualitativos, como colores o sabores, de las cinco medidas solo tiene sentido la moda. Si de diez mochilas cinco son negras, tres azules y dos rojas, la moda es «negra»; en cambio, no existe un promedio ni un recorrido de colores.
Un error frecuente es leer la moda como «lo que tiene la mayoría». Mayoría significa más de la mitad de los datos. En el pulso en reposo, la moda, 76, la tienen 3 de 12 estudiantes: es el valor más repetido, pero lo comparte solo la cuarta parte del grupo.
La media aritmética: el punto de equilibrio#
Fórmula
Media aritmética = (suma de todos los datos) ÷ (cantidad de datos)
También se escribe x̄ = (x1 + x2 + … + xn) ÷ n, donde n es la cantidad de datos.
Ejemplo. Calcula la media de las pulsaciones en reposo.
Solución. La suma de los doce datos es 72 + 80 + 76 + 68 + 84 + 76 + 88 + 74 + 76 + 70 + 82 + 78 = 924. La media es 924 ÷ 12 = 77 pulsaciones por minuto. Es razonable: queda entre el mínimo (68) y el máximo (88), como pasa siempre con la media.
La media reparte el total en partes iguales: si los doce estudiantes tuvieran el mismo pulso y el total siguiera siendo 924, cada uno tendría 77. No tiene que coincidir con ningún dato, ni ser un número entero. Con muchos datos se calcula con la calculadora: se suman todos, se oprime la tecla de igual y después se divide entre la cantidad de datos.
Un dato mal anotado: qué medidas lo delatan#
Ejemplo. Al pasar los datos a la computadora, alguien escribió 178 en lugar de 78. ¿Cómo cambian las cinco medidas?
Solución. La moda no cambia: sigue siendo 76. El mínimo tampoco: 68. El máximo pasa a ser 178, y el recorrido, 178 − 68 = 110 pulsaciones, más de cinco veces el anterior. La suma aumenta 100 y queda en 1024, así que la media sube a 1024 ÷ 12 ≈ 85,3, más alta que 10 de los 12 datos.
Por eso conviene mirar siempre el máximo, el mínimo y el recorrido antes de interpretar la media: un valor que queda muy lejos de todos los demás puede ser un error al anotar, y hay que revisarlo en la hoja original. Si el dato resulta correcto, se conserva, pero se informa junto con las demás medidas, porque la media sola ya no describe bien al grupo.
Comparar dos grupos de datos#
Después de un minuto de saltos, los mismos doce estudiantes, en el mismo orden, contaron de nuevo: 114, 124, 118, 102, 130, 112, 140, 108, 120, 104, 126 y 118. Ordenados quedan así: 102, 104, 108, 112, 114, 118, 118, 120, 124, 126, 130, 140. La suma es 1416 y la media, 1416 ÷ 12 = 118.
| Medida | En reposo | Después de los saltos |
|---|---|---|
| Moda | 76 | 118 |
| Media aritmética | 77 | 118 |
| Mínimo | 68 | 102 |
| Máximo | 88 | 140 |
| Recorrido | 20 | 38 |
Ejemplo. ¿Qué se puede concluir del cuadro?
Solución. Todas las medidas de ubicación subieron: la media pasó de 77 a 118, es decir, aumentó 41 pulsaciones por minuto, y hasta el mínimo después de los saltos (102) es mayor que el máximo en reposo (88). Además, el recorrido casi se duplicó, de 20 a 38: después del ejercicio los pulsos quedaron más separados entre sí, porque el esfuerzo no afectó a todos por igual.
Un diagrama de puntos de cada lista, dibujado sobre la misma escala, muestra lo mismo a simple vista: la nube de puntos se corre hacia la derecha y se estira. Las conclusiones valen para estos doce estudiantes; para hablar de otros grupos habría que medirlos también.
Las medidas desde un cuadro de frecuencias#
A veces los datos llegan ya resumidos en un cuadro de frecuencias. Las medidas se obtienen igual, sin escribir de nuevo la lista completa.
Ejemplo. En Educación Física, cada uno de 24 estudiantes hizo 5 tiros libres al aro. El cuadro muestra cuántos encestó cada quien. Calcula las cinco medidas.
Solución. La moda es 3 encestes, el valor con mayor frecuencia (7 estudiantes). El mínimo es 0 y el máximo, 5, así que el recorrido es 5 − 0 = 5. Para la media, cada valor se multiplica por su frecuencia, porque se repite esas veces: 0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 4 + 5 · 3 = 0 + 3 + 10 + 21 + 16 + 15 = 65 encestes en total. La media es 65 ÷ 24 ≈ 2,7 encestes por estudiante.
| Encestes (de 5 tiros) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Estudiantes | 2 | 3 | 5 | 7 | 4 | 3 | 24 |
Fíjate en que se divide entre 24, la cantidad de estudiantes, y no entre 6, la cantidad de valores distintos. Una hoja de cálculo trae funciones listas para cuatro de las medidas, y el recorrido sale de restar dos celdas; aun así, revisa que la media quede entre el mínimo y el máximo.
Ponte a prueba#
¿Qué valores toman las cinco medidas de resumen si diez estudiantes tardaron 26, 31, 28, 35, 28, 24, 30, 28, 33 y 27 minutos en armar un rompecabezas?#
Ordenados: 24, 26, 27, 28, 28, 28, 30, 31, 33, 35. La moda es 28 minutos, que aparece tres veces. La suma es 290 y hay 10 datos, así que la media es 290 ÷ 10 = 29 minutos. El mínimo es 24, el máximo es 35 y el recorrido es 35 − 24 = 11 minutos. Aquí la moda y la media quedan cerca, pero no coinciden.
¿Puede la media de un grupo de datos ser mayor que su máximo?#
No. Ningún dato pasa del máximo, así que la suma de todos los datos no puede pasar del máximo multiplicado por la cantidad de datos. Al dividir esa suma entre la cantidad de datos, la media queda, como mucho, igual al máximo, y solo lo iguala si todos los datos son iguales. Por la misma razón, la media no puede ser menor que el mínimo. Si una calculadora da una media fuera de esos límites, hubo un error.
¿Cuál grupo es más variable, A con 48, 50, 50 y 52, o B con 35, 45, 55 y 65, si los dos tienen la misma media?#
Los dos suman 200 y tienen 4 datos, así que los dos tienen media 50. Pero el recorrido de A es 52 − 48 = 4, y el de B es 65 − 35 = 30. Los datos de B están mucho más separados: B es más variable. Por eso la media sola no basta para describir un grupo; hay que acompañarla de una medida de variabilidad como el recorrido.
¿Cuál es la media de mascotas por estudiante si 4 estudiantes no tienen mascotas, 7 tienen una, 6 tienen dos y 3 tienen tres?#
Hay 4 + 7 + 6 + 3 = 20 estudiantes. El total de mascotas es 0 · 4 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 3 = 0 + 7 + 12 + 9 = 28. La media es 28 ÷ 20 = 1,4 mascotas por estudiante. La moda es 1 mascota, el mínimo 0, el máximo 3 y el recorrido 3.
¿Qué les pasa a la media y al recorrido si a todos los datos de un grupo se les suma 5?#
La media aumenta 5 y el recorrido no cambia. Por ejemplo, 2, 4 y 9 tienen media 15 ÷ 3 = 5 y recorrido 9 − 2 = 7. Al sumar 5 quedan 7, 9 y 14, con media 30 ÷ 3 = 10 y recorrido 14 − 7 = 7. Todo el grupo se corre 5 unidades, pero la distancia entre los extremos sigue igual.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año