Muestras aleatorias: la importancia del azar en el muestreo

Para saber cuántas horas duermen los estudiantes de un colegio, cuánto pesan los paquetes que salen de una fábrica o qué opina la población sobre un tema, casi nunca se puede consultar a todos. Lo que se hace es estudiar una parte, una muestra, y a partir de ella sacar conclusiones sobre el todo. Esas conclusiones solo valen si la muestra se parece al grupo completo, y la herramienta clave para lograrlo es el azar.

En esta lección vas a ver qué es una muestra aleatoria, por qué escoger «a dedo» puede engañar, cómo seleccionar una muestra con una rifa o con una hoja de cálculo y por qué las encuestas serias dependen del azar. Salvo la encuesta de la Universidad de Costa Rica que se cita al final, los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Población, muestra y por qué se usan muestras#

La población es el conjunto completo de personas, objetos o hechos que interesa estudiar, y la muestra es la parte de esa población que efectivamente se observa. Cuando se estudia a toda la población, el estudio se llama censo. Hay buenas razones para trabajar con una muestra:

• Costo y tiempo. Entrevistar a miles de personas o revisar millones de productos es caro y lento; una muestra bien escogida da información útil mucho antes.
• Poblaciones enormes o que cambian. Los peces de un río o los carros que pasan por una carretera no se pueden contar todos a la vez.
• Pruebas que destruyen. Para saber cuánto dura encendida una candela hay que quemarla. Si se probaran todas, no quedaría ninguna para vender.

Una comparación ayuda a entender la idea. Para saber si a una olla de sopa le falta sal no hace falta tomársela toda: basta una cucharada, siempre que antes se revuelva bien. Si no se revuelve, la cucharada de arriba puede engañar. En estadística, «revolver» es escoger la muestra al azar.

El sesgo: cuando la muestra no se parece a la población#

Si la forma de escoger la muestra favorece a cierto tipo de personas u objetos, los resultados se inclinan siempre hacia el mismo lado. A ese error se le llama sesgo de selección. Algunos ejemplos:

• Preguntar solo a tus amistades qué música le gusta al colegio: tus amistades suelen tener gustos parecidos a los tuyos.
• Publicar una encuesta en una red social y contar las respuestas: contesta quien quiere, casi siempre quien tiene más interés en el tema.
• Pesar solo los mangos más bonitos de una caja: se escogen «a ojo» y quedan fuera los pequeños.
• Hacer una encuesta sobre deporte entre quienes están en la cancha durante el recreo.

Ejemplo. Para estimar qué porcentaje de estudiantes de un colegio hace deporte tres o más veces por semana, un grupo entrevistó a 40 estudiantes que estaban en la cancha: 28 dijeron que sí. Otro grupo escogió por rifa a 40 estudiantes de la lista de todo el colegio: 14 dijeron que sí. ¿Cuál estimación merece más confianza?

Solución. En la cancha, el porcentaje fue 28 ÷ 40 = 0,7, el 70 %; en la muestra por rifa, 14 ÷ 40 = 0,35, el 35 %. Merece más confianza la segunda, porque en la cancha hay más estudiantes deportistas que en el resto del colegio: esa muestra favorece a quienes hacen deporte. La rifa, en cambio, le da a cada estudiante la misma oportunidad de ser escogido.

Un detalle importante: el sesgo no se arregla con una muestra más grande. Si en lugar de 40 se entrevistara a 80 estudiantes en la cancha, el resultado seguiría inflado, porque el problema está en la forma de escoger, no en la cantidad.

El azar como solución: el muestreo aleatorio simple#

El programa del MEP propone esta situación: una organización necesita escoger al azar a 15 estudiantes de noveno año para un programa de salud integral. Supongamos que el nivel tiene 120 estudiantes. Un procedimiento correcto es este:

1. Se hace una lista con los 120 estudiantes y se le asigna a cada uno un número, del 1 al 120.
2. Se escriben los 120 números en papelitos iguales, se meten en una bolsa, se revuelven bien y se sacan 15, sin devolverlos a la bolsa.
3. Los estudiantes con esos números forman la muestra.

En vez de papelitos se pueden usar números aleatorios de una calculadora o de una hoja de cálculo. En LibreOffice Calc, la función =ALEATORIO.ENTRE(1;120) devuelve un número entero al azar entre 1 y 120. Si un número sale repetido, se descarta y se genera otro, hasta tener 15 distintos.

¿Por qué es justo? Porque antes del sorteo nadie sabe quién va a quedar y nadie puede influir en el resultado. Además, todos tienen la misma probabilidad de ser escogidos: 15 de 120, es decir, 15 ÷ 120 = 1/8 = 0,125, el 12,5 %.

Ojo con los métodos que parecen azar y no lo son. Con una rima de echar suertes, como «tin marín», quien sabe dónde empieza la cuenta y cuántas sílabas tiene la rima puede predecir quién saldrá. Escoger a quienes «se ven responsables» o a los primeros que levantan la mano tampoco es azar.

Otras formas de muestreo aleatorio#

Muestreo estratificado: una rifa en cada sección#

El programa sugiere otra opción: sortear una cantidad de estudiantes dentro de cada sección. Para que el reparto sea justo, a cada sección le toca una parte de la muestra proporcional a su tamaño, y dentro de cada sección se hace una rifa. Así se garantiza que ninguna sección quede por fuera.

Ejemplo. Las secciones de noveno tienen 32, 24, 40 y 24 estudiantes. ¿Cuántos se deben sortear en cada sección para una muestra proporcional de 15?

Solución. El nivel tiene 32 + 24 + 40 + 24 = 120 estudiantes, y la muestra es 15 de 120, o sea, la octava parte. Entonces se sortean 32 · 15 ÷ 120 = 4 estudiantes en la primera sección, 24 · 15 ÷ 120 = 3 en la segunda, 40 · 15 ÷ 120 = 5 en la tercera y 3 en la cuarta. Se comprueba: 4 + 3 + 5 + 3 = 15.

Muestreo sistemático#

Se divide el tamaño de la población entre el de la muestra: 120 ÷ 15 = 8. Luego se sortea un punto de partida entre 1 y 8 y, desde ahí, se toma uno de cada 8 de la lista. Si en la rifa sale el 5, la muestra está formada por los números 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, 69, 77, 85, 93, 101, 109 y 117. El azar está en el punto de partida. Este método funciona bien si la lista no tiene un patrón que se repita cada 8 lugares; si lo tuviera, la muestra podría quedar cargada hacia un tipo de estudiante.

Una muestra aleatoria no es una copia exacta#

El azar no garantiza que la muestra sea una réplica perfecta de la población. Dos muestras aleatorias de la misma población casi siempre dan resultados un poco distintos. A eso se le llama variabilidad muestral.

Ejemplo. Supongamos que 48 de los 120 estudiantes de noveno tienen bicicleta. Tres grupos sacan, cada uno por rifa, una muestra de 15 estudiantes, y encuentran 5, 7 y 6 estudiantes con bicicleta. ¿Qué porcentajes obtiene cada grupo? ¿Alguno se equivocó?

Solución. En toda la población, el porcentaje es 48 ÷ 120 = 0,4, el 40 %. Las muestras dan 5 ÷ 15 ≈ 33,3 %, 7 ÷ 15 ≈ 46,7 % y 6 ÷ 15 = 40 %. Ningún grupo se equivocó: las diferencias se deben al azar del sorteo. Unas muestras quedan por encima y otras por debajo del valor real, pero no hay una tendencia a inclinarse siempre hacia el mismo lado, como pasa con el sesgo.

Aquí está la gran ventaja del azar: como la muestra se escoge con reglas de probabilidad, se puede calcular cuánto puede alejarse el resultado de la muestra del valor de la población. Ese cálculo es el margen de error. Con una muestra escogida «a dedo» no hay forma de calcularlo. Además, cuanto más grande es una muestra aleatoria, menos varían sus resultados; esa idea se relaciona con la ley de los grandes números.

El azar en las encuestas de opinión#

El programa del MEP pide destacar el uso del muestreo aleatorio en las encuestas nacionales. Un ejemplo real es el estudio de opinión sociopolítica de octubre de 2021 del Centro de Investigación y Estudios Políticos (CIEP) y la Escuela de Ciencias Políticas de la Universidad de Costa Rica. Según su informe, la encuesta se hizo por teléfono a personas mayores de 18 años con teléfono celular, y los números se escogieron con un muestreo aleatorio a partir del Plan Nacional de Numeración de la Superintendencia de Telecomunicaciones (SUTEL).

Se completaron 940 entrevistas y, con un nivel de confianza del 95 %, el informe estima un error muestral máximo de ± 3 puntos porcentuales. En palabras sencillas: por el puro azar de la selección, un porcentaje de la muestra puede alejarse hasta unos 3 puntos, hacia arriba o hacia abajo, del que se obtendría preguntando a toda esa población. El 95 % indica qué tan confiable es ese margen: de cada 100 muestras escogidas así, en unas 95 la diferencia no pasaría de esos 3 puntos.

El mismo informe hace una advertencia que vale para cualquier muestra: sus conclusiones se refieren solo a la población con teléfono celular, no a toda la población. Una muestra aleatoria representa al grupo del que se sacó, y a ningún otro.

Ponte a prueba#

¿Es aleatoria una muestra formada por las personas que responden voluntariamente una encuesta publicada en una red social?#

¿Qué probabilidad tiene cada estudiante de ser escogido si por rifa se eligen 12 de los 150 estudiantes de un nivel?#

¿Cuántos estudiantes de cada nivel deben quedar en una muestra proporcional de 30 si un colegio tiene 180 estudiantes en sétimo, 150 en octavo y 120 en noveno?#

¿Qué números forman una muestra sistemática de 10 boletas escogidas entre 200 si el punto de partida sorteado es el 7?#

¿Por qué no se corrige el sesgo de una encuesta hecha solo en la cancha si se entrevista al doble de estudiantes?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)
• CIEP y Escuela de Ciencias Políticas, Universidad de Costa Rica — Informe de resultados del estudio de opinión sociopolítica, octubre 2021
• LibreOffice — Ayuda de Calc: funciones matemáticas (ALEATORIO.ENTRE)