Imagina una ruleta de cinco colores en un turno de la feria escolar. Antes de preguntarte qué tan fácil es ganar, hay una pregunta más básica: ¿qué puede salir? Hacer la lista completa de los resultados posibles, es decir, el espacio muestral, sin que falte ni sobre ninguno, es el primer paso para estudiar cualquier situación aleatoria.
La lista de resultados depende de qué se decide anotar como resultado.
Definición
Un experimento aleatorio es una situación aleatoria que se puede realizar u observar, como girar una ruleta o sacar una ficha de una bolsa sin ver. Cada resultado simple del experimento se llama punto muestral; si se reúnen todos, se obtiene el espacio muestral. Lo llamaremos S.
Los puntos muestrales: los resultados simples#
Un punto muestral es un resultado simple: uno solo de los resultados posibles, tal como se anota cada vez que se hace el experimento. Para encontrarlos, imagina que haces el experimento una vez y pregúntate qué podrías anotar.
Ejemplo. La ruleta de la feria está dividida en cinco sectores: rojo, azul, verde, amarillo y blanco. Se gira una vez y se anota el color en que se detiene la flecha. ¿Cuáles son los puntos muestrales y cuál es el espacio muestral?
Solución. Cada color es un punto muestral, porque la flecha solo puede detenerse en uno de ellos. El espacio muestral es S = {rojo, azul, verde, amarillo, blanco}, y tiene 5 puntos muestrales.
Para escribir el espacio muestral entre llaves se siguen tres reglas: cada punto muestral aparece una sola vez, se separan con comas, y el orden en que se escriben dentro de las llaves no importa. Si los nombres son largos, se usan abreviaturas, siempre que se explique qué significa cada una.
Lo que se anota define el espacio muestral#
Un mismo experimento puede tener espacios muestrales distintos, según lo que se decida observar. Por eso, antes de escribir S, hay que precisar qué cuenta como resultado.
Ejemplo. En una bolsa hay 3 bolas rojas y 2 blancas, iguales en todo menos en el color. Se saca una sin ver. Escribe el espacio muestral si se anota solo el color, y si cada bola tiene un número pintado y se anota cuál bola salió.
Solución. Si se anota el color, solo hay dos resultados posibles: S = {roja, blanca}. Si se anota la bola, hay cinco: con R1, R2 y R3 para las rojas y B1 y B2 para las blancas, S = {R1, R2, R3, B1, B2}.
Los dos espacios muestrales describen bien el experimento, pero no dicen lo mismo. En el de cinco puntos se ve que hay más bolas rojas que blancas; en el de dos puntos esa información se pierde. Cuando más adelante compares qué resultados son más posibles, te convendrá el espacio en el que cada punto muestral corresponde a un objeto o a un caso concreto.
Experimentos en dos etapas: el cuadro de doble entrada#
Muchos experimentos tienen dos partes: dos personas que juegan, dos objetos que se lanzan, dos extracciones seguidas. Entonces cada punto muestral es una pareja de resultados, y un cuadro de doble entrada permite escribirlos todos sin olvidar ninguno: los resultados de una etapa van en las filas, los de la otra en las columnas, y cada casilla es un punto muestral.
Ejemplo. Luis y Marta juegan una vez a piedra, papel o tijera. Se anota qué sacó cada uno. ¿Cuál es el espacio muestral?
Solución. En el cuadro, las filas son lo que sacó Luis y las columnas, lo que sacó Marta. En cada casilla, la primera palabra es la de Luis. Hay 3 filas y 3 columnas, así que el espacio muestral tiene 3 · 3 = 9 puntos muestrales.
| Luis (filas) / Marta (columnas) | Piedra | Papel | Tijera |
|---|---|---|---|
| Piedra | (piedra, piedra) | (piedra, papel) | (piedra, tijera) |
| Papel | (papel, piedra) | (papel, papel) | (papel, tijera) |
| Tijera | (tijera, piedra) | (tijera, papel) | (tijera, tijera) |
Fíjate en que (piedra, papel) y (papel, piedra) son puntos muestrales distintos: en el primero gana Marta y en el segundo, Luis. Cuando las dos etapas se distinguen (primer jugador y segundo, primera extracción y segunda), el orden dentro de la pareja importa.
El diagrama de árbol#
Un diagrama de árbol representa el experimento etapa por etapa. Desde un punto de partida salen tantas ramas como resultados tiene la primera etapa; desde el final de cada rama salen las ramas de la segunda etapa, y así sucesivamente. Cada camino completo, desde el inicio hasta una punta, es un punto muestral. Sirve sobre todo cuando lo que puede pasar en una etapa depende de lo que pasó antes.
Ejemplo. En una bolsa hay tres fichas, marcadas A, B y C. Se saca una sin ver, se deja afuera y luego se saca otra. Se anota la letra de la primera y la de la segunda. Haz el diagrama de árbol y escribe el espacio muestral.
Solución. En la primera extracción puede salir A, B o C: tres ramas. Como la ficha no se devuelve, de cada rama salen solo dos ramas para la segunda extracción. La tabla muestra el árbol: cada fila es un camino completo.
| Primera ficha | Segunda ficha | Punto muestral |
|---|---|---|
| A | B | AB |
| A | C | AC |
| B | A | BA |
| B | C | BC |
| C | A | CA |
| C | B | CB |
El espacio muestral es S = {AB, AC, BA, BC, CA, CB}, con 3 · 2 = 6 puntos muestrales, donde AB significa que salió A primero y B después. Contar caminos es más seguro que tratar de recordarlos todos de memoria: el árbol obliga a revisar cada rama.
Con reposición, sin reposición y sin importar el orden#
El experimento de las fichas cambia si cambian las reglas, y con él cambia el espacio muestral:
- Con reposición: si la primera ficha se devuelve a la bolsa antes de sacar la segunda, la misma letra puede salir dos veces. Aparecen AA, BB y CC, y el espacio muestral tiene 3 · 3 = 9 puntos.
- Sin reposición: es el caso del árbol anterior. La segunda extracción tiene una opción menos, y hay 6 puntos.
- Sin importar el orden: si solo interesa qué dos fichas quedaron afuera, sacar A y luego B es lo mismo que sacar B y luego A. Entonces S = {AB, AC, BC}, con 3 puntos muestrales.
Ejemplo. Se saca una ficha de la bolsa con A, B y C, se devuelve y se saca otra. Escribe el espacio muestral con un cuadro de doble entrada.
Solución. Las filas son la primera ficha y las columnas, la segunda. Ahora están las nueve casillas, también las de la diagonal: S = {AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC}. Son 9 puntos muestrales, 3 más que sin reposición: justamente los tres de la diagonal, AA, BB y CC, que sin reposición son imposibles.
Con dos monedas o dos dados lanzados a la vez pasa algo parecido. Si no se distingue una moneda de la otra y solo se anota qué salió, el espacio muestral queda {EE, EC, CC}, con 3 puntos, y está bien escrito. Pero EC reúne dos maneras distintas de caer: escudo en la primera moneda y corona en la segunda, o al revés. Si se distinguen las monedas (por ejemplo, porque una es más grande), el espacio es {EE, EC, CE, CC}, con 2 · 2 = 4 puntos. En la lección de probabilidad verás que este es el que conviene, porque, con monedas bien equilibradas, sus cuatro puntos tienen las mismas posibilidades.
Antes de escribir un espacio muestral, conviene entonces responder tres preguntas: ¿cuántas etapas tiene el experimento?, ¿se devuelve lo que se saca?, y ¿importa el orden en que salen los resultados?
Ponte a prueba#
¿Cuál es el espacio muestral de lanzar una moneda y luego girar una ruleta con los números 1, 2 y 3?#
Cada punto muestral combina el lado de la moneda con el número de la ruleta. Si E es escudo y C es corona, S = {E1, E2, E3, C1, C2, C3}. Son 2 · 3 = 6 puntos muestrales. En un diagrama de árbol, de la moneda salen dos ramas y de cada una salen tres, una por cada número.
¿Cuántos puntos muestrales tiene el experimento de responder al azar tres preguntas de verdadero o falso?#
Cada pregunta tiene 2 respuestas posibles, V o F, y el diagrama de árbol se divide en dos en cada etapa: 2 · 2 · 2 = 8 caminos. El espacio muestral es S = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}, donde cada letra, en orden, corresponde a una de las preguntas.
¿Cuántos puntos muestrales hay al lanzar dos dados de cuatro caras numeradas del 1 al 4?#
Un cuadro de doble entrada con los resultados del primer dado en las filas y los del segundo en las columnas tiene 4 filas y 4 columnas, así que hay 4 · 4 = 16 casillas, es decir, 16 puntos muestrales: de (1, 1) hasta (4, 4). Las parejas (1, 3) y (3, 1) son puntos distintos, porque se distingue el primer dado del segundo.
¿Por qué el espacio muestral de sacar dos fichas sin devolver la primera no incluye AA?#
Porque solo hay una ficha A en la bolsa. Si sale A en la primera extracción y no se devuelve, ya no está en la bolsa y no puede salir en la segunda. Un punto muestral tiene que ser un resultado posible del experimento; AA solo aparece en el espacio muestral cuando la ficha se devuelve antes de sacar la segunda.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año