Simetría axial: ejes de simetría y figuras simétricas en el plano

Dobla una hoja por la mitad, recorta una figura sin desdoblarla y ábrela: al volver a doblar, las dos mitades coinciden. Esa es la idea de la simetría axial, muy frecuente en el arte, el diseño y la naturaleza, como, a simple vista, en las alas de una mariposa. En esta lección vas a aprender a encontrar los ejes de simetría de una figura, a reconocer sus puntos, segmentos y ángulos homólogos y a trazar figuras simétricas con coordenadas.

En undécimo año el tema se estudia con geometría analítica: en el plano cartesiano, la simetría respecto a los ejes coordenados se reduce a cambiar el signo de una coordenada. Es la base de la reflexión, una de las transformaciones del plano.

Cómo encontrar los ejes de simetría de una figura#

Una recta es eje de simetría si, al doblar la figura por ella, las dos partes quedan una sobre la otra sin que sobre nada. Para comprobarlo puedes doblar papel, poner un espejo sobre la recta o, con coordenadas, verificar que el simétrico de cada vértice sea también un vértice de la figura.

Figura	Ejes de simetría	Dónde están
Triángulo isósceles (no equilátero)	1	Pasa por el vértice opuesto a la base y por el punto medio de la base
Triángulo equilátero	3	Cada una une un vértice con el punto medio del lado opuesto
Rectángulo que no es cuadrado	2	Unen los puntos medios de lados opuestos
Rombo que no es cuadrado	2	Las dos diagonales
Cuadrado	4	Las dos diagonales y las dos rectas que unen puntos medios de lados opuestos
Trapecio isósceles	1	Une los puntos medios de las dos bases
Paralelogramo que no es rectángulo ni rombo	0	No tiene
Polígono regular de n lados	n	Todos pasan por el centro
Círculo	Infinitos	Toda recta que pasa por el centro

Ojo: las diagonales de un rectángulo que no es cuadrado no son ejes de simetría. Cada una lo divide en dos triángulos iguales, pero al doblar por ella las esquinas no coinciden.

Las letras mayúsculas#

Depende del tipo de letra, pero en las de imprenta de trazo sencillo A, M, T, U, V e Y tienen un eje vertical; B, C, D y E, uno horizontal; H, I y X, dos; y F, G, J, N, P, R, S y Z, ninguno. La N, la S y la Z coinciden consigo mismas si se giran media vuelta, pero esa es una simetría de rotación, no axial.

Ejemplo. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un hexágono regular y dónde están?

Solución. Tiene 6, porque un polígono regular tiene tantos ejes como lados: tres unen vértices opuestos y tres unen puntos medios de lados opuestos. Si el hexágono tiene su centro en el origen y un vértice en (1, 0), el eje x es uno de ellos: el simétrico de cada vértice respecto al eje x es otro vértice.

Elementos homólogos: puntos, segmentos y ángulos#

En una figura simétrica, cada elemento de un lado del eje tiene su homólogo del otro lado: aquel sobre el que cae al doblar. Si A y A′ son homólogos y B y B′ también, los segmentos AB y A′B′ son homólogos. Estas son sus propiedades:

• Los puntos que están sobre el eje son homólogos de sí mismos: no se mueven.
• El eje es perpendicular al segmento que une dos puntos homólogos y lo corta en su punto medio.
• Los segmentos homólogos tienen la misma longitud, y los ángulos homólogos, la misma medida.
• El sentido se invierte: si los vértices A, B y C se recorren en el sentido de las manecillas del reloj, sus homólogos A′, B′ y C′ quedan en el sentido contrario, como tu mano derecha frente a un espejo.

Ejemplo. En el triángulo isósceles ABC, AB = AC, BC = 8 cm y el ángulo B mide 65°. El eje de simetría pasa por A y por el punto medio M de BC. Identifica los elementos homólogos y calcula la medida del ángulo C, la del ángulo A y la altura AM.

Solución. Al doblar por la recta AM, el punto B cae sobre C. Son homólogos los puntos B y C (A y M son homólogos de sí mismos porque están en el eje), los segmentos AB y AC, los segmentos BM y MC, y los ángulos B y C. Por eso el ángulo C también mide 65° y BM = MC = 8 ÷ 2 = 4 cm. Como los ángulos de un triángulo suman 180°, el ángulo A mide 180° − 65° − 65° = 50°. El eje es perpendicular a BC, de modo que el triángulo ABM es rectángulo en M y AM = BM · tan 65° = 4 · tan 65° ≈ 8,58 cm.

Figuras simétricas respecto a los ejes coordenados#

En el plano cartesiano, los ejes coordenados son ejes de simetría muy cómodos. Si el eje es el eje x, cada punto conserva su abscisa y su ordenada cambia de signo; si el eje es el eje y, la que cambia de signo es la abscisa.

Para trazar el simétrico de un polígono basta con hallar los homólogos de los vértices y unirlos en el mismo orden, porque la simetría lleva cada segmento a otro de la misma longitud.

Ejemplo. Traza el simétrico del triángulo de vértices A(1, 2), B(5, 3) y C(3, 6) respecto al eje y y, luego, respecto al eje x.

Solución. Respecto al eje y se cambia el signo de la abscisa: A′(−1, 2), B′(−5, 3) y C′(−3, 6). Respecto al eje x se cambia el signo de la ordenada: A″(1, −2), B″(5, −3) y C″(3, −6). En cada caso se ubican los tres puntos y se unen. Se puede comprobar que las medidas se conservan: AB = √((5 − 1)² + (3 − 2)²) = √17 y A′B′ = √((−5 + 1)² + (3 − 2)²) = √17.

Ejemplo. La mitad derecha de una figura es la línea poligonal que une, en orden, los puntos (0, 6), (2, 4), (4, 5), (3, 0) y (0, 0). Complétala para que el eje y sea su eje de simetría.

Solución. Los puntos (0, 6) y (0, 0) están sobre el eje y, así que son homólogos de sí mismos. Los demás se reflejan cambiando el signo de la abscisa: (2, 4) → (−2, 4), (4, 5) → (−4, 5) y (3, 0) → (−3, 0). La figura completa se obtiene al unir, en orden, (0, 6), (2, 4), (4, 5), (3, 0), (0, 0), (−3, 0), (−4, 5), (−2, 4) y de nuevo (0, 6).

Ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados#

Si el eje es una recta vertical x = a, el homólogo de P(x, y) queda a la misma distancia de esa recta, del otro lado, y su abscisa es 2a − x. Si es una recta horizontal y = b, la ordenada del homólogo es 2b − y.

Ejemplo. Halla el homólogo de P(7, −1) respecto a la recta x = 3.

Solución. P está 4 unidades a la derecha de la recta (7 − 3 = 4), así que su homólogo está 4 unidades a la izquierda, en x = 3 − 4 = −1. Con la fórmula, 2 · 3 − 7 = −1. La ordenada no cambia, de modo que P′(−1, −1). Se comprueba: el punto medio de PP′ es (3, −1), que está sobre la recta x = 3.

Ejemplo. Los puntos A(−3, 2) y A′(5, 2) son homólogos en una simetría axial. ¿Cuál es el eje? ¿Cuál sería, con ese eje, el homólogo de B(0, 6)?

Solución. El eje es la mediatriz de AA′. Como A y A′ tienen la misma ordenada, el segmento AA′ es horizontal y su mediatriz es vertical. Pasa por el punto medio ((−3 + 5) ÷ 2, (2 + 2) ÷ 2) = (1, 2), así que el eje es la recta x = 1. El homólogo de B(0, 6) es B′(2 · 1 − 0, 6) = B′(2, 6).

Un problema resuelto con simetría axial: el camino más corto#

La simetría ayuda a resolver problemas que, a primera vista, no parecen de simetría. Uno clásico es buscar el camino más corto entre dos puntos que debe tocar una recta. Los datos de este problema son inventados para practicar.

Ejemplo. Unos vecinos quieren poner una bomba a la orilla de un canal recto y llevar tubería desde ella hasta dos tanques, A y B, del mismo lado del canal. En un plano cartesiano en el que cada unidad representa 100 m, el canal es el eje x, A = (1, 3) y B = (7, 5). ¿Dónde se debe colocar la bomba P para que la suma PA + PB sea la menor posible?

Solución. Se refleja A respecto al eje x: A′(1, −3). Para cualquier punto P del canal, PA = PA′, porque el canal es la mediatriz de AA′. Entonces PA + PB = PA′ + PB, y esa suma es mínima cuando P está sobre el segmento recto A′B. La recta que pasa por A′(1, −3) y B(7, 5) tiene pendiente (5 + 3) ÷ (7 − 1) = 4/3 y corta el eje x donde −3 + (4/3)(x − 1) = 0, es decir, en x = 13/4. La bomba va en P(13/4, 0), a 325 m del origen a lo largo del canal. La longitud mínima de tubería es A′B = √(6² + 8²) = 10 unidades, o sea, 1000 m. Se comprueba: PA = 15/4 y PB = 25/4, que suman 40/4 = 10.

El reflejo convierte el camino quebrado en uno recto, y entre dos puntos el camino más corto es el segmento que los une.

Ponte a prueba#

¿Cuál es el homólogo del punto (−4, 7) respecto al eje x y cuál respecto al eje y?#

¿Por qué la diagonal de un rectángulo que no es cuadrado no es un eje de simetría?#

¿Cuál es el eje de simetría si el punto (2, −1) tiene como homólogo al punto (2, 9)?#

¿Cuánto miden los ángulos R y P de un triángulo isósceles PQR si su eje de simetría pasa por P y el ángulo Q mide 72°?#

¿Qué vértices tiene el simétrico del triángulo A(2, 1), B(6, 1), C(4, 5) respecto al eje y, y cómo es su área?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)