Transformaciones en el plano: qué cambia y qué queda invariante

Cuando deslizas una ficha sobre un tablero, la giras o la ves ampliada en una fotocopia, la figura cambia de lugar, de posición o de tamaño, pero algo se mantiene. En geometría, esos cambios se describen con transformaciones en el plano. En undécimo año se estudian cuatro: la traslación, la reflexión, la rotación y la homotecia.

En esta lección vas a aprender qué figura se obtiene al aplicar cada una de ellas a una figura dada y a reconocer qué elementos quedan invariantes, es decir, qué no cambia: ciertos puntos, ciertas rectas o propiedades como la longitud, la medida de los ángulos o el paralelismo.

Las cuatro transformaciones del programa#

• Traslación. Mueve todos los puntos la misma distancia, en la misma dirección y en el mismo sentido, según un vector; por ejemplo, «4 unidades a la derecha y 2 hacia abajo».
• Reflexión respecto a una recta l. Lleva cada punto a su simétrico respecto a l, como un espejo: l es la mediatriz del segmento que une cada punto con su imagen.
• Rotación de centro O y ángulo α. Gira cada punto alrededor de O: la imagen P′ está a la misma distancia de O que P y el ángulo POP′ mide α. Si α es positivo, el giro es en sentido contrario a las manecillas del reloj.
• Homotecia de centro O y razón k (k ≠ 0). Lleva cada punto P a un punto P′ de la recta OP tal que OP′ = |k| · OP. Si k > 0, P′ queda del mismo lado de O que P; si k < 0, del lado contrario.

Las tres primeras se llaman isometrías o movimientos rígidos, porque conservan las distancias: la figura cambia de lugar sin deformarse. La homotecia, en cambio, puede ampliar o reducir.

Qué figura se obtiene con cada transformación#

Con una isometría, la figura imagen es congruente con la original: tiene los mismos lados y los mismos ángulos. Con una homotecia, la imagen es semejante: los ángulos se conservan y los lados quedan multiplicados por |k|. Si |k| > 1 la figura se amplía; si 0 < |k| < 1, se reduce; si k = 1, queda igual, y si k = −1, la homotecia equivale a una rotación de 180° alrededor del centro.

Propiedad	Traslación	Reflexión	Rotación	Homotecia
Longitudes	Se conservan	Se conservan	Se conservan	Se multiplican por |k|
Áreas	Se conservan	Se conservan	Se conservan	Se multiplican por k²
Medida de los ángulos	Se conserva	Se conserva	Se conserva	Se conserva
Paralelismo	Se conserva	Se conserva	Se conserva	Se conserva
Sentido de recorrido de los vértices	Se conserva	Se invierte	Se conserva	Se conserva
Figura imagen	Congruente	Congruente	Congruente	Semejante

Que el sentido se invierta en la reflexión significa que, si los vértices A, B y C de un triángulo se recorren en sentido contrario a las manecillas del reloj, sus imágenes A′, B′ y C′ se recorren en el sentido de las manecillas. Por eso, en un espejo, una mano derecha parece una mano izquierda.

Ejemplo. Un triángulo tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm y un área de 6 cm². ¿Cómo es su imagen con una rotación de 60°? ¿Y con una homotecia de razón −2?

Solución. La rotación es una isometría: la imagen es un triángulo congruente, con lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, los mismos ángulos y 6 cm² de área. Con la homotecia de razón −2, los lados se multiplican por |−2| = 2 y miden 6 cm, 8 cm y 10 cm; los ángulos no cambian (el triángulo sigue siendo rectángulo, porque 6² + 8² = 10²) y el área se multiplica por (−2)² = 4, así que mide 24 cm². Además, la imagen queda del otro lado del centro.

Puntos fijos y rectas invariantes#

Transformación	Puntos fijos	Rectas invariantes
Traslación (vector no nulo)	Ninguno: todos los puntos se mueven	Las rectas paralelas al vector, que se deslizan sobre sí mismas
Reflexión respecto a l	Todos los puntos de l	La propia l y todas las rectas perpendiculares a l
Rotación de centro O (ángulo distinto de 0° y de 360°)	Solo el centro O	Ninguna, salvo si el ángulo es 180°: entonces lo son todas las rectas que pasan por O
Homotecia de centro O (k ≠ 1)	Solo el centro O	Todas las rectas que pasan por O

Hay que distinguir entre un punto fijo y una recta invariante. Con la reflexión respecto al eje x, la recta x = 3 es invariante: el punto (3, 2) va a (3, −2), que sigue en esa recta. Pero sus puntos no quedan fijos, salvo (3, 0), que está sobre el eje. Otro invariante útil: una circunferencia cuyo centro es el centro de una rotación se transforma en sí misma, sea cual sea el ángulo.

Ejemplo. ¿Qué puntos quedan fijos con la traslación (x + 4, y − 1)? ¿Y con la homotecia de centro (0, 0) y razón 3?

Solución. En la traslación, un punto fijo tendría que cumplir x + 4 = x, lo cual es imposible: no hay puntos fijos. En la homotecia, (x, y) va a (3x, 3y); para que 3x = x y 3y = y hace falta que x = 0 e y = 0, así que solo el centro (0, 0) queda fijo. Las rectas que pasan por el origen, como y = 2x, son invariantes: el punto (1, 2) va a (3, 6), que también cumple y = 2x.

Comprobar los invariantes con coordenadas#

Las coordenadas permiten verificar lo anterior. Toma el triángulo de vértices A(1, 1), B(4, 1) y C(1, 5). Sus lados miden AB = 3, AC = 4 y BC = 5, y su área es 3 · 4 ÷ 2 = 6. Estas son sus imágenes con cuatro transformaciones:

Transformación	Regla	Imágenes de A, B y C	Lados	Área
Traslación	(x + 2, y − 3)	(3, −2), (6, −2), (3, 2)	3, 4, 5	6
Reflexión respecto al eje y	(−x, y)	(−1, 1), (−4, 1), (−1, 5)	3, 4, 5	6
Rotación de 90° con centro en el origen	(−y, x)	(−1, 1), (−1, 4), (−5, 1)	3, 4, 5	6
Homotecia de centro (0, 0) y razón 2	(2x, 2y)	(2, 2), (8, 2), (2, 10)	6, 8, 10	24

Con las tres isometrías, los lados y el área no cambian; con la homotecia, los lados se duplican y el área se cuadruplica (24 = 2² · 6). En los cuatro casos el ángulo en A sigue siendo recto. Y el lado AB, que es horizontal, sigue siendo horizontal con la traslación, la reflexión y la homotecia, mientras que con la rotación de 90° pasa a ser vertical.

Cómo reconocer qué transformación se aplicó#

A veces se conocen una figura y su imagen, y hay que decidir qué transformación las relaciona. Estas preguntas ayudan:

1. ¿Cambió el tamaño? Entonces, de las cuatro, solo puede ser una homotecia con |k| ≠ 1.
2. ¿Se invirtió el sentido de recorrido de los vértices? Entonces es una reflexión.
3. ¿Los segmentos que unen cada punto con su imagen son paralelos, del mismo sentido y de la misma longitud? Es una traslación.
4. ¿Hay un punto que equidista de cada punto y de su imagen, y todos giran el mismo ángulo alrededor de él? Es una rotación con ese centro.

Ejemplo. El segmento de extremos P(1, 2) y Q(3, 2) se transforma en el de extremos P′(−2, 1) y Q′(−2, 3). ¿Qué transformación se aplicó?

Solución. Los dos segmentos miden 2, así que no cambió el tamaño. Los segmentos PP′ y QQ′ no tienen la misma longitud (PP′ = √10 y QQ′ = √26), de modo que no es una traslación. Tampoco es una reflexión: las mediatrices de PP′ y de QQ′ tendrían que ser la misma recta, y no lo son (una es y = −3x y la otra, y = 5x). Esas mediatrices se cortan en el origen, que sería el centro de una rotación. En efecto, la regla (x, y) → (−y, x) lleva P a (−2, 1) y Q a (−2, 3): es la rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj con centro en el origen. Se comprueba que OP = OP′ = √5 y OQ = OQ′ = √13.

Ponte a prueba#

¿Qué puntos quedan fijos en una reflexión respecto al eje y?#

¿Cuál es el área de la imagen de un triángulo de 10 cm² si se le aplica una homotecia de razón 3?#

¿Qué transformación lleva A(2, 5) a A′(−5, 2) y B(4, 1) a B′(−1, 4)?#

¿Tiene puntos fijos la traslación de vector (4, −1)?#

¿Cómo es la imagen de un segmento de 6 cm con una homotecia de razón −1/2?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)