El diagrama de cajas: cómo construirlo y comparar dos grupos de datos

Q: ¿Es atípico el dato 30 en el grupo 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14 y 30, con el criterio de 1,5 veces el recorrido intercuartílico?

Los cuartiles son los mismos que con 20 como último dato: Q1 = 5,5 y Q3 = 13, porque el último dato no interviene en su cálculo. El RI es 13 − 5,5 = 7,5 y la valla superior, 13 + 1,5 · 7,5 = 24,25. Como 30 es mayor que 24,25, sí es atípico: se marca aparte con un pequeño círculo y el bigote derecho se detiene en 14.

Q: ¿Qué indica un diagrama en el que Q₁ = 20, la mediana es 32 y Q₃ = 35?

La mediana está mucho más cerca de Q₃ que de Q₁: de Q1 a la mediana hay 32 − 20 = 12 unidades y de la mediana a Q3, solo 35 − 32 = 3. Los datos del segundo cuarto están muy separados y los del tercero, muy juntos. Esa forma, con la parte izquierda de la caja más larga, indica asimetría negativa.

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Undécimo año Lección 16 de 17

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 10 min de lectura

Cuando hay que comparar dos grupos de datos (las notas de dos secciones, los tiempos de dos rutas de bus, las temperaturas de dos ciudades), una tabla con todos los números cuesta de leer. El diagrama de cajas resume cada grupo en un dibujo sencillo que muestra, a la vez, dónde se ubican los datos y cuánto varían.

El programa del MEP destaca que este diagrama conecta las medidas de posición con las de variabilidad y permite un análisis visual de mucho valor práctico. En esta lección vas a construirlo paso a paso y a usarlo para comparar dos grupos. Los datos de los ejemplos son inventados para practicar.

Definición

Un diagrama de cajas (también llamado diagrama de caja y bigotes) es un gráfico que representa un grupo de datos cuantitativos con cinco medidas: el mínimo, el primer cuartil (Q₁), la mediana, el tercer cuartil (Q₃) y el máximo. Entre Q₁ y Q₃ se dibuja una caja, una línea dentro de ella marca la mediana y dos segmentos, los bigotes, la unen con el mínimo y el máximo.

Las cinco medidas que resume el diagrama#

Con los datos ordenados de menor a mayor, el primer cuartil deja por debajo aproximadamente el 25 % de los datos; la mediana, el 50 %, y el tercer cuartil, el 75 %. Junto con el mínimo y el máximo, estas medidas parten los datos en cuatro tramos con aproximadamente la cuarta parte de los datos cada uno.

Hay varios métodos para calcular cuartiles y dan valores un poco distintos. En esta lección se usa el del material de consulta de Estadística del MEP, el método de la posición k(n + 1) ÷ 4: con n datos ordenados, se calcula k(n + 1) ÷ 4, con k = 1 para Q₁ y k = 3 para Q₃. Si la posición es entera, el cuartil es el dato que está en ella; si no, se promedian el dato de la parte entera de la posición y el siguiente. Para comparar dos grupos hay que usar el mismo método en los dos.

Ejemplo. Doce estudiantes anotaron cuántas horas durmieron la noche anterior: 5; 6; 6; 6,5; 7; 7; 7,5; 7,5; 8; 8; 8,5 y 9. Calcula las cinco medidas.

Solución. Ya están ordenados y n = 12. El mínimo es 5 y el máximo, 9. Para Q₁, la posición es 13 ÷ 4 = 3,25: se promedian los datos 3.º y 4.º, (6 + 6,5) ÷ 2 = 6,25 horas. La mediana es el promedio de los datos 6.º y 7.º: (7 + 7,5) ÷ 2 = 7,25 horas. Para Q₃, la posición es 39 ÷ 4 = 9,75: se promedian los datos 9.º y 10.º, (8 + 8) ÷ 2 = 8 horas. El resumen es 5 – 6,25 – 7,25 – 8 – 9.

Cómo se construye un diagrama de cajas#

Ordena los datos y calcula el mínimo, Q₁, la mediana, Q₃ y el máximo.
Dibuja una recta numérica con una escala que cubra desde el mínimo hasta el máximo. Cada medida se ubica en su valor exacto, igual que en la ubicación en la recta numérica.
Sobre la recta, dibuja un rectángulo (la caja) que empiece en Q₁ y termine en Q₃. Su altura no significa nada: solo tiene que verse.
Traza dentro de la caja una línea en el valor de la mediana.
Dibuja los bigotes: un segmento desde Q₁ hasta el mínimo y otro desde Q₃ hasta el máximo.
Para comparar grupos, dibuja sus cajas sobre la misma escala, una encima de otra (o una al lado de otra si la escala es vertical), con un título y las unidades.

Con el ejemplo de las horas de sueño, la caja iría de 6,25 a 8, con la línea de la mediana en 7,25; el bigote izquierdo llegaría a 5 y el derecho, a 9.

Qué se lee en un diagrama de cajas#

Posición: la línea de la mediana indica el centro de los datos. Si la caja de un grupo está más a la derecha que la de otro, sus datos tienden a ser mayores.
Variabilidad: el largo de la caja es el recorrido intercuartílico, RI = Q₃ − Q₁, que mide la dispersión del 50 % central. La distancia entre los extremos de los bigotes es el recorrido, máximo − mínimo.
Forma: si la mediana está en el centro de la caja y los bigotes miden parecido, la distribución es aproximadamente simétrica. Si la parte derecha (de la mediana a Q₃, y el bigote derecho) es más larga, hay asimetría positiva; si lo es la izquierda, asimetría negativa.

Cada uno de los cuatro tramos (bigote izquierdo, mitad izquierda de la caja, mitad derecha y bigote derecho) contiene aproximadamente la cuarta parte de los datos. Por eso un tramo largo no tiene más datos, sino datos más separados. El material del MEP advierte que el diagrama es solo un resumen de cinco medidas y que hay que interpretarlo con cuidado: por ejemplo, no muestra cuántos datos hay ni si se agrupan en algún punto.

Comparar dos grupos con diagramas de cajas#

Ejemplo. En una prueba de Matemáticas, las notas de las secciones 11-1 y 11-2 (11 estudiantes cada una) fueron: 11-1: 45, 52, 58, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 81 y 94; 11-2: 55, 62, 68, 70, 71, 73, 74, 76, 79, 80 y 84. Compara las dos secciones con diagramas de cajas.

Solución. Con n = 11, las posiciones son 12 ÷ 4 = 3 para Q₁, 6 para la mediana y 36 ÷ 4 = 9 para Q₃, todas enteras. Sección 11-1: mínimo 45, Q₁ = 58, mediana 66, Q₃ = 75 y máximo 94. Sección 11-2: mínimo 55, Q₁ = 68, mediana 73, Q₃ = 79 y máximo 84.

Medida	11-1	11-2
Mínimo	45	55
Q₁	58	68
Mediana	66	73
Q₃	75	79
Máximo	94	84
RI (largo de la caja)	17	11
Recorrido	49	29

Al dibujar las dos cajas sobre la misma escala se ve que:

En posición, 11-2 está por encima. Su mediana (73) supera a la de 11-1 (66), y su Q₁ (68) también está por encima de la mediana de 11-1: al menos el 75 % de la sección 11-2 sacó 68 o más, mientras que al menos la mitad de la 11-1 sacó 66 o menos.
En variabilidad, 11-1 es más dispersa. Su caja mide 17 puntos y la de 11-2, 11; sus bigotes cubren 49 puntos y los de 11-2, 29.
En forma, son distintas. En 11-1 el bigote derecho (19 puntos, de 75 a 94) es más largo que el izquierdo (13 puntos): asimetría positiva leve, por una nota alta aislada. En 11-2 el bigote izquierdo (13 puntos) es mucho más largo que el derecho (5 puntos): asimetría negativa.

La conclusión es que la sección 11-2 tuvo un rendimiento más alto y más parejo. Fíjate en que la nota más alta de todas (94) es de la 11-1: el diagrama ayuda a no sacar conclusiones a partir de un solo dato.

Valores atípicos: cuando un dato queda muy lejos#

En la versión básica del diagrama, que es la del material del MEP, los bigotes llegan hasta el mínimo y el máximo. Existe otra versión, descrita en el manual de métodos estadísticos del NIST (el instituto de normas de Estados Unidos): un dato se marca aparte, con un pequeño círculo, cuando queda más allá de las «vallas» Q₁ − 1,5 · RI o Q₃ + 1,5 · RI, y el bigote se detiene en el último dato que queda dentro.

Ejemplo. En la sección 11-1, ¿la nota 94 es un valor atípico según ese criterio?

Solución. El RI es 17, así que 1,5 · 17 = 25,5. La valla superior es 75 + 25,5 = 100,5 y la inferior, 58 − 25,5 = 32,5. Como 94 es menor que 100,5, no es atípica: el bigote derecho llega hasta 94 en las dos versiones del diagrama. Ningún dato de la sección queda fuera de las vallas.

Antes de comparar diagramas hechos por personas distintas o con programas distintos, revisa qué versión usa cada uno y con qué método se calcularon los cuartiles.

Ponte a prueba#

¿Qué parte de los datos queda dentro de la caja de un diagrama de cajas?#

La caja va del primer cuartil al tercer cuartil. Por debajo de Q₁ queda aproximadamente el 25 % de los datos y por debajo de Q₃, aproximadamente el 75 %, así que dentro de la caja está aproximadamente el 75 % − 25 % = 50 % central de los datos. Por eso el largo de la caja, el recorrido intercuartílico, mide la variabilidad de esa mitad central.

¿Cuáles son las cinco medidas del diagrama de cajas para los datos 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14 y 20?#

Hay n = 9 datos ordenados. El mínimo es 3 y el máximo, 20. La mediana ocupa la posición 5: es 9. Para Q₁, la posición es 10 ÷ 4 = 2,5, así que se promedian los datos 2.º y 3.º: (5 + 6) ÷ 2 = 5,5. Para Q₃, la posición es 30 ÷ 4 = 7,5: (12 + 14) ÷ 2 = 13. El resumen es 3 – 5,5 – 9 – 13 – 20.

¿Es atípico el dato 30 en el grupo 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14 y 30, con el criterio de 1,5 veces el recorrido intercuartílico?#

Los cuartiles son los mismos que con 20 como último dato: Q₁ = 5,5 y Q₃ = 13, porque el último dato no interviene en su cálculo. El RI es 13 − 5,5 = 7,5 y la valla superior, 13 + 1,5 · 7,5 = 24,25. Como 30 es mayor que 24,25, sí es atípico: se marca aparte con un pequeño círculo y el bigote derecho se detiene en 14.

¿Qué grupo es más variable si el grupo X tiene mínimo 40, Q₁ 55, mediana 62, Q₃ 70 y máximo 85, y el grupo Y tiene mínimo 50, Q₁ 58, mediana 61, Q₃ 64 y máximo 72?#

En posición, los dos grupos son parecidos: sus medianas son 62 y 61. En variabilidad no: la caja de X mide 70 − 55 = 15 y la de Y, 64 − 58 = 6; el recorrido de X es 85 − 40 = 45 y el de Y, 72 − 50 = 22. El grupo X es claramente más variable, tanto en su mitad central como en los extremos.

¿Qué indica un diagrama en el que Q₁ = 20, la mediana es 32 y Q₃ = 35?#

La mediana está mucho más cerca de Q₃ que de Q₁: de Q₁ a la mediana hay 32 − 20 = 12 unidades y de la mediana a Q₃, solo 35 − 32 = 3. Los datos del segundo cuarto están muy separados y los del tercero, muy juntos. Esa forma, con la parte izquierda de la caja más larga, indica asimetría negativa.