Para el piso de un pasillo se compran baldosas cuadradas que cubren 0,1225 m² cada una. ¿Cuánto mide el lado de cada baldosa? Hay que encontrar el número que, multiplicado por sí mismo, da 0,1225. Esa búsqueda es una raíz cuadrada, y como en las raíces de números racionales, el radicando ya no es un número entero, sino un decimal.
Las raíces cuadradas, cúbicas y de otros índices de fracciones y decimales se calculan, cuando el resultado es un número racional, con la relación entre raíces y potencias y con la descomposición en factores primos, sin necesidad de calculadora.
Definición
Calcular la raíz n-ésima de un número racional a, n√a, es encontrar el número que, elevado a la n, da a: decir que n√a = b equivale a decir que bn = a. En la expresión, n es el índice (un natural mayor o igual que 2) y a es el radicando. Con índice par solo se admiten radicandos positivos o cero, y la raíz se toma positiva o cero; con índice impar el radicando puede tener cualquier signo, y la raíz lleva ese mismo signo.
Cada raíz deshace una potencia#
Ya sabes sacar raíces de números enteros. Con fracciones y decimales se piensa igual: se busca el número cuya potencia n-ésima es el radicando. Cada potencia de un racional, leída al revés, es una raíz:
| Raíz | Índice | Por qué |
|---|---|---|
| √(25/81) = 5/9 | 2 (raíz cuadrada) | (5/9)2 = 25/81 |
| ∛(−8/125) = −2/5 | 3 (raíz cúbica) | (−2/5)3 = −8/125 |
| ∜(625/16) = 5/2 | 4 (raíz cuarta) | (5/2)4 = 625/16 |
| ∛0,008 = 0,2 | 3 (raíz cúbica) | (0,2)3 = 0,008 |
| 5√(−243/32) = −3/2 | 5 (raíz quinta) | (−3/2)5 = −243/32 |
Cuando el radicando es una fracción, se saca la raíz del numerador y la del denominador por separado. Es la propiedad que el programa del MEP pide introducir en este tema:
Fórmula
n√(p/q) = n√p / n√q, con q ≠ 0
Con índice par, la fracción no puede ser negativa. Por ejemplo, √(25/81) = √25 / √81 = 5/9.
En octavo año se trabajan raíces cuyo resultado es un número racional. Eso pasa cuando, con la fracción simplificada, el numerador y el denominador, sin signo, son potencias exactas con exponente igual al índice: cuadrados perfectos para la raíz cuadrada, cubos perfectos para la cúbica, y así con los demás índices.
Índice par e índice impar: qué pasa con el signo#
Si el índice es impar#
Un producto con una cantidad impar de factores negativos es negativo. Así, (−7/2)3 = −343/8, y por eso ∛(−343/8) = −7/2. Con índice impar, un radicando negativo no es problema: la raíz sale negativa.
Si el índice es par#
Elevar a un exponente par es multiplicar parejas de factores iguales, y cada pareja da un producto positivo o cero. Por eso (2/3)2 y (−2/3)2 valen lo mismo, 4/9, y ningún número real —ni los racionales que ya conoces ni los irracionales que verás en noveno año— da −4/9 al elevarlo al cuadrado: √(−4/9) no existe en los números reales. Queda otra duda: si 7/8 y −7/8 tienen el mismo cuadrado, 49/64, ¿cuál es √(49/64)? Por convenio, el símbolo √ da siempre la raíz que no es negativa: √(49/64) = 7/8. De ese convenio sale esta regla:
Fórmula
√(a2) = |a|
Por ejemplo, √((−2/9)2) = √(4/81) = 2/9, que es el valor absoluto de −2/9.
Ejemplo. ¿Cuáles de estas raíces son números racionales: ∛(−1/8), √(−1/4) y ∜(1/16)?
Solución. ∛(−1/8) = −1/2, porque (−1/2)3 = −1/8: con índice impar, el radicando negativo da una raíz negativa. √(−1/4) no existe en los números reales: una potencia de exponente par nunca es negativa. ∜(1/16) = 1/2, porque (1/2)4 = 1/16. Son racionales la primera y la tercera.
Raíces sin calculadora: los factores primos#
Con números grandes, adivinar la raíz es difícil. Para esos casos, el programa del MEP pide obtenerla a mano, factorizando en primos el numerador y el denominador (repasa la descomposición en factores primos). Se procede así:
- Deja la fracción irreducible: simplifícala antes de nada.
- Factoriza en primos el numerador y el denominador, sin tener en cuenta el signo, y anota cada primo con su exponente.
- Compara cada exponente con el índice. La raíz es racional solo si todos los exponentes son múltiplos del índice; con uno que falle, ya no lo es.
- Divide cada exponente entre el índice y multiplica los primos con sus nuevos exponentes, arriba y abajo. El resultado lleva signo menos solo cuando el radicando es negativo, cosa que únicamente puede pasar con índice impar.
Ejemplo. Calcula √(196/2025).
Solución. La fracción ya es irreducible. Factorizando, 196 = 22 · 72 y 2025 = 34 · 52: todos los exponentes son pares. Al dividirlos entre 2 queda 2 · 7 = 14 arriba y 32 · 5 = 45 abajo. Entonces √(196/2025) = 14/45. Se comprueba: (14/45)2 = 196/2025.
Ejemplo. Calcula ∛(−3375/5832).
Solución. Supón que no notas que la fracción se puede simplificar y factorizas directamente: 3375 = 33 · 53 y 5832 = 23 · 36. Todos los exponentes son múltiplos de 3. Al dividirlos entre 3, arriba queda 3 · 5 = 15 y abajo 2 · 32 = 18, y la fracción 15/18 se simplifica a 5/6. Como el radicando es negativo y el índice, 3, es impar, la raíz es −5/6. Simplificar primero, como dice el paso 1, era más corto: 3375 y 5832 son múltiplos de 27, y la fracción queda −125/216, cuya raíz cúbica se reconoce enseguida: −5/6.
Ejemplo. ¿Es racional √(98/200)?
Solución. Ni 98 = 2 · 72 ni 200 = 23 · 52 son cuadrados perfectos, pero la fracción se puede simplificar entre 2: 98/200 = 49/100. Ahora sí: √(49/100) = 7/10. La raíz es racional. Por eso el primer paso es simplificar: una fracción que parece no tener raíz exacta puede tenerla.
Raíces de números decimales#
Un decimal finito se escribe como fracción con denominador 10, 100, 1000… y se aplica lo anterior. Por ejemplo, √12,25 = √(1225/100) = 35/10 = 3,5, porque 1225 = 352.
Hay una prueba rápida. Cuenta las cifras decimales del radicando, sin ceros sobrantes al final. Para que la raíz sea racional, esa cantidad tiene que ser múltiplo del índice, y la raíz tendrá la cantidad dividida entre el índice: un radicando con cuatro decimales da una raíz cuadrada con dos, y uno con tres decimales, una raíz cúbica con uno. Si la cantidad no es múltiplo del índice, la raíz no es un número racional.
| Raíz | Como fracción | Resultado |
|---|---|---|
| √0,0049 | √(49/10 000) | 7/100 = 0,07 |
| ∛(−0,064) | ∛(−64/1000) | −4/10 = −0,4 |
| ∜0,0081 | ∜(81/10 000) | 3/10 = 0,3 |
| √12,25 | √(1225/100) | 35/10 = 3,5 |
Ejemplo. ¿Es 0,3 la raíz cuadrada de 0,9?
Solución. No. Al elevar 0,3 al cuadrado se obtiene 0,3 · 0,3 = 0,09, no 0,9: el cuadrado tiene el doble de cifras decimales. Además, 0,9 tiene una sola cifra decimal, que no es múltiplo de 2, así que √0,9 no es un número racional. Ese tipo de raíces se estudia en noveno año, con los números irracionales.
Problemas con raíces de racionales#
Una raíz responde a la pregunta «¿qué medida, multiplicada por sí misma, dio este resultado?», y esa pregunta aparece con áreas, con volúmenes y con ampliaciones. Los datos de estos problemas son de ejercicio.
Ejemplo. Las baldosas cuadradas de la introducción cubren 0,1225 m² cada una. ¿Cuánto mide su lado? ¿Cuántas baldosas se colocan a lo largo de un pasillo de 4,2 m?
Solución. El lado es √0,1225 = √(1225/10 000) = 35/100 = 0,35 m: el radicando tiene cuatro decimales y la raíz, dos. A lo largo del pasillo caben 4,2 ÷ 0,35 = 12 baldosas.
Ejemplo. Dos cajas tienen forma de cubo, y el volumen de la pequeña es 8/27 del volumen de la grande. ¿Qué fracción de la arista de la grande mide la arista de la pequeña?
Solución. Si la arista de la pequeña es r veces la de la grande, su volumen es r · r · r = r3 veces el de la grande. Entonces r3 = 8/27, y r = ∛(8/27) = ∛8 / ∛27 = 2/3. La arista de la caja pequeña mide 2/3 de la de la grande, aunque su volumen no llegue ni a la tercera parte.
Ejemplo. Al ampliar un dibujo rectangular sin deformarlo (el largo y el ancho se multiplican por el mismo número), su área quedó multiplicada por 2 1/4. ¿Por qué número se multiplicaron el largo y el ancho?
Solución. Si el largo y el ancho se multiplican por k, el área se multiplica por k · k = k2. Hay que buscar k con k2 = 2 1/4 = 9/4, así que k = √(9/4) = 3/2 = 1,5: cada medida creció una vez y media. Por ejemplo, un dibujo de 4 cm × 6 cm pasa a medir 6 cm × 9 cm, y su área pasa de 24 cm² a 54 cm², que es 2,25 veces 24.
Errores comunes con raíces#
- Contar mal los decimales. √0,04 = 0,2, no 0,02, porque 0,022 = 0,0004.
- Dar dos respuestas para √. Aunque −7/8 también tiene por cuadrado 49/64, √(49/64) vale solo 7/8.
- Olvidar el signo en una raíz de índice impar. ∛(−27/64) = −3/4, no 3/4.
- Rendirse antes de simplificar. √(98/200) parece no tener raíz exacta, pero 98/200 = 49/100 y su raíz es 7/10.
Ponte a prueba#
¿Cuánto es la raíz cúbica de −64/125?#
Es −4/5. Numerador y denominador son cubos perfectos: 64 = 43 y 125 = 53, así que la raíz cúbica de 64/125 es 4/5. El radicando es negativo y el índice 3 es impar, por lo que el resultado también es negativo. Comprobación: (−4/5)3 = −64/125, porque un factor negativo repetido tres veces da un producto negativo.
¿Cuánto es la raíz cuadrada de 6,25?#
Es 2,5. Se pasa el decimal a fracción: 6,25 = 625/100, y tanto 625 como 100 son cuadrados perfectos: 625 = 252 y 100 = 102. Entonces √6,25 = 25/10 = 2,5. Casa con la regla de los decimales: dos cifras decimales en el radicando, una en la raíz. Comprobación: 2,5 · 2,5 = 6,25.
¿Cuánto es √(72/242)?#
Es 6/11. Ni 72 ni 242 son cuadrados perfectos, pero la fracción se simplifica dividiendo entre 2: 72/242 = 36/121. Ahora 36 = 62 y 121 = 112, así que √(36/121) = 6/11. Por eso el primer paso, antes de decidir si la raíz es exacta, es simplificar la fracción.
¿Cuánto es la raíz cuarta de 81/625?#
Es 3/5. Con factores primos: 81 = 34 y 625 = 54. Al dividir cada exponente entre el índice 4 quedan 3 arriba y 5 abajo. Como el índice es par, se da el resultado que no es negativo. Comprobación: (3/5)4 = 81/625.
¿Cuál de las dos existe en los números reales, la raíz cuarta de −16/81 o la raíz quinta de −1/32?#
Existe la raíz quinta, y vale −1/2, porque (−1/2)5 = −1/32: con índice impar, un radicando negativo da una raíz negativa. La raíz cuarta de −16/81 no existe en los números reales: elevar a la cuarta es elevar al cuadrado dos veces, y el resultado nunca es negativo. Por ejemplo, (2/3)4 y (−2/3)4 dan los dos 16/81, que es positivo.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
