Números primos y compuestos y la descomposición en factores primos

Algunos números se pueden escribir como el producto de dos números más pequeños y otros no. El 12, por ejemplo, es 3 · 4, pero el 13 solo se puede escribir como 1 · 13. Esa diferencia separa a los números naturales mayores que 1 en primos y compuestos, una de las ideas más importantes de la teoría de números.

En esta lección vas a aprender a reconocer cada tipo y a descomponer un número compuesto en sus factores primos, una herramienta que vas a usar para simplificar fracciones y para calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor.

Cómo distinguir un número primo de uno compuesto#

Para clasificar un número se buscan todos sus divisores y se cuentan: si tiene exactamente dos, es primo; si tiene más de dos, es compuesto.

Número	Divisores	Cantidad	Tipo
2	1, 2	2	Primo
9	1, 3, 9	3	Compuesto
11	1, 11	2	Primo
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	6	Compuesto
17	1, 17	2	Primo
21	1, 3, 7, 21	4	Compuesto

Algunas observaciones útiles:

• El 2 es el único número primo par. Cualquier otro número par es divisible entre 2, así que tiene al menos tres divisores: el 1, el 2 y él mismo.
• El 1 no es primo, porque tiene un solo divisor. El 0 tampoco: la definición empieza en los números mayores que 1.
• Un número compuesto siempre se puede escribir como el producto de dos números naturales menores que él, por ejemplo 21 = 3 · 7. Un número primo no.

La criba de Eratóstenes: los primos menores que 50#

Una manera ordenada de encontrar todos los primos hasta cierto número es la criba de Eratóstenes, un método que el programa del MEP sugiere trabajar. La idea es ir tachando los múltiplos de cada primo, porque esos múltiplos son compuestos. Para los números del 2 al 50:

1. Escribe los números del 2 al 50.
2. El 2 es primo. Tacha todos los múltiplos de 2 mayores que 2: 4, 6, 8…
3. El primer número sin tachar después del 2 es el 3, que es primo. Tacha los múltiplos de 3 que todavía no estén tachados: 9, 15, 21…
4. Repite el paso con el siguiente número sin tachar, el 5, y después con el 7.
5. Ahí puedes detenerte: el siguiente primo es el 11, y 11 · 11 = 121 ya es mayor que 50. Los múltiplos de 11 menores que 50 (22, 33 y 44) ya quedaron tachados, porque tienen un factor menor.
6. Los números que quedaron sin tachar son los primos.

El resultado son 15 números primos menores que 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.

Cómo saber si un número más grande es primo#

No hace falta escribir toda la criba. Basta con probar si el número es divisible entre los primos 2, 3, 5, 7, 11… y detenerse cuando el cuadrado del primo sea mayor que el número. La razón es esta: si un número es compuesto, se puede escribir como a · b, con a y b mayores que 1. Si a es el menor de los dos factores, entonces a · a no puede pasarse de a · b. Además, cualquier primo que divida a a también divide al número y no es mayor que a. Por eso todo número compuesto tiene un divisor primo cuyo cuadrado es menor o igual que él.

Ejemplo. ¿Es 97 un número primo?

Solución. Los primos cuyo cuadrado no pasa de 97 son 2, 3, 5 y 7, porque 7² = 49 y 11² = 121 ya se pasa. 97 es impar, así que no es divisible entre 2; sus cifras suman 9 + 7 = 16, que no es múltiplo de 3; no termina en 0 ni en 5; y 97 = 7 · 13 + 6, así que tampoco es divisible entre 7. Ninguno lo divide: 97 es primo.

Ejemplo. ¿Es 119 un número primo?

Solución. No es par, sus cifras suman 1 + 1 + 9 = 11 (que no es múltiplo de 3) y no termina en 0 ni en 5. Pero al probar con 7 se obtiene 119 = 7 · 17, con residuo 0. Sus divisores son 1, 7, 17 y 119; como tiene más de dos, 119 es compuesto.

Un patrón no es una demostración#

La expresión n² + n + 41 da números primos para muchos valores seguidos de n: con n = 0, 1, 2, 3 y 4 da 41, 43, 47, 53 y 61, y sigue dando primos hasta n = 39. Pero con n = 40 da 40² + 40 + 41 = 1681 = 41 · 41, que es compuesto. Que algo se cumpla en muchos casos no garantiza que se cumpla siempre.

Cómo descomponer un número en factores primos#

Todo número compuesto se puede escribir como un producto de números primos, y esa escritura es única si no se toma en cuenta el orden de los factores. Esta propiedad se conoce como el teorema fundamental de la aritmética. Escribir un número de esa forma es descomponerlo en factores primos, o hacer su descomposición prima.

Método de las divisiones sucesivas#

1. Escribe el número y traza una línea vertical a su derecha.
2. Divide entre el menor primo que lo divida exactamente (prueba con 2, luego con 3, 5, 7…) y escribe ese primo a la derecha de la línea.
3. Escribe el cociente debajo del número y repite el paso anterior con él.
4. Termina cuando el cociente sea 1. Los primos de la columna derecha son los factores.

Ejemplo. Descompón 180 en factores primos.

Solución. Se divide sucesivamente: 180 ÷ 2 = 90; 90 ÷ 2 = 45; 45 no es par, así que se prueba con 3: 45 ÷ 3 = 15; 15 ÷ 3 = 5; 5 ÷ 5 = 1. Los factores son 2, 2, 3, 3 y 5, y con notación exponencial, 180 = 2² · 3² · 5. En la tabla se ve así:

Número	Factor primo
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

El árbol de factores#

Otra forma es el árbol de factores: se escribe el número como producto de dos factores cualesquiera y se sigue descomponiendo cada uno hasta que todos sean primos. Por ejemplo, 84 = 4 · 21 = (2 · 2) · (3 · 7). Si se empieza de otra manera, 84 = 2 · 42 = 2 · 2 · 21 = 2 · 2 · 3 · 7, el resultado es el mismo: 84 = 2² · 3 · 7.

Un error frecuente#

Consiste en dejar un factor que no es primo. Escribir 60 = 4 · 3 · 5 es correcto como multiplicación, pero no es la descomposición prima, porque 4 no es primo. Hay que seguir: 4 = 2 · 2, y queda 60 = 2² · 3 · 5.

Ejemplo. Descompón 1050 en factores primos.

Solución. 1050 ÷ 2 = 525. El 525 no es par, pero sus cifras suman 12, así que se divide entre 3: 525 ÷ 3 = 175. Luego 175 ÷ 5 = 35, 35 ÷ 5 = 7 y 7 ÷ 7 = 1. Entonces 1050 = 2 · 3 · 5² · 7.

Para qué sirve la descomposición prima#

Conocer los factores primos de un número permite responder preguntas sin hacer divisiones largas:

• Divisibilidad. Como 180 = 2² · 3² · 5, el 180 es divisible entre 12 = 2² · 3, porque esos factores están en su descomposición. En cambio, no es divisible entre 7, porque el 7 no aparece.
• Cuadrados perfectos. Un número es cuadrado perfecto cuando todos los exponentes de su descomposición son pares. Por ejemplo, 144 = 2⁴ · 3² = (2² · 3)² = 12².
• Fracciones. Para simplificar 84/180 se eliminan los factores comunes: 84/180 = (2² · 3 · 7) / (2² · 3² · 5) = 7/15.
• Mínimo común múltiplo y máximo común divisor. Se calculan a partir de las descomposiciones de los números.

Ejemplo. Escribe todos los números de dos cifras cuyo producto de dígitos sea 12.

Solución. Como 12 = 2² · 3, se buscan parejas de dígitos (del 1 al 9) cuyo producto sea 12: 2 · 6 y 3 · 4. La pareja 1 · 12 no sirve, porque 12 no es un dígito. Cada pareja se puede ordenar de dos formas, así que los números son 26, 62, 34 y 43.

Ponte a prueba#

¿Es 51 un número primo?#

¿Cuál es la descomposición en factores primos de 252?#

¿Por qué 2³ · 9 no es la descomposición prima de 72?#

¿Es 113 un número primo?#

¿Cuántos números primos hay entre 20 y 40, y cuáles son?#

Fuentes#

• Ministerio de Educación Pública — Programas de Estudio de Matemáticas: I y II Ciclo de la Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada (MEP, Reforma curricular en Ética, Estética y Ciudadanía) (PDF)