Raíces de números enteros y operaciones combinadas

Esta lección es parte de Temario de Matemáticas de Térraba (Sétimo año) Lección 9 de 11

Por Andrea del Carmen actualizado el 26 de octubre de 2026 8 min de lectura

¿Qué número, usado tres veces como factor, da −125? La respuesta es −5, porque (−5) · (−5) · (−5) = −125. Esa pregunta es el camino de vuelta de una potencia, y la operación que la responde se llama raíz.

En esta lección vas a ver por qué la potenciación y la radicación son operaciones inversas, a calcular raíces de números enteros cuyo resultado es entero (sin calculadora, con la descomposición en factores primos) y a resolver operaciones combinadas que mezclan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces, con paréntesis o sin ellos.

Definición

La raíz enésima de un número entero a, que se escribe ⁿ√a, es el número b que cumple bⁿ = a. El número n es el índice y a es el radicando. Si el índice es par, el radicando no puede ser negativo y la raíz es el valor b que no es negativo.

Potencias y raíces: operaciones inversas#

Una potencia responde «¿cuánto da un producto de n factores iguales a este número?». Una raíz responde la pregunta al revés: «¿qué número, usado n veces como factor, da este resultado?». Por eso se dice que son operaciones inversas: lo que hace una, lo deshace la otra.

Fórmula

bⁿ = a ↔ ⁿ√a = b (si n es par, con b ≥ 0)

Si el índice es 2, no se escribe: √81 es la raíz cuadrada de 81. Si es 3, se llama raíz cúbica y se escribe ∛. El signo √ se llama radical.

Potencia	Raíz	Se lee
9² = 81	√81 = 9	La raíz cuadrada de 81 es 9
4³ = 64	∛64 = 4	La raíz cúbica de 64 es 4
(−5)³ = −125	∛(−125) = −5	La raíz cúbica de −125 es −5
3⁴ = 81	∜81 = 3	La raíz cuarta de 81 es 3
(−2)⁵ = −32	⁵√(−32) = −2	La raíz quinta de −32 es −2

Para calcular una raíz pequeña basta con conocer los cuadrados perfectos y los cubos de los primeros números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100… y 1, 8, 27, 64, 125, 216…

Raíces de índice par y de índice impar#

Índice impar: el signo se conserva#

Una potencia de exponente impar conserva el signo de la base. Por eso, en una raíz de índice impar el radicando puede ser positivo o negativo, y el resultado tiene el mismo signo que el radicando: ∛(−27) = −3, porque (−3)³ = −27; y ⁵√(−1) = −1, porque (−1)⁵ = −1.

Índice par: el radicando no puede ser negativo#

Ningún número entero elevado a un exponente par da un resultado negativo: (−4)² = 16 y 4² = 16. Por eso √(−16) no es un número entero. Además, aunque tanto 4 como −4 elevados al cuadrado dan 16, la raíz cuadrada es una sola: por acuerdo, √16 = 4, el valor que no es negativo.

Fórmula

ⁿ√(aⁿ) = |a| si n es par · ⁿ√(aⁿ) = a si n es impar

Por ejemplo, √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|, mientras que ∛((−4)³) = ∛(−64) = −4.

Ejemplo. ¿Son correctas las igualdades √36 = −6 y ∛(−64) = −4?

Solución. La primera no: aunque (−6)² = 36, la raíz cuadrada es el valor que no es negativo, así que √36 = 6. La segunda sí: (−4)³ = (−4) · (−4) · (−4) = −64, y la raíz cúbica conserva el signo.

Cómo calcular una raíz con la descomposición en factores primos#

Cuando el radicando es grande, se puede calcular la raíz sin calculadora con la descomposición en factores primos:

Descompón el valor absoluto del radicando en factores primos y escríbelo con exponentes.
Divide cada exponente entre el índice. Si todas las divisiones son exactas, la raíz es entera; si alguna no lo es, la raíz no es un número entero.
Escribe cada primo con el exponente obtenido y multiplica.
Si el índice es impar y el radicando era negativo, ponle signo negativo al resultado.

Ejemplo. Calcula √324.

Solución. 324 = 2² · 3⁴. Se dividen los exponentes entre 2: el 2 pasa a 1 y el 4 pasa a 2. Entonces √324 = 2 · 3² = 2 · 9 = 18. Comprobación: 18² = 324.

Ejemplo. Calcula ∛(−1 728).

Solución. Se descompone 1 728 = 2⁶ · 3³. Se dividen los exponentes entre 3: 2² · 3 = 12. Como el índice es impar y el radicando es negativo, ∛(−1 728) = −12.

Ejemplo. ¿Es √72 un número entero?

Solución. 72 = 2³ · 3². El exponente 3 no se puede dividir exactamente entre 2, así que √72 no es un número entero. En cambio, ∜1 296 sí lo es: 1 296 = 2⁴ · 3⁴, y ∜1 296 = 2 · 3 = 6.

El orden de las operaciones combinadas#

Cuando una expresión tiene varias operaciones, el resultado depende del orden en que se hagan. Para que todas las personas obtengan lo mismo se sigue esta prioridad de las operaciones:

Las operaciones dentro de los paréntesis.
Las potencias y las raíces.
Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.
Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

Ejemplo. Calcula (−2)³ + √49 · (−3).

Solución. No hay paréntesis que resolver (los de −2 y −3 solo encierran números). Primero la potencia y la raíz: (−2)³ = −8 y √49 = 7. Queda −8 + 7 · (−3). Después la multiplicación: 7 · (−3) = −21. Al final la suma: −8 + (−21) = −29.

Ejemplo. Calcula 5 · (−4 + 9) − (−3)².

Solución. Primero el paréntesis: −4 + 9 = 5. Luego la potencia: (−3)² = 9. Queda 5 · 5 − 9. La multiplicación da 25, y 25 − 9 = 16.

Ejemplo. Calcula (12 − 20) ÷ (−2) + ∛(−27) · 4.

Solución. Paréntesis: 12 − 20 = −8. Raíz: ∛(−27) = −3. Queda (−8) ÷ (−2) + (−3) · 4. División y multiplicación: (−8) ÷ (−2) = 4 y (−3) · 4 = −12. Suma: 4 + (−12) = −8.

Ejemplo. Calcula −6² ÷ 4 + 3 · (−5).

Solución. Ojo con la potencia: la base es 6, no −6, así que −6² = −36. Queda −36 ÷ 4 + 3 · (−5) = −9 + (−15) = −24.

Ejemplo. Calcula [(−3)² − 14] · (−2).

Solución. Dentro del paréntesis, primero la potencia y después la resta: 9 − 14 = −5. Luego (−5) · (−2) = 10.

Problemas y errores frecuentes#

Ejemplo. Daniela tenía ₡6 000. Compró 4 empanadas de ₡650 cada una y luego su tía le regaló ₡1 500. ¿Le alcanza para un libro de ₡5 200?

Solución. Lo que tiene se calcula con una operación combinada: 6 000 − 4 · 650 + 1 500 = 6 000 − 2 600 + 1 500 = 4 900. Después de comprar el libro quedaría 4 900 − 5 200 = −300. El resultado negativo indica que no le alcanza: le faltan ₡300.

Ejemplo. Un terreno cuadrado tiene un área de 225 m². ¿Cuántos metros de malla hacen falta para cercarlo?

Solución. El lado es la raíz cuadrada del área: √225 = 15 m, porque 15² = 225. El perímetro es 4 · 15 = 60 m. Hacen falta 60 metros de malla.

Ejemplo. Una caja con forma de cubo tiene un volumen de 512 cm³. ¿Cuánto mide su arista?

Solución. La arista es la raíz cúbica del volumen: ∛512 = 8 cm, porque 8³ = 512.

Errores que conviene evitar#

Repartir la raíz en una suma. √(9 + 16) = √25 = 5, pero √9 + √16 = 3 + 4 = 7. La raíz de una suma no es la suma de las raíces.
Sumar antes de multiplicar. En 2 + 3 · (−4), primero va la multiplicación: 2 + (−12) = −10, no 5 · (−4) = −20.
Dar un resultado negativo en una raíz cuadrada. √49 = 7, no −7.

Ponte a prueba#

¿Cuánto es ∛(−216)?#

Es −6. Hay que buscar el número que, usado tres veces como factor, da −216. Como 6³ = 216 y el índice 3 es impar, la raíz conserva el signo del radicando: (−6) · (−6) · (−6) = 36 · (−6) = −216. Por lo tanto, ∛(−216) = −6.

¿Por qué √(−49) no es un número entero?#

Porque la raíz cuadrada de −49 tendría que ser un número que, multiplicado por sí mismo, diera −49. Pero un número por sí mismo siempre da un resultado positivo o cero: 7 · 7 = 49 y (−7) · (−7) = 49. Ningún entero al cuadrado da un número negativo, así que √(−49) no es un número entero.

¿Cuánto es (−4)² − 3 · ∛(−8)?#

Primero la potencia y la raíz: (−4)² = 16 y ∛(−8) = −2, porque (−2)³ = −8. Queda 16 − 3 · (−2). Después la multiplicación: 3 · (−2) = −6. Al final la resta: 16 − (−6) = 16 + 6 = 22. El resultado es 22.

¿Cuál es la raíz cuadrada de 576?#

Se descompone 576 en factores primos: 576 = 2⁶ · 3². Se divide cada exponente entre el índice 2: el 6 pasa a 3 y el 2 pasa a 1. Entonces √576 = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24. Se comprueba con 24 · 24 = 576.

¿Cuánto es (−10 + 4) ÷ (−3) + √81?#

Primero el paréntesis: −10 + 4 = −6. Luego la raíz: √81 = 9. Queda (−6) ÷ (−3) + 9. La división de dos negativos da positivo: (−6) ÷ (−3) = 2. Al final la suma: 2 + 9 = 11. El resultado es 11.