¿Cuánto es 312? Se puede multiplicar 31 · 31 en columna, pero también se puede pensar en 31 como 30 + 1 y calcular de memoria 900 + 60 + 1 = 961. Ese atajo, de los llamados productos notables, es un producto notable: una multiplicación que aparece tan seguido que conviene conocer su resultado de antemano, sin hacer los productos uno por uno.
El programa del MEP de octavo año pide trabajar tres productos notables: el cuadrado de una suma, (a + b)2; el cuadrado de una diferencia, (a − b)2, y el producto de una suma por una diferencia, (a + b)(a − b).
Definición
Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas con una forma fija, cuyo resultado se puede escribir directamente siguiendo una regla, sin multiplicar término por término. Desarrollar un producto notable es escribirlo como un polinomio.
El cuadrado de una suma: (a + b)²#
Elevar al cuadrado es multiplicar una expresión por sí misma. Si se multiplica (a + b)(a + b) término por término, salen cuatro productos: a · a = a2, a · b = ab, b · a = ab y b · b = b2. Los dos productos del medio son semejantes y se suman:
Fórmula
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
En palabras: el cuadrado del primer término, más el doble del producto de los dos términos, más el cuadrado del segundo.
La fórmula se ve en un dibujo. Un cuadrado de lado a + b se puede partir en cuatro piezas: un cuadrado de lado a, de área a2; un cuadrado de lado b, de área b2, y dos rectángulos de a por b, cada uno de área ab. El área del cuadrado grande, (a + b)2, es la suma de las cuatro piezas. Los dos rectángulos explican el término 2ab.
Ejemplo. Desarrolla (x + 6)2.
Solución. El primer término es x y el segundo, 6. Cuadrado del primero: x2. Doble del producto: 2 · x · 6 = 12x. Cuadrado del segundo: 36. El resultado es x2 + 12x + 36.
Ejemplo. Desarrolla (3m + 2n)2.
Solución. (3m)2 = 9m2; 2 · 3m · 2n = 12mn; (2n)2 = 4n2. El resultado es 9m2 + 12mn + 4n2. Se eleva al cuadrado todo el término, coeficiente incluido: (3m)2 es 9m2, no 3m2.
El cuadrado de una diferencia: (a − b)²#
Si el segundo término se resta, los dos productos cruzados son negativos: (a − b)(a − b) = a2 − ab − ab + b2. El último término queda positivo, porque (−b)(−b) = b2.
Fórmula
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Solo cambia el signo del término del medio; los dos cuadrados se suman siempre.
También tiene su dibujo, si a es mayor que b y los dos son positivos. A un cuadrado de lado a se le quitan dos franjas de a por b, una a lo largo de un lado y otra a lo largo del lado vecino, y queda un cuadrado de lado a − b. Las dos franjas se cruzan en un cuadradito de lado b, que así se quita dos veces; por eso hay que devolverlo una vez: (a − b)2 = a2 − ab − ab + b2.
Ejemplo. Desarrolla (5y − 1)2.
Solución. (5y)2 = 25y2; el doble del producto es 2 · 5y · 1 = 10y, con signo menos; 12 = 1. El resultado es 25y2 − 10y + 1.
Ejemplo. Desarrolla (a3 − 4b2)2.
Solución. Para elevar una potencia se multiplican los exponentes: (a3)2 = a6 y (4b2)2 = 16b4. El término del medio es 2 · a3 · 4b2 = 8a3b2, con signo menos. El resultado es a6 − 8a3b2 + 16b4.
Ejemplo. Desarrolla ((2/3)p − 3)2.
Solución. ((2/3)p)2 = (4/9)p2; el doble del producto es 2 · (2/3)p · 3 = 4p, con signo menos; 32 = 9. El resultado es (4/9)p2 − 4p + 9.
Esta fórmula también ayuda en el cálculo mental: 492 = (50 − 1)2 = 2500 − 100 + 1 = 2401.
Suma por diferencia: (a + b)(a − b)#
Cuando se multiplican dos binomios con los mismos términos, uno con suma y el otro con resta, los productos cruzados se cancelan: (a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2.
Fórmula
(a + b)(a − b) = a2 − b2
El resultado es una diferencia de cuadrados: el cuadrado del término que tiene el mismo signo en los dos factores, menos el cuadrado del que cambia de signo.
En un dibujo, con a mayor que b y los dos positivos: a un cuadrado de lado a se le recorta, en una esquina, un cuadrado de lado b. Queda una figura en forma de L con área a2 − b2. Esa L se corta en un rectángulo de a por a − b y otro de b por a − b; puestos uno a continuación del otro, forman un rectángulo de lados a + b y a − b.
Ejemplo. Desarrolla (7x + 2)(7x − 2).
Solución. El término que no cambia de signo es 7x y el que cambia es 2. El resultado es (7x)2 − 22 = 49x2 − 4.
Ejemplo. Desarrolla (0,5k − 3)(0,5k + 3).
Solución. El orden de los factores no importa: sigue siendo una suma por una diferencia. El resultado es (0,5k)2 − 32 = 0,25k2 − 9.
Con números: 41 · 39 = (40 + 1)(40 − 1) = 1600 − 1 = 1599.
Cuando el paréntesis tiene tres términos#
En octavo año se trabajan paréntesis con tres términos como máximo, es decir, con dos sumas o restas dentro. El truco es agrupar dos de los términos para que la expresión tenga forma de binomio, aplicar la fórmula y, si hace falta, aplicarla otra vez.
Ejemplo. Desarrolla (x + y − 3)2.
Solución. Se agrupa como [(x + y) − 3]2 y se usa el cuadrado de una diferencia con a = x + y y b = 3: (x + y)2 − 2 · 3 · (x + y) + 9. Después se desarrolla (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 y se distribuye −6(x + y) = −6x − 6y. El resultado es x2 + 2xy + y2 − 6x − 6y + 9.
Ejemplo. Desarrolla (m + n + 2)(m + n − 2).
Solución. Con a = m + n y b = 2 es una suma por una diferencia: (m + n)2 − 22. Al desarrollar el cuadrado queda m2 + 2mn + n2 − 4.
La agrupación se puede hacer de varias maneras y el resultado final es el mismo. Conviene elegir la que deje a la vista una de las tres fórmulas.
Errores frecuentes y una aplicación#
- (a + b)2 no es a2 + b2: falta el doble producto. Con a = 5 y b = 3, (5 + 3)2 = 64, pero 25 + 9 = 34.
- (a − b)2 no es a2 − b2. Con a = 5 y b = 3, (5 − 3)2 = 4, pero 25 − 9 = 16.
- En (2x)2 también se eleva el 2: el resultado es 4x2.
- En (x − 4)2 el último término es +16, no −16, porque es el cuadrado de un número.
Ejemplo. Un jardín cuadrado mide x metros de lado. Se agranda 4 metros a lo largo y 4 metros a lo ancho, de modo que sigue siendo un cuadrado. ¿Cuánto aumenta su área?
Solución. La nueva área es (x + 4)2 = x2 + 8x + 16. El aumento es (x2 + 8x + 16) − x2 = 8x + 16 metros cuadrados. Si el jardín medía 10 m de lado, su área pasa de 100 m2 a 142 = 196 m2: aumenta 96 m2, y en efecto 8 · 10 + 16 = 96.
En noveno año estas mismas fórmulas se usan en sentido contrario para factorizar: quien reconoce que x2 + 12x + 36 viene de (x + 6)2 ya tiene medio camino recorrido.
Ponte a prueba#
¿Cuál es el desarrollo de (2x + 7)²?#
Es el cuadrado de una suma. El cuadrado del primer término es (2x)2 = 4x2; el doble del producto es 2 · 2x · 7 = 28x, y el cuadrado del segundo es 72 = 49. El desarrollo es 4x2 + 28x + 49. Con x = 1 se comprueba: 92 = 81 y 4 + 28 + 49 = 81.
¿Cómo se desarrolla (4a − 3b)²?#
Es el cuadrado de una diferencia, así que el término del medio lleva signo menos. (4a)2 = 16a2; el doble del producto es 2 · 4a · 3b = 24ab; (3b)2 = 9b2. El resultado es 16a2 − 24ab + 9b2. Los dos cuadrados llevan signo más; solo el término del medio lleva el menos.
¿Cuánto da el producto (6 + y²)(6 − y²)?#
Los dos binomios tienen los mismos términos, uno con suma y otro con resta: es una suma por una diferencia. El resultado es el cuadrado de 6 menos el cuadrado de y2: 36 − y4, porque (y2)2 = y4. Los productos cruzados, 6y2 y −6y2, se cancelan.
¿Cómo se calcula 102² de memoria con un producto notable?#
Se escribe 102 como 100 + 2 y se usa el cuadrado de una suma: 1002 + 2 · 100 · 2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. Son tres cuentas sencillas en lugar de una multiplicación larga, y el resultado coincide con el de multiplicar 102 · 102 en columna.
¿Por qué (x − 3)² no es igual a x² − 9?#
Porque el cuadrado de una diferencia tiene tres términos: (x − 3)2 = x2 − 6x + 9. Quien escribe x2 − 9 olvida el doble producto y además le pone signo menos a un cuadrado. Con x = 7 se ve el error: (7 − 3)2 = 16, mientras que 49 − 9 = 40. La expresión x2 − 9 es en realidad (x + 3)(x − 3).
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
