En una pulpería, la balanza está en equilibrio: en un plato hay 3 paquetes iguales de arroz y una pesa de 2 kg; en el otro, pesas que suman 11 kg. ¿Cuánto pesa cada paquete? Si x es el peso de un paquete, la balanza dice que 3x + 2 = 11. Esa igualdad con una cantidad desconocida, la base de la solución de ecuaciones de primer grado, es una ecuación, y el valor de x que la hace verdadera es su solución.
Distinguir una ecuación de una expresión algebraica, comprobar si un número es solución y transformar una ecuación en otra más sencilla que tenga la misma solución son las bases para resolver cualquier ecuación de primer grado.
Definición
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparece al menos una cantidad desconocida, llamada incógnita. Es de primer grado con una incógnita cuando tiene una sola letra y, después de simplificar, esa letra aparece solo con exponente 1, como en 3x + 2 = 11 o en 5 − y = 2y + 8.
Expresión algebraica o ecuación: ¿cuál es la diferencia?#
Una expresión algebraica, como 2y + 7, indica un cálculo con números y letras, pero no afirma nada: en ella no hay ninguna igualdad que pueda ser verdadera o falsa. Con una expresión se pueden hacer dos cosas: simplificarla o calcular su valor numérico para un valor de la letra. Una ecuación, como 2y + 7 = 19, une dos expresiones con el signo = y plantea una pregunta: ¿para qué valor de y las dos expresiones valen lo mismo?
| Lo que está escrito | Qué es | Qué se puede hacer |
|---|---|---|
| 2y + 7 | Expresión algebraica | Calcular su valor: si y = 6, vale 19 |
| 2y + 7 = 19 | Ecuación de primer grado | Buscar el valor de y que la cumple: y = 6 |
| 2a + 3a | Expresión algebraica | Simplificarla: 5a |
| x2 = 25 | Ecuación, pero de segundo grado | No es de primer grado: la x está elevada al cuadrado |
| 6 + 4 = 10 | Igualdad numérica | No tiene incógnita, así que no es una ecuación |
En una ecuación, la expresión que está a la izquierda del signo igual es el primer miembro, y la de la derecha, el segundo miembro. En 2y + 7 = 19, el primer miembro es 2y + 7 y el segundo es 19.
Algunas igualdades con letras se cumplen con cualquier número, como 2(x + 1) = 2x + 2. Se llaman identidades. Las ecuaciones de esta lección, en cambio, solo se cumplen con un valor.
La solución de una ecuación y cómo comprobarla#
La solución o raíz de una ecuación es el número que, puesto en lugar de la incógnita, hace que los dos miembros valgan lo mismo. Una ecuación de la forma ax + b = c, con a distinto de 0, tiene exactamente una solución. Para comprobar si un número es solución:
- Se sustituye la incógnita por el número en el primer miembro y se calcula su valor.
- Se hace lo mismo en el segundo miembro, por separado.
- Si los dos valores son iguales, el número es solución; si son distintos, no lo es.
Ejemplo. ¿Es x = 5 solución de 3x − 4 = 2x + 1?
Solución. Primer miembro: 3 · 5 − 4 = 11. Segundo miembro: 2 · 5 + 1 = 11. Los dos valen 11, así que x = 5 sí es solución.
Ejemplo. ¿Es x = −2 solución de 5 − 2x = 3(x + 4)?
Solución. Primer miembro: 5 − 2(−2) = 5 + 4 = 9. Segundo miembro: 3(−2 + 4) = 3 · 2 = 6. Como 9 ≠ 6, x = −2 no es solución. Cuando aprendas a resolverla, verás que su solución es −7/5.
Ejemplo. ¿Es t = 3/4 solución de 4t + 1 = 4?
Solución. Primer miembro: 4 · (3/4) + 1 = 3 + 1 = 4, igual al segundo miembro. Sí es solución. Las soluciones de una ecuación no tienen que ser números enteros: pueden ser fracciones o números negativos.
Comprobar al final de cada ejercicio es un buen hábito: si al sustituir no salen dos valores iguales, hay un error en algún paso.
Ecuaciones equivalentes#
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución. Por ejemplo, 3x + 2 = 11, 3x = 9 y x = 3 son equivalentes: las tres se cumplen con x = 3 y con ningún otro número. La última muestra la solución sin necesidad de hacer cuentas.
Una ecuación funciona como una balanza en equilibrio: si a los dos platos se les hace lo mismo, el equilibrio se mantiene. Por eso estas operaciones producen ecuaciones equivalentes:
- Sumar o restar el mismo número, o la misma expresión, a los dos miembros.
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número distinto de cero.
La condición «distinto de cero» importa. Si se multiplican por 0 los dos miembros de x + 1 = 4, queda 0 = 0, que se cumple con cualquier número: la ecuación nueva ya no tiene la misma solución que la original, así que no es equivalente.
Ejemplo. ¿Son equivalentes x + 1 = 4 y 2x + 2 = 8?
Solución. La segunda se obtiene multiplicando por 2 los dos miembros de la primera: 2(x + 1) = 2 · 4. Por eso son equivalentes. Se confirma con la solución: x = 3 cumple las dos, porque 3 + 1 = 4 y 2 · 3 + 2 = 8.
Ejemplo. ¿Son equivalentes 2x = 10 y x + 3 = 7?
Solución. La primera tiene solución x = 5, porque 2 · 5 = 10. La segunda tiene solución x = 4, porque 4 + 3 = 7. Como sus soluciones son distintas, no son equivalentes, aunque las dos sean ecuaciones de primer grado muy sencillas.
Reducir una ecuación a otra más sencilla, paso a paso#
Resolver una ecuación es pasar de una ecuación a otra equivalente más sencilla, una y otra vez, hasta llegar a una de la forma x = número. En cada paso conviene decir qué se hizo a los dos miembros.
Ejemplo. Retoma la balanza de la pulpería: 3x + 2 = 11.
Solución. Se quita una pesa de 2 kg de cada plato, es decir, se resta 2 a los dos miembros: 3x = 9. Luego se deja en cada plato la tercera parte de lo que tiene, es decir, se dividen los dos miembros entre 3: x = 3. Cada paquete de arroz pesa 3 kg. Comprobación: 3 · 3 + 2 = 11.
Ejemplo. Reduce 7x − 5 = 4x + 13 hasta obtener la solución.
Solución. Se resta 4x a los dos miembros: 7x − 5 − 4x = 4x + 13 − 4x, que queda 3x − 5 = 13. Se suma 5 a los dos miembros: 3x = 18. Se dividen los dos miembros entre 3: x = 6. Comprobación: 7 · 6 − 5 = 37 y 4 · 6 + 13 = 37.
Ejemplo. Reduce 10 − 3y = 2y − 15.
Solución. Se suma 3y a los dos miembros: 10 = 5y − 15. Se suma 15 a los dos miembros: 25 = 5y. Se dividen entre 5: 5 = y, que es lo mismo que y = 5. Comprobación: 10 − 3 · 5 = −5 y 2 · 5 − 15 = −5. La incógnita puede quedar en el segundo miembro sin ningún problema.
Mucha gente dice que un término «pasa al otro lado» con la operación contraria: el −5 «pasa a sumar» y el 3 que multiplica «pasa a dividir». Es un atajo válido, pero conviene recordar de dónde sale: en realidad se suma, se resta, se multiplica o se divide lo mismo en los dos miembros.
De una situación a una ecuación#
Las ecuaciones aparecen cuando una situación da una relación entre cantidades y una de ellas es desconocida. El primer paso es elegir una letra para lo que no se sabe y escribir con ella la igualdad que describe la situación.
Ejemplo. Andrea tiene ₡4 500 y compra cuadernos que cuestan ₡800 cada uno (precios de ejercicio). Después de pagar le quedan ₡1 300. ¿Cuántos cuadernos compró?
Solución. Sea c el número de cuadernos. Lo que gastó es 800c, y lo que le queda es 4500 − 800c. La ecuación es 4500 − 800c = 1300. Se resta 4500 a los dos miembros: −800c = −3200. Se dividen entre −800: c = 4. Compró 4 cuadernos. Comprobación: 4500 − 800 · 4 = 4500 − 3200 = 1300.
Ponte a prueba#
¿Cuál es la diferencia entre 6x + 1 y 6x + 1 = 25?#
La primera es una expresión algebraica: no tiene signo de igual, y solo se puede simplificar o evaluar; por ejemplo, si x = 2 vale 13. La segunda es una ecuación: pregunta para qué valor de x la expresión vale 25. Su solución es x = 4, porque 6 · 4 + 1 = 25. Una expresión no se «resuelve»; una ecuación sí.
¿Es x = −3 solución de la ecuación 2x + 11 = 5 − x?#
Se sustituye en cada miembro por separado. Primer miembro: 2(−3) + 11 = 5. Segundo miembro: 5 − (−3) = 8. Como 5 ≠ 8, x = −3 no es solución. La solución verdadera es x = −2: en ese caso, 2(−2) + 11 = 7 y 5 − (−2) = 7, y los dos miembros coinciden.
¿Son equivalentes las ecuaciones 5x − 3 = 12 y x = 3?#
Sí. Si a los dos miembros de 5x − 3 = 12 se les suma 3, queda 5x = 15, y si luego se dividen entre 5, queda x = 3. Como cada paso conserva la solución, las dos ecuaciones tienen la misma: x = 3. Se comprueba en la primera: 5 · 3 − 3 = 12.
¿Qué pasos convierten 4y + 9 = 1 en una ecuación de la forma y = número?#
Primero se resta 9 a los dos miembros: 4y = 1 − 9, es decir, 4y = −8. Después se dividen los dos miembros entre 4, que es distinto de cero: y = −2. Las tres ecuaciones son equivalentes. Comprobación en la original: 4(−2) + 9 = −8 + 9 = 1.
¿Por qué x² = 16 no es una ecuación de primer grado?#
Porque la incógnita aparece con exponente 2, y en una ecuación de primer grado la incógnita solo lleva exponente 1. Además, se comporta distinto: tiene dos soluciones, x = 4 y x = −4, porque 42 = 16 y (−4)2 = 16. Una ecuación ax + b = c con a distinto de cero tiene una sola.
Fuentes#
También en Matemáticas 8ºOctavo año
